PHÒNG
PHÒNG GIÁO
GIÁO DỤC
DỤC VÀ
VÀ ĐÀO
ĐÀO TẠO
TẠO NHƯ
NHƯ THANH
THANH

TRƯỜNG
TRƯỜNG TRUNG
TRUNG HỌC
HỌC CƠ
CƠ SỞ
SỞ THỊ
THỊ TRẤN
TRẤN BẾN
BẾN SUNG
SUNG

SÁNG
SÁNG KIẾN
KIẾN KINH
KINH NGHIỆM
NGHIỆM

MỘT
MỘT SỐ
SỐ KINH
KINH NGHIỆM

TẬP TOÁN
TOÁN 66

Người
Ngườithực
thựchiện:
hiện:Vũ
VũChí
ChíCường
Cường
Chức
Chứcvụ:
vụ: Giáo
Giáoviên
viên
Đơn
Đơnvị
vịcông
côngtác:
tác: Trường
TrườngTHCS
THCSTT
TTBến
BếnSung
Sung
SKKN
SKKNthuộc
thuộclĩnh
lĩnhmực
mực(môn):


Cơ sở lý luận
Thực trạng của vấn đề khi chưa áp dụng SKKN
Các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề
Kiến thức cơ bản về phân số
Nghiên cứu bài tậ 22 (Trang 9, SBT toán 6- tập hai)
Khai thác và mở rộng các tình huống về bài toán
giá trị nguyên của phân số
4. Các bài tập tự luyện
IV.
Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
6
11
12
13


phân số từ một bài toán trong sách bài tập toán 6” để cùng trao đổi thảo luận
và chia sẻ với các đồng nghiệp.
II. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp thêm một số kinh nghiệm nữa trong việc hướng dẫn học
sinh lớp 6 tìm tòi, khai thác bài toán, đặc biệt trong bài toán về giá trị nguyên
của một phân số. Từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của một bài toán và
biết cách suy luận logic. Đồng thời góp phần rèn luyện khả năng tư duy linh
hoạt sáng tạo trong giải toán.
III. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi trong chương trình
toán 6 được khai thác và mở rộng từ bài tập 22 (Trang 9, SBT Toán 6- tập hai)
IV. Phương Pháp nghiên cứu:
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế từ bài toán về giá trị nguyên của
phân số đối với học sinh lớp 6.
- Phương pháp thực hành giải toán.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3


I. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Chúng ta biết rằng, dù là dạng toán nào thì đều phải yêu cầu học sinh
nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa
các đối tượng, giữa cái đã biết với cái chưa biết, cái đang tìm hiểu. Từ đó hướng
dẫn các em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào từng tình huống bài toán cụ thể.
Việc hướng dẫn học sinh ôn tập từ kiến thức cơ bản để giải quyết các bài
toán từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả năng tiếp thu của học sinh là
hoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức.
Trong học tập nói chung và học toán nói riêng, nếu người học mà tự tìm

a
lớn nhất với a, b là các số tự nhiên,
b
4 6
a
sao cho khi chia mỗi phân số ;
cho ta được kết quả là số tự nhiên.
7 165
b

Bài 2 (2,5 điểm): Tìm phân số tối giản

Kết quả kiểm tra
Tổng
số HS
25

Giỏi

Khá

TB

Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%


2. Nghiên cứu bài tập 22 (Trang 9, SBT Toán 6- Tập hai)
Cho biểu thức A =

3
n−2

a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là một số nguyên.
* Phân tích và hướng dẫn:
- Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài.
Câu a: Yêu cầu học sinh nhớ lại định nghĩa về phân số và cho biết biểu
thức A là phân số khi nào?
Câu b: Yêu cầu học sinh tìm hiểu và cho biết biểu thức A có kết quả là
một số nguyên khi nào?
- GV cần lưu ý với học sinh: Để phân số có giá trị là một số nguyên thì tử
phải chia hết cho mẫu.
Biểu thức A =

3
là một số nguyên khi 3Mn − 2 .
n−2

Với cách suy luận trên chúng ta đã đưa bài toán ở câu b về bài toán chia
hết mà học sinh đã biết. Điều này rất phù hợp với tư duy về toán, đó là ta đưa
những bài toán mới, khó về những bài toán đơn giản hơn đã biết. Công việc còn
lại là khá đơn giản.
* Sơ lược lời giải:
3
là phân số khi n − 2 là số nguyên khác 0.


