MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………….
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………..
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………
1.5. Những điểm mới của SKKN…………………………………..………….
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài…………………………………………………....
2.2. Thực trạng của đề tài………………………………………………….......
2.3. Giải pháp thực hiện đề tài………………………………………………...
2.3.1.Cách giải các bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất khi tập
hợp các số phức là đường tròn……………………………………………
2.3.2 Cách giải các bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất khi tập
hợp các số phức là đường thẳng…………………………………………..
2.3.3. Ví dụ áp dụng…………………………………………………………...
2.3.4. Một số dạng toán liên quan……………………………………………..
2.4. Kết quả thực nghiệm……………………………………………………...
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận…………………………………………………………………...
3.2. Kiến nghị …….…………………………………………………………...
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...

Trang
2
2
2
2
3
4
4

thường xuyên có câu hỏi về dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
mô đun số phức. Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có
được cơ sở để giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô
đun số phức, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu quả giải
các bài toán trong chương trình THPT”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức nhằm phát huy năng lực của
học sinh góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết
các vấn đề thực tế thi THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học
2017-2018. Cụ thể là lớp 12C1, 12C6.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử
THPT
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 10, 12 (phần tam
thức bậc hai, số phức).
2. Phương pháp chuyên gia
- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
2


3. Phương pháp thống kê toán học
- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được
sau khi tiến hành nghiên cứu.
4. Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài

Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung
vào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các
kiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại
những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng
thú chú ý hơn vào nội dung bài học. Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin
bùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm
cần thiết.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán
về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức.
2.2. Thực trạng của đề tài
Năm học 2016-2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của
môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và
học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT,
học sinh thường gặp một câu về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến
mô đun số phức như: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó (điều kiện có thể là
đường thẳng hay đường tròn) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môdun số phức z.
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Nguyễn Hoàng nói riêng (chất lượng đầu vào thấp),tư duy hệ thống, logic và
khái quát của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình còn nhiều khó
4


khăn, rất nhiều sinh viên học đại học ra trường không xin được việc làm. Vì vậy 75%
số học sinh trong trường không có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọn học
nghề vừa mất ít thời gian, lại có tay nghề tốt, xin việc lại dễ hơn. Vì vậy khi dạy học,
giáo viên cần phải phân dạng rất rõ và cho và cho các em luyện tập để tăng tính tập
trung và các em vận dụng kiến thức tốt hơn. Có thể làm bài tốt trong kỳ thi THPT
quốc gia.


Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
P 2 = ( x + c) 2 + ( y + d ) 2 = (− a + c + k sin t ) 2 + ( −b + d + k cos t ) 2
P 2 = (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 + 2k ((−a + c) sin t + (−b + d ) cos t )
P 2 = (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 + 2k (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 sin(t + ϕ )
(−a + c)
( −b + d )
sin ϕ =
Với cos ϕ =
;
;
( − a + c ) 2 + ( −b + d ) 2
( − a + c ) 2 + ( −b + d ) 2
P 2 max = (− a + c ) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 + 2k (−a + c) 2 + (−b + d ) 2 khi sin(t + ϕ ) = 1

5


P 2 min = (− a + c ) 2 + (−b + d ) 2 + k 2 − 2k (− a + c ) 2 + (−b + d ) 2 khi sin(t + ϕ ) = −1

Cách 2: Dùng phương pháp hình học
Từ đề bài ta có z + a + bi = k ⇔ x + yi + a + bi = k ⇔ ( x + a) + ( y + b) = k (1)
Đây là phương trình đường tròn tâm I (−a; −b) bán kính bằng k
z + c + di = P ⇔ P 2 = ( x + c) 2 + ( y + d ) 2 (2)
Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (−c; −d ) bán kính bằng P
Yêu cầu bài toán là tìm bán kính Pmax ; Pmin để hai đường tròn trên có giao điểm
chung
Pmax = II1 + k khi hai đường tròn tiếp xúc trong
2


2m
4m
Chú ý: Học sinh có thể tính nhanh Pmin = d ( I1; ∆) khi đường thẳng ∆ tiếp xúc
với đường tròn tâm I1

