THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng
Phong - Nam Định.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15/ 9/ 2014 đến ngày 5/ 5/ 2015.
4. Tác giả:
Họ và tên

: Trần Xuân Đáng

Năm sinh

: 1955

Nơi thường trú : Số nhà 5 ngách 7 ngõ 136 Phan Đình Phùng - Phường
Phan Đình Phùng - TP Nam Định
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học
Chức vụ công tác: Giáo viên chuyên Toán
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Điện thoại: 0942350265
5. Đồng tác giả: Không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định
Điện thoại: 0350.3640297

1


Bài toán 18: Cho A, B, C, D là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng và được sắp
xếp theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại các điểm X và

Y . Đường thẳng XY cắt BC tại Z . Cho P là một điểm nằm trên đường thẳng
XY ( P  Z ) . Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C, M . Đường thẳng

BP cắt đường tròn đường kính BD tại B, N . Chứng minh rằng các đường thẳng

AM , DN , XY đồng quy.
Trong kì thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) năm 2013 tại Colombia có bài
toán sau đây:
Bài toán 19: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H . Cho W là một điểm tùy ý trên
cạnh BC , khác với các điểm B và C . Các điểm M và N tương ứng là chân các
đường cao hạ từ B và C . Kí hiệu 1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN và gọi

X là điểm trên 1 sao cho WX là đường kính của 1 .
Tương tự , kí hiệu 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM và gọi Y là
điểm trên 2 sao cho WY là đường kính của 2 . Chứng minh rằng các điểm X ,Y
và H thẳng hàng.
III. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM:
a) Phương pháp:
Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo bài toán sao cho việc tính toán đơn giản.
Tìm tọa độ các đối tượng đã cho và các đối tượng liên quan theo hệ trục tọa độ
đã chọn.
Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết và điều cần chứng minh theo các
công thức tọa độ.
Chứng minh bài toán theo phương pháp tọa độ.
Đối với các bài toán liên quan đến hình vuông thì có thể lấy gốc tọa độ là một
trong bốn đỉnh của hình vuông hoặc là tâm của hình vuông.
Với các bài toán liên quan đến tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có

uuuur

ur

Ta có AC  (c; a)  n  (a; c) là vec tơ pháp
tuyến của đường thẳng AC .
4


Suy ra phương trình của đường thẳng AC là

a( x  c)  cy  0  ax  cy  ac  0
uuuur

Ta có AC  (c; a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng BE .
Khi đó phương trình của đường thẳng BE là
c( x  b)  ay  0  cx  ay  bc  0 .
 a2c  bc2 ac2  abc 
Từ đó suy ra E  2 2 ; 2 2 
a c 
 a c
 a 2b  cb2 ab2  abc 

bc 
Tương tự ta có F  2 2 ; 2 2  . Ta có H  0;  
a
a b 

 a b
uuur



a2c  bc2 
ac2  abc 
2

(
bc

a
)
y

0


2
2 

a2  c2 
a

c



 (ab  ac)(a2  c2 ) x  (bc  a2 )(a2  c2 ) y

(ab  ac)(a2c  bc2 )  (ac2  abc)(bc  a2 )  0
uuuuur  2bc bc 

5


Lời giải:
Gọi O là chân đường vuông góc hạ
từ A đến đường thẳng BC
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm
gốc là O sao cho điểm A thuộc tia Oy ,
điểm C thuộc tia Ox và điểm B thuộc
tia đối của tia Ox .
Giả sử :

A(0; a), C (c;0), B(b;0), P( p;0)
(a  0, c  0, b  0, b  p  c)
Khi đó b  c
uuuur
uur
Ta có AB  (b; a)  n1  (a; b) là
vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB .
Suy ra phương trình của đường thẳng
AB là:
a( x  b)  by  0  ax  by  ab
uur
uur
Tương tự n2  (a; c) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AC  n2  (a; c) là véc
tơ pháp tuyến của đường thẳng PR . Suy ra phương trình của đường thẳng PR là

a( x  p)  cy  0  ax  cy  ap .
Suy ra R(


2(b  c)
2(b  c)
p(a 2  c 2 ) c 2b  a 2 (2c  b)

 0.
Tương tự phương trình của d2 là cx  ay 
2(c  b)
2(c  b)

 bx  ay 

6


Gọi I là giao điểm của d1 và d2 .
 p(a 2  c 2 ) 3a c 2 
;   và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ .
2