- Từ đó, ta đưa về bài toán chia hết.

5


* Sơ lược lời giải:

n +1
có giá trị là số nguyên khi n + 1Mn − 2
n−2
Suy ra: (n − 2) + 3Mn − 2 ⇒ 3Mn − 2 . Khi đó, n − 2 là ước của 3.
Tương tự như bài toán trên ta tìm được n ∈ { 3;1;5; −1} .

Phân số B =

* Một hướng suy nghĩ khác về bài toán:
- Trong bài toán trên, ta cũng đã đưa về bài toán chia hết để thực hiện,
trong cách làm đó, ta đã tách n + 1 thành n − 2 cộng với 3. Ta biết rằng n − 2 chia
hết cho n − 2 ( thương là 1) nên suy ra 3Mn − 2 .
Từ đây, bài toán gợi ý cho ta cách trình bày thứ 2 mà tôi gọi là “tách phần
nguyên” (tương tự như đối với hỗn số):
n +1 n − 2 + 3
3
=
= 1+
n−2
n−2
n−2
3

Tuy nhiên, vì n tìm được là những giá trị để 2(n − 1)M2n + 2 chứ chưa phải
là các giá trị để n − 1M2n + 2 . Vậy, ta cần thử lại để có kết luận bài toán.
* Sơ lược lời giải:
Phân số C =

n −1
có giá trị nguyên khi n − 1M2n + 2
2n + 2

6


⇒ 2n − 2M2n + 2
⇒ (2n + 2) − 4M2n + 2
⇒ 4M2n + 2
Suy ra 2n + 2 là ước của 4. Mà 2n + 2 là số chẵn nên ta có bảng sau:

2n+2
n

-2
-2

2
0

-4
-3

4

Suy ra: n − 1Mn + 1 .
- Đến đây, ta được bài toán như ví dụ 1. Việc giải tìm n là đơn giản. Tuy
nhiên các giá trị n tìm được để n − 1Mn + 1 nhưng chưa phải là các giá trị để
n − 1M2n + 2 ( n − 1Mn + 1 nhưng chưa chắc n − 1M2n + 2 ). Vì vậy, ta phải thử lại để
có được các giá trị n cần tìm.
* Sơ lược cách giải:
Phân số C =

n −1
có giá trị nguyên khi n − 1M2n + 2
2n + 2
⇒ n − 1M2n + 2
⇒ n − 1M2(n + 1)
⇒ n − 1Mn + 1
⇒ n + 1 − 2Mn + 1
⇒ 2Mn + 1

Suy ra n + 1 là ước của 2. Ta có bảng sau:
n+1 -1 1 -2
n
-2 0 -3

2
1
7


3
(không thỏa mãn)
2

có giá trị là một số nguyên, suy ra: 2 D =
có giá
2n + 1
2n + 1

trị là một số nguyên.

2n − 2 2n + 1 − 3
3
=
= 1−
2n + 1
2n + 1
2n + 1
Để 2D có giá trị nguyên thì 2n + 1 là ước của 3. Ta có bảng sau:

Ta có: 2 D =

Thử lại:

2n+1 -1 1 -3 3
n
-1 0 -2 1
+) Với n=-1 thì D = −2 (thỏa mãn)
+) Với n=0 thì D = −1 (thỏa mãn)
+) Với n=-2 thì D = 1 (thỏa mãn)
+) Với n=1 thì D = 0 (thỏa mãn)

Vậy, n ∈ { −1;0; −2;1}
Từ bài tập trên, ta có thể khai thác, mở rộng và hệ thống thành dạng bài

b) Ta có:
n+2
n+2
n+4
Phân số
có giá trị là một số nguyên khi n + 2 là ước của 2, mà n là
n+2
số tự nhiên nên n + 2 = 2 ⇒ n = 0 .
Vậy, n = 0 .

a) Phân số

3.2.Tình huống 2: Tìm điều kiện để nhiều phân số đều có giá trị nguyên.
Bài 2: Tìm số nguyên n để các phân số sau đều có giá trị nguyên:
3
4
5
;
và
n+2 n+2
n+2
2
n+5
b)
và
n +1
n +1

a)


n + 5 n +1+ 4
4
n+5
=
= 1+
. Để phân số
có giá trị là một số
n +1
n +1
n +1
n +1

nguyên thì n + 1 là ước của 4.