Ta có : P 2 = ( x + c)2 + ( y + d )2 = (

2.3.3. Ví dụ áp dụng
Sau khi xây dựng công thức xong, giáo viên cho học sinh những bài tập
vận dụng, dạng tự luận để các em ghi nhớ công thức.
Bài 1: Số phức z thay đổi sao cho |z| = 1 tìm giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất
M của |z – i |
Bài giải

6


Những ví dụ đầu tiên này tôi cho học sinh làm cả hai cách đề các em vận dụng
thành thạo lí thuyết.
Cách 1
2
2
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) . Ta có: z = 1⇔ x + y = 1.
Đặt x = sin t; y = cost; t ∈ 0;2π  .
⇒ z − i = ( sin t ) + ( cost − 1) = 2− 2cost ⇒ 0 ≤ z − i ≤ 2 ⇒ z − i max = 2; z − i min = 0
2

Cách 2

2


Đặt x = 1+ 3sin t; y = −2+ 3cost; t ∈ 0;2π  .

⇒ z − 2i = ( 1+ 3sin t ) + ( −4 + 3cost ) = 26+ 6( sin t − 4cost ) = 26+ 6 17 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) .
2

2

2

⇒ 26− 6 17 ≤ z − 2i ≤ 26+ 6 17 ⇒ z − 2i max = 26+ 6 17.

Cách 2

Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i .

z − 1+ 2i = 3 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 9.
Ta có:
Đây là phương trình đường tròn tâm I (1; −2) bán kính bằng 3
2

2

z − 2i = P ⇔ x2 + ( y − 2) = P 2 .
2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P
II1 = 17 nên Pmax = II1 + k = 17 + 3 = 26 + 6 17 ⇒ Chọn đáp án A.
Bài 3:
: Cho số phức z thỏa mãn z − 12 − 5i = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của |z|


Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i .

z − 12 − 5i = 3 ⇔ ( x − 12) + ( y − 5) = 9 .
Ta có:
Đây là phương trình đường tròn tâm I (12;5) bán kính bằng 3
z = P ⇔ x2 + y2 = P 2 .
2

2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0;0) bán kính bằng P
II1 = 13 nên Pmax = II1 + k = 13 + 3 = 16 ⇒ Chọn đáp án C.
Bài 4: (Để thi thử trường THPT Phan Bội Châu) Cho số phức z thỏa mãn
z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là

A. 13 + 2 .
Cách 1

B. 4 .
Bài giải

C. 6 .

D. 13 + 1 .

Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2− 3i = x − 2 + ( y − 3) i . Ta có:
z − 2 − 3i = 1 ⇔ ( x − 2) + ( y − 3) = 1.
2


Bài 5:
Cho số phức z thỏa mãn z − 1+ 2i = 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A. 9+ 4 5.

B. 11+ 4 5
C. 6+ 4 5
D. 5+ 6 5
Bài giải
2
2
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) . Ta có: z − 1+ 2i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 4.
Đặt x = 1+ 2sin t; y = −2 + 2cost; t ∈ 0;2π  .
Lúc đó:

z = ( 1+ 2sin t ) + ( −2+ 2cost ) = 9 + ( 4sin t − 8cost ) = 9+ 42 + 82 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡
2

2

2

)

2
⇒ z = 9 + 4 5sin ( t + α ) ⇒ z ∈  − 9 + 4 5; 9 + 4 5 



⇒ z max = 9 + 4 5


−6 − 2i
= 10 ⇔ z − 2 − 4i = 5 ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = 5.
1− i

Đặt x = 2+ 5sin t; y = 4+ 5cost; t ∈ 0;2π  .
Lúc đó:
2

(

) (
2

z = 2+ 5sin t + 4 + 5cost

)

2

(

)

= 25+ 4 5sin t + 8 5cost = 25 +

(

) (
2


2

−

3
2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
9
4

A. xy = .

B. xy =

13
.
2

C. xy =

16
.
9

9
2

D. xy = .


4
4
2
2

⇒ Chọn đáp án D.

Bài 8: (Để thi thử trường THPT Bỉm Sơn)
Trong các số phức z thỏa z + 3 + 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất.
Khi đó
A. Không tồn tại số phức z0 .
B. z0 = 2 .
C. z0 = 7 .

D. z0 = 3 .

Bài giải
2
2
Đặt z = x + yi ( x, y Î ¡ ) . Khi đó z + 3 + 4i = 2 Û ( x + 3) + ( y + 4) = 4 .
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I ( −3; −4 )
và bán kính R = 2 .
z = P ⇔ x2 + y2 = P 2 .
Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0;0) bán kính bằng P
II1 = 5 nên Pmin = II1 − 2 = 5 − 2 = 3 ⇒ Chọn đáp án D.
Bài 9: (Để thi thử trường THPT chuyên KHTN)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z − 1 + 2i = 5 và w = z + 1 + i có môđun lớn
nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2 5 .
B. 3 2 .


cosα =

2
5

2
5

sin t −

;sin α =

1
5

)

2

(

)

= 10 + 4 5sin t − 2 5cost =

cost) = 10 + 10sin(t − α );

1
5



π

π
10 + 2 5sin  α + ÷− 4 5cos α + ÷ = 18; ( α ∈ ¡
2
2



)

⇒ z = 3 2 ⇒ Chọn đáp án B

Có rất nhiều bài toán nhìn đề bài rất phức tạp, giáo viên cần hướng dẫn học
sinh cách nhận dạng bài toán để biến đổi về dạng quen thuộc.
Bài 10: (Để thi thử sở GD-ĐT Thanh Hóa)
Cho số phức z thoả mãn

3 − 3 2i
z − 1 − 2i = 3 . Gọi M và m lần lượt là giá
1 + 2 2i

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − 3 − 3i . Tính M.m
A. M .n = 25
B. M .n = 20
C. M .n = 24
D. M .n = 30
Bài giải

2
2
B. M + m = 24

Bài giải
Theo bài ra

z − 2 − 3i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1
2

2

Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I ( 2;3) và bán kính
R = 1.
2
2
2
Đặt P = z + 1 + i ⇒ ( x + 1) + ( y − 1) = P
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I1 ( −1;1) và bán kính
P
II1 = 13 nên M = 13 + 1; m = 13 − 1; M 2 + m 2 = 28 ⇒ Chọn đáp án A.

Bài 12: (Để thi thử trường THPT Cẩm thủy 3)
Xét các số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi
2

2

2



− 7 = ( 3+ 5sin t ) ( 4 + 5cost ) = 50 + 50 sin t + cost ÷
6
5
5


Q
− 7 = 50 + 50sin(t + α )
6

3
4
cosα = ;sin α =
5
5

Qmax

3

a = 4 + 5. = 7

π

5
⇔ sin(t + α ) = 1 ⇒ t = − α ⇒ 
2
 b = 3 + 5. 4 = 7


Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )

z + 3i = z + 2 − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + 2 ) + ( y − 1) i ⇔ x 2 + ( y + 3 ) = ( x + 2 ) + ( y − 1)
2

2

2

⇔ 6 y + 9 = 4x + 4 − 2 y +1 ⇔ 4x − 8 y − 4 = 0 ⇔ x − 2 y −1 = 0 ⇔ x = 2 y +1
2

2
1
5
2
( 2 y + 1) + y 2 = 5 y 2 + 4 y + 1 = 5  y + ÷ + ≥
5 5
5

2
1
5
Suy ra z min =
khi y = − ⇒ x =
5
5
5
1 2
Vậy z = − i.

B. 3 5.
Bài giải
Gọi z = x + yi ; ( x∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) .
Ta có:

( x − 2) + ( y − 4) =
+ ( y + 2) = x + ( 6− x)
2

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔
2

Ta có: z + 2i = x2

C. 3 2

2

x2 + ( y − 2) ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ y = 4− x.

2

2

D. 3+ 2

2

2


2

AM 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 2 y 2 − 4 y + 10
AM min ⇔ y = 1; x = 3
⇒ Chọn đáp án A

Bài 16: (Đề thi Lương Thế Vinh L3)
2
Cho số phức z thỏa mãn z − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i ) ( z + 3i − 1) .

Tính min | w | , với w = z − 2 + 2i .
3
2

A. min | w |= .

B. min | w |= 2

C. min | w |= 1 .

1
2

D. min | w |= .

Bài giải
Bài toán này cần sự biến đổi khéo léo thì tập hợp các số phức mới là phương
trình đường thẳng được.
Ta có


Khi học sinh đã có tư duy tốt, có kỹ năng thành thạo thì khi gặp một số
dạng tương tự các em có thể tự lập công thức và giải bài toán một cách nhanh
chóng .
Bài 17: (Đề thi thử trường dân tộc nội trú tỉnh Thanh Hóa)
Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z − 2 − 4i = z − 2i và m = min z . Tính
module số phức w = m − ( x + y )i.
A. w = 2 3
B. w = 3 2

C. w = 5

D. w = 2 6

Bài giải
Ta có
z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ y = 4 − x
z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2( x − 2)2 + 8 ≥ 2 2

min z = 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi

x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6

y = 2
x = 2

Ngoài cách làm quen thuộc này ra tôi còn nêu thêm một cacgs làm khác nhanh,
chính xác để một số em học tốt hơn tham khảo.

Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z + i + 1 = z − 2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A. min z = 2

B. min z = 1

C. min z = 0

D. min z = 1

2

Bài giải
z + i + 1 = z − 2i ⇔ y = x − 1

15


2

1 1
1
1

z = x 2 + y 2 = x 2 + ( x − 1)2 = 2  x − ÷ + ≥
=
2 2
2
2


( x + 3)

2

+ y2 = 8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8 = 1.

( x − 3)

2

+ y 2 + 1.

( x + 3)

2

+ y2 ≤

(1

2

+ 12 ) ( x − 3 ) + y 2 + ( x + 3) + y 2 


2



Mặt khác:

2

tâm I ( 3;4) và R = 5.

( )

2
2
2
2
M = z + 2 − z − i = ( x + 2) + y2 −  x2 + ( y − 1)  = 4x + 2y + 3 ⇔ d :4x + 2y + 3− M = 0.



16


Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và ( C ) có điểm
chung
⇔ d( I ; d) ≤ R ⇔

23− M

≤ 5 ⇔ 23− M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33
2 5

x = 5

T = x 2 + ( y + 1) 2 + ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2
T 2 ≤ (12 + 12 )(2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6) = 4.4 = 16
T2 ≤ 4
Vậy Tmax = 4 ⇒ Chọn đáp án B.

Bài 22: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
2

2

nhỉ nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính module số phức w = M + mi.
A. w = 2 314
B. w = 1258
C. w = 3 137
D. w = 2 309
Bài giải

z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 : (C )
2

2

( ∆ ) : 4x + 2 y + 3 − P = 0

Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung
⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33

Vậy MaxP = 33; MinP = 13
w = 33 + 13i ⇒ w = 1258 ⇒ Chọn đáp án B.


5

⇒ Chọn đáp án A.
Bài 24 Cho số phức z = x + yi với x, y là các số thực không âm thoả mãn

(

)

2
2
z −3
= 1 và biểu thức P = z 2 − z + i z 2 − z  z (1 − i ) + z (1 + i )  . Giá trị lớn nhất
z − 1 + 2i

và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:
A. 0 và -1
B. 3 và -1

C. 3 và 0
D. 2 và 0

Bài giải
z −3
= 1 ⇔ z − 3 = z − 1 + 2i ⇔ x + y = 1
z − 1 + 2i
2

1

D. M .n = 4

3

10

D. M .n = 1

5

z
− i 4 n +1 = i 4 n với n ∈ ¥ . Gọi M và m lần
i+2

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 3 + i . Tính M .m
18


A. M .n = 20
B. M .n = 15
C. M .n = 24
D. M .n = 30
Câu 28: : Cho số phức z thảo mãn z + 1 + z − 1 = 4 . Gọi m = min z và M = max z
, khi đó M .n bằng:
A. 2

