I.I.ỨNG
ỨNGDỤNG
DỤNGĐẠO
ĐẠOHÀM
HÀMĐỂ
ĐỂKHẢO
KHẢOSÁT
SÁTHÀM
HÀM
SỐ
SỐ

1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Định lý 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x) ≥ 0 với mọi x∈ K
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x) ≤ 0 với mọi x∈ K
•
•

[ f (x) đồng biến trên K ]
[ f (x) nghịch biến trên K ]

[ f '( x) = 0 với mọi x∈ K ]

⇒ [ f '(x) ≥ 0 với mọi x∈ K ]
⇒ [ f '(x) ≤ 0 với mọi x∈ K ]
⇒ [ f (x) không đổi trên K ]

Định lý 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f '( x) > 0 với mọi x∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên K


f ( x) ³ 0 " x Ỵ R

Û

ìïï D £ 0
í
ïïỵ a > 0

•

f ( x) £ 0 " x Ỵ R

Û

ïìï D £ 0
í
ïïỵ a < 0

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f ( x) , ta thực hiện các bước
như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y′ . Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là
các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các
khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số.
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc
nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)

•


• Nếu ∆ < 0 thì g( x) luôn cùng dấu với a .
b
• Nếu ∆ = 0 thì g( x) luôn cùng dấu với a (trừ x = − )
2a

• Nếu ∆ > 0 thì g( x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì
g( x) khác dấu với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x) cùng dấu với a
.
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với
số 0:
∆ > 0

• x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
S < 0
∆ > 0

0 < x1 < x2 ⇔ P > 0
S > 0

•

• x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

5) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch
biến) ( x1; x2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

• Tính y′ .


Xét tính đơn điệu của hàm số f (x) trong khoảng ( a; b) .

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình

f ( x) = g( x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực

hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
• Xét các hàm số y = f (x) ( C1) và y = g(x) ( C2 ) . Ta cần chứng minh
một hàm số đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó ( C1) và

( C2 )

giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0 . Đó chính là

nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C
trên vẫn đúng.

thì kết luận


2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì
f '( x0 ) = 0

trò tại xi .
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.

• Tính f ′ ( x) .
• Giải phương trình f ′ ( x) = 0 tìm các nghiệm xi ( i = 1, 2, …) .
• Tính f ′′ ( x) và f ′′ ( xi )

(i =

1, 2, …) .

Nếu f ′′ ( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại
tại xi .
Nếu f ′′ ( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu
tại xi .
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f ′ ( x0 ) = 0 hoặc tại x0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f (x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f ′ ( x) đổi dấu khi x đi
qua x0 .
Chú ý:

• Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trò ⇔ Phương trình y′ = 0
có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò

y( x0 ) bằng hai cách:

+ y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d
+ y( x0 ) = Ax0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y

hoặc

P ' x0
Q ' x0

• Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần
phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
• Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến
thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et.

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d .

• Chia f ( x) cho f ′ ( x) ta được:

f ( x) = Q ( x) . f ′ ( x) + Ax + B.

• Khi đó, giả sử ( x1; y1) , ( x2; y2 ) là các điểm cực trò thì:
 y1 = fx1 = Ax1 + B
 y = fx = Ax + B
 2
1
2

⇒ Các điểm ( x1; y1) , ( x2; y2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức y = f (x) =

P (x) ax2 + bx + c
.
=

khoảng.

• Tính f ′ ( x) .
• Xét dấu f ′ ( x) và lập bảng biến thiên.
• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên
một đoạn  a; b .

• Tính f ′ ( x) .
• Giải phương trình f ′ ( x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2,… , xn trên
 a; b (nếu có).

• Tính f ( a) , f ( b) , f ( x1) , f ( x2 ) , …, f ( xn ) .
• So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M = max f (x) = max{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]

m= min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất
đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.

• Chứng minh một bất đẳng thức.
• Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng


thức vừa tìm được trở thành đẳng thức.
Một số kiến thức thường dùng:

2
(a + b)2
4

3) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ⇔ a2 + b2 ≥

(a + b)2
2

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng
miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) trên một miền D cho
trước.
Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f ( x) trên D , thì hệ phương trình
(ẩn x) sau có nghiệm:
 f (x) = y0

 x∈ D

(1)
(2)

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng.
Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m≤ y0 ≤ M

(3)


Vì y0 là một giá trò bất kì của f ( x) nên từ (3) ta suy ra được:
min f (x) = m; max f (x) = M

D

và có


4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

1. Đònh nghóa:
• Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thò
hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả
mãn:
lim f (x) = +∞ ;

lim f (x) = −∞ ;

x→ x0+

x→ x0+

lim f (x) = +∞ ;

x→ x0−

lim f (x) = −∞

x→ x0−

• Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thò
hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả
mãn:

• Nếu bậc ( P ( x) ) = bậc ( Q ( x) ) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
• Nếu bậc P ( x) ≤ bậc Q ( x)

b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận
xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:
a = lim

x→+∞

hoặc

f (x)
;
x

a = lim

x→−∞

b = lim [ f (x) − ax]
x→+∞

f (x)
;
x

b = lim [ f (x) − ax]
x→−∞



Trong mp( Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  1
(C2) : y = g(x)

( C1) và ( C2 )

( C1) và ( C2 )

không có điểm chung

cắt nhau

( C1) và ( C2 )

tiếp xúc

nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f ( x) = g( x)                  1
()
* Tùy theo số nghiệm của phương trình ( 1) mà ta kết luận về số điểm
chung
của hai đồ thị

( C1) và ( C2 ) .

Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình ( 1) chính là số giao điểm của hai đồ thị ( C1)
và ( C2 ) .

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) : y = f(x)
tại điểm M0(x0;y0)∈ (C)


Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M ( x0; y0 ) có dạng:
y − y0 = k ( x − x0 ) hay

y = f '(x0)(x − x0) + f (x0)

x0 :

hoành độ tiếp điểm

y0 :

tung độ tiếp điểm và y0 = f ( x0 )

k:

hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k = f ' ( x0 )

Trong đó:

Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

∆1 ⊥ ∆ 2

⇔ k∆1 .k∆2 = −1

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) : y = f(x) biết
tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA;yA )


Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến ( d) với ( C ) tại điểm M0 ( x0; y0 ) ∈ (C )
(d ) : y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )

( *)

Bước 2: Định x0 để ( d) đi qua điểm A ( xA; yA ) Ta có:

( d)

đi qua điểm A ( xA; yA ) ⇔ yA = f '(x0)(xA − x0) + f (x0)

( 1)
Bước 3: Giải phương trình ( 1) tìm x0 . Thay x0 tìm được vào ( *) ta sẽ được
phương trình tiếp tuyến cần tìm.


8. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ
THỊ
Cơ sở của phương pháp


Bước 1: Xem (*) là phương ∆trình hồnh
(0; m) độ giao điểm của hai đồ thị:
• (C ): y = f (x) : (C) làđồthòcốđònh
• (∆ ): y = m
: (∆) làđườ
ng thẳ
ng di độ
ng cù
ng phương Ox
vàcắ
t Oy tại M(0;m)


Bước 2: Vẽ ( C ) và ( ∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của ( ∆ ) và ( C )
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình ( *)

Minh họa:

Dạng: f ( x) = g( m) giải tương tự


9.

TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D.
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp ( C ) tất cả các điểm có toạ độ ( x; f ( x) ) với
x ∈ D được gọi là đồ thị của hàm số y = f ( x) .