4 4a 
4
c


Khi đó I 

Suy ra I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình y 

3a c 2
 . Hiển nhiên


a2
, a) .
m

 a 2  ma 
Suy ra BN  
, a 
m


uur
uuuur

Suy ra n2  (m, m  a) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng BN .
Suy ra phương trình của đường thẳng BN là :

m( x  a)  (m  a) y  0  mx  (m  a) y  am  0 .
uuuuur
a
a
Ta có EM  ( , m  ) .
2
2

Suy ra n3   a  2m, a  là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng EM .
uuur

Suy ra phương trình của đường thẳng EM là:


am


uuuur uuuur

Suy ra CK .BN  0 .
Suy ra CK  BN .
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Điểm M di động trên đường thẳng

BC ( M khác B và C ). Đường trung trực của đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB
tại E . Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC tại F . Chứng minh
rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố
định.
8


Lời giải:
Kẻ AO  BC (O  BC ) .
Chọn hệ trục tọa độ tọa độ Oxy có điểm gốc là O , điểm C thuộc tia Ox .
Đặt OA  a(a  0) , OC  c, OB  b(a  0, c  0, b  0) .
Khi đó A(0, a), C (c,0), B(b,0) .
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF .
uuuur

uur

Ta có AC  (c, a) . Suy ra n1  (a, c) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AC .
Suy ra phương trình của đường thẳng AC là a( x  c)  cy  0  ax  cy  ac  0 .
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MC .
Khi đó K (

am
Suy ra n2  (1, )
bc
Tương tự E (

Suy ra phương trình của đường thẳng d là x  m 
Điểm I (

am
y  0.
bc

bc
,0)  d .
a

Mặt khác I là điểm cố định.
Vậy đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của BC . Gọi D là hình
chiếu của H trên AC . Gọi M là trung điểm của HD . Chứng minh AM vuông góc với
BD .

9


Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O  H , C thuộc tia Ox ; A thuộc tia Oy .
uuuur


a 2c
ac2 
a 2c
2a3  ac2 
.
Suy
ra
và
,
AM

,

2
2
2
2 
2
2
2
2 


2(
a

c
)
2(
a

,

uuuuur uuuur
ac2 
.
Suy
ra
AM .BD  0 .

a 2  c2 

Suy ra AM vuông góc với BD .
Bài toán 6: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định nằm ngoài (O, R) . Một đường
tròn thay đổi luôn đi qua O, A cắt đường tròn (O, R) tại các điểm C, D .Chứng minh
rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định.

10


Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc là O , điểm A thuộc tia Ox .
Đặt OA  a(a  0) . Khi đó A(a,0) .
Phương trình đường tròn (O, R) là x2  y 2  R 2 .
Giả sử ( I ) là đường tròn đi qua O, A có tâm là I .
a
Khi đó I ( , m) (m¡ ) .
2

Phương trình của đường tròn ( I ) là:



Bài toán 7: Cho hình vuông ABCD . Gọi E là trung điểm của cạnh BC . Điểm M di
động trên cạnh AB . Gọi N , P lần lượt là giao điểm của MD, MC với AE . Gọi H là
giao điểm của NC và DP . Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đường
thẳng cố định.
Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O  A , B thuộc tia Ox , D thuộc tia Oy .
Đặt AB  a(a  0), AM  m(0  m  a) .
a
Khi đó A(0,0), B(a,0), C ( A, A), D(0, a), E (a, ), M (m,0) .
2
uuuur
uur
a
a
Ta có AE  (a, ) . Suy ra n1  ( , a) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AE .
2
2

a
Suy ra phương trình của đường thẳng AE là x  ay  0  x  2 y  0
2
uuuuur

Ta có DM  (m, a) .
uur

Suy ra n2  (a, m) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng DM .

Tọa độ của điểm P là nghiệm của hệ phương trình 
.
ax

(
m

a
)
y

am

0



Suy ra P(

uuuur
2am a 2
2am am
,
).
,
) . Ta có DP  (
am am
am am

uur

tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích của A biết rằng IH song song
với KC.
Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng I; C thuộc tia Ox .
Đặt IC= a(a  0) . Khi đó B(a,0), C (a,0) . Giả sử A( x0 , y0 )( y0  0) . Khi đó tọa độ
 x  x0

trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình 

( x  a)(a  x0 )  y0 y  0



K là giao của d và AI nên K  a; 


uuur



 H  x0 ;



a 2  x02 
.
y0 

ay0 


Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, giả sử bán kính của đường tròn(O) là R.
Ta có A( R; 0), B( R;0), M ( Rcos ; R sin  ), E( Rcos ;2R sin  ).
Đường thẳng d đi qua A, vuông góc với BE có phương trình:
(1 cos )( x 1)  2 y sin   0 .
Phương trình của đường thẳng MH là x  R cos


Suy ra K  Rcos ;


R sin  
.
2 

Vậy K nằm trên đường elip ( E ) :

x
R2

2



y2
R2
4

 1.



uur

Suy ra n2  (b, a  c) là vec tơ pháp tuyến của CD .
Suy ra phương trình của CD là b( x  c)  (a  c) y  0  bx  (a  c) y  bc  0
Phương trình của HE là (a  c)( x  c)  by  0  y 

( a  c) x
.
b

uuur 

b2c
bc(a  c) 
bc 
Suy ra E 
.
Suy
ra
AI

a
,
,


,
2
2

bc(a  c)   a(2c2  3ac  a 2 ) bc(a  c) 

a
,

,

2
2
2
2
  (a  c)2  ac
(
a

c
)

b
(
a

c
)

b
(a  c)2  ac 

 



D là trung điểm của đoạn thẳng AM . Gọi H là hình chiếu của M trên CD . Gọi N là
giao điểm của AH và BC . Gọi E là giao điểm của BH và AM . Chứng minh rằng E
là trực tâm của tam giác ABN .
Lời giải:

Gọi O là trung điểm của cạnh BC . Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc là O .
Điểm A thuộc tia Ox ; điểm A thuộc tia Oy . Đặt OA  a, OC  c(a, c  0) .
Khi đó C (c,0), A(0, a), B(c,0) .
uuuur
a
Ta có DC  (c,  ) .
2
uur  a 
Suy ra n1   , c  là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng CD .
2 
Suy ra phương trình của đường thẳng CD là:
a
( x  c)  cy  0  ax  2cy  ac  0 .
2

a
2cx
Phương trình của đường thẳng OH là: cx  y  0  y 
.
2
a

a 2c
2ac2

c
a  4c2 




Suy ra AH  

uuuuur uuuur

Suy ra AH .BH  0 . Suy ra AH  BH .
Suy ra E là trực tâm của tam giác ABN .
Bài toán 12: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi I là giao điểm các đường trung trực
của các cạnh của tam giác ABC . Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâm
của tam giác ACD . Chứng minh rằng IE vuông góc với CD .
Lời giải:

Gọi O là trung điểm của cạnh BC . Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc tọa độ
là O ; điểm C thuộc tia Ox ; điểm A thuộc tia Oy .
Đặt OA  a, OC  c(a, c  0) . Khi đó A(0, a) , C (c,0), B(c,0) .
Gọi G là giao điểm của AO và CD .
a
Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC và G (0, ) .
3

c a
c 3a uuuur  5c 3a 
Ta có D( , ), E ( , ), CE    ,  .
2 2
4 4

Ta có IH   ,  . Suy ra IH .CD  0 . Suy ra IH  CD .
 6 2a 
Bài toán 13: Cho tam giác ABC vuông tại B . Điểm D thuộc cạnh AC ( D  A, D  C )
Suy ra I  0,

sao cho AC  2 AD . Điểm E đối xứng với A qua BD . Gọi Y là giao điểm của BC và

AE . Đường thẳng đi qua E vuông góc với BC cắt DY , DA lần lượt tại H , I . Chứng
minh rằng H là trung điểm của IE .
Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O  A ; B thuộc tia Ox ; C thuộc tia Oy .
Đặt OB  b, OC  c(b, c  0) . Khi đó B(b,0), C(0, c) .
Giả sử D(0, d )(0  d  c) .
uuuur

uur

Ta có BC  (b, c) . Suy ra n1  (c, b) là vec tơ pháp tuyến của BC .
Suy ra phương trình của BC là: c( x  b)  by  0  cx  by  bc  0
uuuur

Ta có BD  (b, d ) là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AE .
Suy ra phương trình của đường thẳng AE là b( x  0)  d ( y  0)  0  y 

bx
.
d

19

2b2d 
.
Ta
có
BC là vec tơ pháp tuyến của IE . Suy ra phương

b2  d 2 

2bd 2
2b2d
2b2d (c  d )
)

c
(
y

)