C. 2 3

B. 2 3



Đáp án bài tập tự luyện là: 25A 26D 27A 28B 29C 30A.
2.4. Kết quả thực nghiệm
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm
Tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Hoàng, huyện Hà Trung
Gồm: Lớp thực nghiệm 12C1
Lớp đối chứng 12C6
Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 12C1 có 40 học sinh, lớp 12C3 có
38 học sinh, thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 10 năm 2017 đến thánh 5
năm 2018.
2.4.2. Kết quả định lượng
- Lớp đối chứng (ĐC): 12C6
- Lớp thực nghiệm (TN): 12C1
Điểm 1
Lớp

2

3

4

5

6

7

8


0

19


ĐC
12C6

0

3

4

6

5

5

7

5

2

1

38


làm bài nhanh, chính xác.
- Ở các lớp thực nghiệm:
+ Phần lớn học sinh hiểu bài tương đối chính xác và đầy đủ
+ Lập luận rõ ràng, chặt chẽ
+ Đa số các em có khả năng vận dụng những kiến thức đã học và kiến thức
thực tế .
+ Các em, đặt câu hỏi và trả lời câu hỏi với tinh thần say mê, hào hứng,
không khí giờ học thoải mái.
+ Tuy nhiên, vẫn còn một số ít học sinh chưa nắm vững nội dung bài học,
khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và vận dụng kiến thức chưa tốt.

20


2.4.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Với kết quả thực nghiệm này, tôi có thêm cơ sở thực tiễn để tin tưởng vào
khả năng ứng dụng phương pháp dạy học gắn liền với thực tiễn.
Qua thực nghiệm dạy học, tôi nhận thấy:
- Hứng thú học tập của học sinh cao hơn, hoạt động thảo luận sôi nổi hơn
và hiệu quả cao hơn, HS tập trung để quan sát và phân tích, phát biểu xây dựng
bài tốt hơn.
- Tăng cường thêm một số kỹ năng hoạt động học tập cho HS như quan sát,
phân tích, tổng hợp, so sánh, kỹ năng làm việc độc lập
- Hoạt động của giáo viên nhẹ nhàng, thuận lợi hơn để có thể tập trung vào
việc đưa HS vào trung tâm của hoạt động dạy học.
- HS trong nhóm và giữa các nhóm phát biểu ý kiến, tranh luận, bổ sung ý
kiến tạo không khí học tập rất tích cực, nâng cao hiệu quả tiếp thu, lĩnh hội tri
thức của HS.
- Kiến thức được cung cấp thêm, bổ sung và làm rõ SGK, đồng thời gắn với
thực tiễn nhiều hơn.

- Giáo viên cần có biện pháp cụ thể để rèn luyện kỹ năng làm bài tập dạng
trắc nghiệm đối với từng đối tượng học sinh (trình độ trung bình hay khá, giỏi).
- Do số lượng HS ở lớp nghiên cứu đông nên hiệu quả chưa cao, do đó cần
nghiên cứu thêm phương pháp này ở các lớp có số lượng HS ít hơn.
- Để góp phần nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp dạy học trắc
nghiệm gắn liền với thực tiễn. đòi hỏi giáo viên phải có sự đầu tư thiết kế
để tạo cho học sinh hứng thú và học tập tốt hơn.
- Ngoài ra cần bố trí phòng máy chiếu hợp lí để học sinh không mất nhiều
thời gian di chuyển cũng như ổn định trật tự thời gian đầu giờ.
Do khả năng và thời gian có hạn nên kết quả nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở
những kết luận ban đầu và nhiều vấn đề chưa đi sâu. Vì vậy không thể tránh
khỏi những thiếu sót, do đó kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô
đồng nghiệp để đề tài dần hoàn thiện hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán THPT, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017, Nhà xuất bản giáo dục.
3. Giáo trình Đại số và giải tích lớp 11, Nhà xuất bản giáo dục năm 2006.
4. Giáo trình Đại số và giải tích lớp 12, Nhà xuất bản giáo dục năm 2006
5. Tạp chí toán học và tuổ trẻ số 294,370.
6. Một số tài liệu, chuyên đề ôn thi đại học.

22


7. Tuyển tập đề thi OLYMPIC toán THPT Việt Nam (1990-2006), Nhà xuất bản
giáo dục năm 2007.
8. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục năm
2003.
9. Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục năm