Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

--------------------------------------------------------------------------------------------

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG
----- -----

TIỂU LUẬN
Đề tài: Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan
Trong Không Gian 2 Chiều

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên thực hiện

: Nguyễn Ngọc Trung

Lớp: toán 1-K51.

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

--------------------------------------------------------------------------------------------

Phần I. Lý thuyết cơ sở
I. Tổng Quát

-------------------------------------------------------------------------------------------• một trợ giáo hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học
I.2.Hàm Số
Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu tương tự như khái
niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một qui tắc tuơng ứng áp
dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà
trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và
chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi
hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều
là tập hợp số.
Ví dụ một hàm số f xác định trên tập hợp số thực R được miêu tả bằng biểu
thức:y = x2 - 5 sẽ cho tương ứng mỗi số thực x với một số thực y duy nhất
nhận giá trị là x2 - 5, như vậy 3 sẽ tương ứng với 4. Khi hàm f đã được xác
định, ta có thể viết f(3) = 4.

Mỗi số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y qua hàm f

II. Các Gói Thủ Tục
1. Gói lệnh Student hỗ trợ cho việc dạy và học toán.
• Từ Maple 8, gói lệnh Student được phát triển từ gói lệnh student
trước đó nhằm hỗ trợ cho việc dạy và học toán ở đại học và phổ
thông. Khai thác khả năng của gói lệnh này sẽ đem đến cho giáo
viên rất nhiều công cụ hỗ trợ mới trong phương pháp dạy học. Có
thể nói rằng gói lệnh này đã đề cập đến tất cả các nội dung toán học
-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------của đại học và phổ thông, cung cấp nhiều lệnh và thủ tục cho các


-------------------------------------------------------------------------------------------a. Sự vận động của đồ thị: animate3d(ham_co_tham_so,x=gt_dau..gt_cuoi,
y=gt_dau..gt_cuoi, tham_so =gt_dau..gt_cuoi);
Ý nghĩa: hiển thị sự biến đổi, vận động của đồ thị khi tham số thay đổi trong
khoảng cho trước
b.Lệnh plots[display]()
Cú pháp:
plots[display](a,b,c...,insequence=true(false),options);
plots[display](L,insequence=true(false),options);
plots[display](A,options);
plots[display](P,options);
Các tham số:
a,b,c... là cá đồ thị riêng biệt.
L: dãy (list) các đồ thị(ví dụ L:=a,b,c;)
A: mảng một chiều hoặc hai chiều của các đồ thị.
P: đồ thị dưới dạng vận động.
insequence=true(false): nó cho phép hiện từng đồ thị trong dãy(list) theo
trình tự của dãy.
options: các tính chất cơ bản của các lệnh vẽ như plot/options
c. Lệnh plottools[rotate](): quay đồ thị 2D, 3D:
Cú pháp:
plottools[rotate](p,ang,pt_2d); quay một góc ang quanh điểm có tọa độ
pt_2d.
plottools[rotate](q,alpha,beta,gamma); quay đồ thị q quanh truc x, y, z với
các góc tương ứng.
plottools[rotate](q,alpha,[pt_3d1,pt_3d2]); quay đồ thị q quanh trục qua
-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51



Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------d.. Đưa chữ vào chuyển động.
Trong cả hình vẽ 2 và 3 chiều bằng gói plot chúng ta đều có thể đưa
tiêu đề của hình vẽ vào bằng lựa chọn options: title=”text”. Trong đó “text”
là một xâu ký tự.
Chúng ta cũng có thể chỉ định phông chữ và cỡ chữ cho tiêu đề đó bằng
options: titlefont
Mặc định thì title chỉ hiện thị trên một dòng, điều đó sẽ khó khăn nếu title
quá dài. Để title có thể trải trên 2 hay nhiều dùng, chúng ta có thể thêm lệnh
\n vào trong “text” để đưa đoạn text tiếp theo xuống dòng mới.

Phần II. Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên
Quan Trong Không Gian Hai Chiều
II.I. Đồ Thị Hàm Số
II.I.1. Sơ lược một số tính chất của hàm số
1) Định nghĩa một hàm số.
Cú pháp: > f: = x –> f (x) ;
*Để tính giá trị hàm số tại x = a ta dùng lệnh: > f(a); .
Ví dụ:
Xác định hàm số y = f ( x) = x^2 - 3x + 5
+Nhập vào Maple:
> f:= x -> x^2-3*x+5;
+Tính giá trị của hàm số khi
x=-3; x=1/3
>f(-3),f(1/3);
2) Xác định hàm số f từ một biểu thức p(x).
Cú pháp: > f: =unapply(p,x); .
Ví dụ:
Cho biểu thức p( x) = sin 3x - 2x^2 .

- options: các thuộc tính liên quan đến đồ thị;
- x0.. x1: khoảng [x0; x1] trên trục Ox;
- y0..y1: khoảng [y0..y1] trên trục Oy.
Các option liên quan đến đồ thị:
-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------• Color: Màu của đồ thị gồm các màu cơ bản với các “từ khóa” như
sau:

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

--------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

--------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển

* tickmarks = [a,b]: giới hạn khung nhìn đồ thị.
Ví dụ:
Vẽ đồ thị hàm số y = sin x .
Từ đó suy ra đồ thị các hàm số: y = -sin x; y = sin x ; y = sin x
+ Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên khoảng [ - 2p ;2p ]:
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,title="Do thi ham so y=sin(x)
tren khoang [-2Pi; 2Pi]");

Ví dụ:
Vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 2 trên khoảng [-7; 7].
> plot(x^3-3*x+2,x=-7..7);