0

bx

cy

0.
b2  d 2
b2  d 2
b2  d 2


)


uuuur

 bcd

b2c  b2d  cd 2 
 .
2
2
b

cd
b

cd



Suy ra DY  

,

uur

Suy ra n3  (cd 2  b2d  b2c, bcd ) là vec tơ pháp tuyến của DY . Suy ra phương trình
của DY là (cd 2  b2d  b2c)( x  0)  bcd ( y  d )  0  y 

bcd 2  (b2c  b2 d  cd 2 ) x

)






b2c  2b2d  cd 2
b2cd  2b2d 2  cd 3
x
bcd
c(b2  d 2 )

bd 2
x
c(b2  d 2 )
(vì b2c  2b2d  cd 2  b2 (c  2d )  cd 2  0 ).


bd 2
2b2cd  b2d 2 
,
 .
2
2
2
2
(
b


Giả sử B(b,0), C (c,0), A(0, a)(a  0, b  c) .
uuuur

Giả sử M (m,0) . Ta có AB  (b, a) .
Suy ra phương trình AB là ax  by  ab  0 .
uuuur

Ta có AC  (c, a) .
Suy ra phương trình AC là ax  cy  ac  0 .
uur

Ta có n1  (a, c) là vec tơ pháp tuyến của MP .
Suy ra phương trình của MP là a( x  m)  cy  0  ax  cy  am  0
ax  cy  am  0
Tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình 

ax  by  ab  0

Suy ra P(

b(m  c) a(b  m)
,
).
bc
bc
21


Gọi E là trung điểm của AP .
Khi đó E (

c(m  b)   a  y  2ac  ab  am   0
2(c  b)  
2(c  b) 

2a 2c  a 2b  c 2b  a 2m  c 2m
 cx  ay 
 0.
2(c  b)
Gọi I là giao điểm của d1 và d2 .
Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ
Ta có m(a2  b2 )  2(b  c)(bxI  ayI )  2a2b  a2c  b2c
và m(a2  c2 )  2(c  b)(cxI  ayI )  2a2c  a2b  c2b .
Suy ra 2(b  c)(a2  c2 )(bxI  ayI )  (2a2b  a2c  b2c)(a2  c2 )
 2(c  b)(a2  b2 )(cxI  ayI )  (2a2c  a2b  c2b)(a2  b2 ) .

Suy ra 2xI (b  c)(a2  bc)  2ayI (2a2  b2  c2 )  3a4  a2b2  a2c2  b2c2  0 .
Suy ra I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình:

2x(b  c)(a2  bc)  2ay(2a2  b2  c2 )  3a4  a2b2  a2c2  b2c2  0
Ta có A d . Gọi K là điểm đối xứng với A qua d .
Khi đó K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ , K  A và K là điểm cố định.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ luôn đi qua một điểm cố định khác A .

22


Trong tạp chí “Toán học tuổi trẻ” số 455 (tháng 5 năm 2015) có bài toán sau:
Bài toán 15: Trên đường tròn ( I ) cho trước lấy hai điểm B, C cố định sao cho BC
không đi qua I . Điểm A chuyển động trên đường tròn ( I ) sao cho tam giác ABC có
ba góc nhọn. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho MA  3MC . Gọi H là hình chiếu

k
 1 k



Suy ra A 

uuuuur  dk  ck 2 k (c  dk ) 
 dk  ck 2
k (c  kd ) 
Suy ra CM  
.
Suy
ra
.
,
M
 2c,


2
2 
2
2 

2(1

k
)
2(1



2
c

k
y

0
2 

2(1 k 2 )
2(1

k
)



 x  ky  2c 

dk
ck 2  dk k 2 (c  dk )

 0  x  ky  2c   0
2
2
2
2(1  k )
2(1  k )

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung điểm của BC ; C thuộc tia Ox .
24


Đặt BC  2a(a  0) . Khi đó B(a,0), C (a,0) . Giả sử A( x0 , y0 )( y0  0) .
Khi đó tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình

 x  xo
a 2  xo 2 
 H  xo ;
.

yo 
( x  a)(a  xo )  yo y  0

 2 x 3a 2  3xo2  yo2 
x y 
Tọa độ trọng tâm G là G  o ; o  , suy ra K  o ;
 .
3
6
y
 3 3 
o



K thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi 3a 2  3xo2  yo2  0 

M
F

B

D

C

Q

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho O  D ; A thuộc tia Oy . Đặt OA  a(a  0) .

25