2
có giá trị nguyên thì n + 1 là ước của 2.
n +1
Suy ra, n + 1 là ước chung của 2 và 4. Mà ƯC(2,4) = { ±1; ±2} . Nên ta có:

Mặt khác, để phân số

n+1
n

Vậy, n ∈ { −2;0; −3;1}

-1
-2

1

- Ở câu b, ta phải “tách phần nguyên” để đưa về dạng như câu a.
* Sơ lược cách giải:
3
có giá trị là một số nguyên khi n + 1 là ước của 3. Với n là
n +1
số tự nhiên, ta tìm được n ∈ { 0;2;}

a) Phân số

9
có giá trị là số nguyên thì 2n + 3 là ước của 9. Với n là số
2n + 3
tự nhiên, ta tìm được: n ∈ { 0;1;3}

- Phân số

Suy ra, để các phân số đều có giá trị là số nguyên thì n=0. Vậy n=0
* Lưu ý: Ở bài tập này, sau khi ta tìm được các số tự nhiên n để phân số thứ nhất
có giá trị là số nguyên. Ta có thay lần lượt các số vừa tìm được vào phân số thứ
hai để kiểm tra trường hợp nào cho phân số có giá trị là số nguyên, từ đó ta tìm
được kết quả nhanh hơn.

2n − 1 2( n + 2) − 5
5
2n − 1
=
= 2−
. Để phân số
có giá trị là
n+2

a) A =

* Phân tích và hướng dẫn
- Ở bài tập này, biểu thức là tổng của nhiều phân số. Việc đầu tiên là ta
định hướng cho học sinh thực hiện việc cộng, trừ phân số để thu gọn biểu thức.
* Sơ lược cách giải:

10


4
6
3
4
6
3
7
+
+
=
+
−
=
n −1 n −1 1 − n n −1 n −1 n −1 n −1
Để A có giá trị là một số tự nhiên thì n − 1 là ước dương của 7. Ta có:
+) n − 1 = 1 ⇒ n = 2 (thỏa mãn)
+) n − 1 = 7 ⇒ n = 8 (thỏa mãn)
Vậy, n ∈ { 2;8}

a) Ta có: A =

⇒
n
=
1
nhiên nên
Suy ra:
(thỏa mãn)
n
=
1
Vậy,
.
B=

3.4. Tình huống 4: Phân số có tử và mẫu là các biểu thức phức tạp.
Bài 5: Tìm số nguyên x để các phân số có trị nguyên
x+2
( x − 2)( x + 1)
x2 − x + 2
b)
1− x

a)

* Phân tích và hướng dẫn:
- Ở câu a, ta đưa về bài toán chia hết: x + 2M( x − 2)( x + 1) ⇒ x + 2Mx + 1
Từ đó, suy luận ta tìm được giá trị của x, rồi thử lại để kết luận bài toán.
- Ở câu b, liên hệ với mẫu 1 − x , ta thấy x 2 − x có gì đặc biệt?
1 − x . Nó chính là cơ sở để chúng ta suy luận giải
Ta có: x 2 − x = x( x − 1)M

1− x
1− x

11


x2 − x + 2
Phân số
có giá trị nguyên khi 1 − x là ước của 2. Ta có bảng:
1− x
1 − x -1 1 -2
2
x
2 0 3 -1
Vậy, x ∈ { 2;0;3; −1}

3.5. Tình huống 5: Áp dụng vào bài toán tìm phân số để kết quả nhân, chia
phân số là một số nguyên.
Bài 6: Tìm phân số có giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu là số tự nhiên khác 0,
sao cho khi nhân phân số này lần lượt với phân số

2 4
; thì mỗi tích tìm được là
3 5

một số tự nhiên.
* Phân tích và hướng dẫn:
- Yêu cầu học sinh tiếp cận bài toán bằng việc gọi phân số cần tìm là
với (a, b) = 1 . Rồi thực hiện phép nhân phân số, ta được:


* Sơ lược cách giải:
a
với (a, b) = 1
b
a 2 2a a 4 4a
Ta có: . = ; . =
b 3 3b b 5 5b
2a
Phân số
là số tự nhiên khi 2aM3b . Suy ra:
3b
+) 2aM3 mà (2,3) = 1 nên aM3
+) 2aMb mà (a, b) = 1 nên 2Mb
4a
Phân số
là số tự nhiên khi 4aM5b . Tương tự, suy ra: aM5 , 4Mb
5b

Gọi phân số cần tìm là

Do đó, a là bội chung của 3 và 5, b là ước chung của 2 và 4.
12


Vì theo đề bài

a
là phân số nhỏ nhất nên a là số tự nhiên nhỏ nhất, b là số
b


15a . Suy ra:
Phân số
có kết quả là số tự nhiên khi 4bM
15a
+) 4bMa mà (a, b) = 1 nên 4Ma
15 mà (4,15)=1 nên bM
15
+) 4bM
16b
Phân số
có kết quả là số tự nhiên khi 16bM21a . Tương tự, suy ra:
21a
16Ma , bM21

Phân số

Do đó: a là ước chung của 4 và 16, b là bội chung của 15 và 21.
Vì

a
là phân số lớn nhất nên a là số tự nhiên lớn nhất, b là số tự nhiên
b

nhỏ nhất.
Suy ra: a=ƯCLN(4,6)=4, b=BCNN(15,21)=105
Vậy phân số cần tìm là

a
4
=

a)

13


Bài 4: Tìm các số nguyên x biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

2 x + 9 5 x + 17 −3 x −4 x − 23
+
+
+
x+3
x+3
x+3
x+3
a
Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhất (a, b ∈ N * ) sao cho khi nhân số đó với
b
24
16
và
đều được tích là một số tự nhiên.
5
3
P=

Bài 6: Tìm phân số tối giản

(


chủ được kiến thức của mình để tiếp nhận các bài tập khác một cách nhẹ nhàng
điều này giúp đạt kết quả cao trong các kì thi.
Sau khi triển khai đề tài, để kiểm định chất lượng của sáng kiến, tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra, thời gian kiểm tra 45phút.
Đối tượng kiểm tra: 30 học sinh là học sinh có lực học khá giỏi môn Toán
lớp 6A trường THCS TT Bến Sung.
Đề kiểm tra: (Thời gian: 45 Phút)
Bài 1. (4,0 điểm) Tìm số nguyên n để các phân số sau đều có giá trị là một số
nguyên:
a)

3
2n − 1

b)

n −1
n+2

Bài 2. (4,0 điểm) Tìm số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị là số tự nhiên
a +1
3a + 2
a +1
a
−
b) B =
a−2 2−a

a) A =


40,0
9
36,0
6
24,0
0
0,0
Đối chiếu với kết quả khảo sát cho thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt: Với nội
dung kiểm tra có phần khó hơn đề đã khảo sát thì kết quả hoàn thành của học
sinh rất tốt. Không có học sinh nào có điểm yếu, kém; chủ yếu là đạt điểm khá
giỏi; có 5 em học sinh đã giải quyết tốt cả ba bài.
Tuy nhiên, đề tài này chỉ có hiệu quả đối với đối tượng học sinh có lực
học khá, giỏi và ít hiệu quả đối với các em có lực học TB và yếu, kém về môn
Toán.
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Đây là một chuyên đề khá vừa sức với các em học sinh có năng lực về
môn Toán và việc các em lĩnh hội cũng không gặp nhiều khó khăn.
Trong phạm vi nhỏ của đề tài bản thân chưa thể bao quát hết các kiến thức
từ việc khai thác kết quả của một bài toán, tuy nhiên khi thực hiện đã có tác
dụng rất tốt đối với học sinh. Từ những thành công trong việc vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi xin mạnh dạn chia sẻ cùng đồng nghiệp.
Bài viết không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị: Không.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Như Thanh , ngày 14 tháng 3 năm 2018.