Nhận xét: Chúng ta nhận thấy các giá trị hiển thị trên trục Oy là quá lớn nên
khó
-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------thấy rõ dáng điệu cụ thể của đồ thị.
Vậy ta cần giới hạn trên trục Oy để đồ thị được rõ ràng và trực quan hơn:
>plot(x^3-3*x+2,x=-7..7,y=-6..6);

+Nếu không giới hạn trên 2 trục thì Maple mặc định x=-10..10 còn ý tùy
ý. Do đó
đồ thì được hiển thị như sau:
>plot(x^3-3*x+2);
ÆQua đó chúng ta nhận thấy, để vẽ một đồ thị có tính trực quan, rõ ràng


và đồ thị hàm số y = cos x (màu đỏ_ kiểu hiển thị là điểm dạng hình tròn)
trên cùng một hệ trục.
> plot([cos(x), abs(cos(x))], x=-6..6,y=-2..2,
color=[blue,red],style=[line,point], symbol=circle,
thickness=2, tickmarks=[10,10]);

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

--------------------------------------------------------------------------------------------

· Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức:
Ví dụ:

+ Lập thủ tục xác định hàm số f:
> f:=proc(x) if x plot(f,-5..5,-5..6);

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------2). Vẽ đồ thị động.
Gói lệnh: > with(plots):

stop rồi kích hoạt nút , mỗi lần kích hoạt ta được một đồ thị ứng với một giá
trị của m hiện ở trên màn hình (khung nhìn ).
+ Có thể biểu diễn kết quả hiển thị các đồ thị dưới dạng chùm bằng cách bổ
sung thêm trong câu lệnh một option có tên trace = n (n+1 là số đồ thị trong
chùm).
> animate( plot, [m*x^2,x=-4..4], m=-3..3, trace=7,
frames=50 );

Sau khi nhấn nút , đồ thị từ từ chuyển động và kết quả sẽ hiển thị là:

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------b) Vẽ đồ thị y = f ( x) dưới dạng vết của một điểm M (x; f ( x)) chuyển
động.
Cú pháp: >animatecurve(f(x),x=a..b, option);
II.I.3. Một số điểm và đường đặc biệt có liên quan đến hàm số và đồ thị
hàm số.
Gói lệnh : > with(Student[Calculus1]):
1) Tìm điểm cực trị của hàm số.
Cú pháp: > ExtremePoints( f,x,opts );
> ExtremePoints( f,x=a..b,opts );
> ExtremePoints( f,a..b,opts );
Trong đó: - f: là hàm số biến số x;
- a..b: là khoảng chứa điểm cực trị ;
- opts: là numeric. Nếu có khai báo numeric (true) thì [a..b]=[-10..10], nếu
không khai báo maple mặc định là false.

> Tangent( f,c,a..b,opts );
Trong đó: - f: là hàm số biến số x;
- c: là hoành độ tiếp điểm;
- a..b là một khoảng chứa c.
Nếu không khai báo thì Maple sẻ mặc định với khoảng a..b = c-1..c+1.
- opts là một option ; option ở đây có thể là: functionoptions, output,
pointoptions, showfunction, showpoint, showtangent, tangentoptions, title,
view.
* functionoptions: là một list các thuộc tính (màu /cở đồ thị hàm số f, …)
của function; Theo mặc định của Maple, đồ thị hàm f là một đường màu
đỏ.
* output: là line(đường thẳng), slope(hệ số góc) hoặc plot (đồ thị);
* pointoptions: là một list các thuộc tính (màu /hình dạng,…) của điểm;
Theo mặc định của Maple, tiếp điểm là một đường tròn màu xanh(blue).
* showfunction: được khai báo = true hoặc false. Nếu true thì đồ thị hàm số
được vẽ. Mặc định của Maple là true khi khai báo showfunction.
-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------* showpoint: được khai báo = true hoặc false. Nếu true thì tiếp điểm được
vẽ. Mặc định của Maple là true khi có khai báo showpoint.
* showtangent: được khai báo = true hoặc false. Nếu true thì tiếp tuyến
được vẽ. Mặc định của Maple là true khi có khai báo showtangent.
* tangentoptions: là một list các thuộc tính (màu /hình dạng,…) của tiếp
tuyến; Theo mặc định của Maple, tiếp tuyến là một đường thẳng màu
xanh(blue).
* title: là chuổi kí tự (tiêu đề của hình vẽ). Nếu không khai báo, mặc định

Trong đó: - f: là hàm số một ẩn x;
- a..b là khoảng trên trục hoành cần vẽ đồ thị;
- opts : là các option tương tự như trong lệnh Tangent.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = 2^x và đường đối xứng của nó qua đường thẳng
y=x.
> with(Student[Calculus1]):
InversePlot(2^x,x=-1..3,
lineoptions=[color=black,thickness=2], title="Do thi ham
nguoc cua h/so y=2^x");

7) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số.
* Giá trị lớn nhất của hàm số f:
Cú pháp: > maximize( f,x);
> maximize( f,x=a..b);
* Giá trị nhỏ nhất của hàm số f:
Cú pháp:

> minimize( f,x);
> minimize( f,x=a..b);

-------------------------------------------------------------------------------------------Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên: Nguyễn Ngọc Trung – Toán Tin 1 K51


Đồ Thị Hàm Số Và Các Vấn Đề Liên Quan Trong Không Gian 2 Chiều

-------------------------------------------------------------------------------------------Trong đó: - a..b là hai điểm mút của một khoảng muốn tìm giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất.
Ví dụ :
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức