TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 4.2 Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D1-4.2-2] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên nửa khoảng

( −2;1)

lim + f ( x ) = 2, lim− f ( x ) = −∞ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
và có x→−
2
x→1

A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 .
B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và một tiệm cận ngang
là đường thẳng y = 2 .
D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nếu
lim + f ( x ) = −∞ .
hoặc x→−
2
Câu 2.


x +1

x →+∞

= 0, lim

2x

2
x

= lim
= 0. .
1
1
x→−∞ x + 1 x→−∞
1+ 2
1+ 2
x
x
Suy ra đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang.
Ta có lim

= lim

2
x

2


2

(

= lim+
x →2

= lim+
x →2

(x

( 2 x − 1)

2

(

2

− ( x 2 + x + 3)

− 5x + 6 ) 2 x − 1 + x + x + 3
2

(3 x + 1)

( x − 3) ( 2 x − 1 +

x2 + x + 3

x2 − 5x + 6
x2 − 5x + 6
Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 4.

[2D1-4.2-2] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Đường cong ( C ) : y =
tiệm cận?
A. 4 .

B. 2 .

C. 1.
Hướng dẫn giải

5x + 2
có bao nhiêu
x2 − 4

D. 3 .

Chọn D.
 lim+ y = +∞
 x→2
⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = −∞
 xlim
−
→2
 lim + y = +∞


x 2 + 2 x − 3 ( x − 1) ( x + 3) x + 3
=
=
..
x 2 − 4 x + 3 ( x − 1) ( x − 3) x − 3

y = −∞ và lim+ y = +∞ nên x = 3 là đường tiệm cận đứng.
Ta có xlim
→3−
x →3

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 6.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-4.2-2] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Hàm số y =
nhiêu đường tiệm cận ?
A. 3.
B. 1.

2 x + 4 x2 − 3x + 2
có bao
x−2



B. 3 .

Chọn B.
x4 − 2
lim
= 1 suy ra đường thẳng y = 1 là TCN.
x →±∞ x 2 − 4

x4 − 2
= +∞ 
2
x →−2

x −4
 ⇒ đường thẳng x = −2 là TCĐ.
4
x −2

lim 2
= −∞ 
x →−2+ x − 4

lim−


x4 − 2
= −∞ 
2
x →2

⇔ x ≠ 4
⇒ D = [ −3;3] \ { −1} .
Điều kiện:  2
 x − 3 x − 4 ≠ 0
 x ≠ −1

Ta có.

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

lim − y = lim −

x →( −1)

x →( −1)

lim + y = lim +

x →( −1)

x →( −1)

PHƯƠNG PHÁP

9 − x2
= lim
( x + 1) ( x − 4 ) x →( −1) −


D. 0.

Chọn A.
Câu 14. Ta có xlim
→±∞

x+3
x2 + 1

= ±1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = ±1. .

Câu 15. [2D1-4.2-2] [THPT HÀM LONG] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số sau y =
A. 3 .

B. 2 .

C. 1.
Hướng dẫn giải

2x − 4
x2 −1

.

D. 4 .

Chọn D.
2x − 4
2x − 4


Chọn A.

x +1
có đồ thị (C), TXĐ: D = R \ { 1} .
x −1
y = lim y = 1 ⇒ tiệm cận ngang y = 1. .
Ta có: xlim
→+∞
x →−∞
Xét hàm số: y =

lim y = +∞ ⇒ tiệm cận đứng là x = 1 .

x →1+

x +1

là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số này được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng
x −1
cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nằm bên
phải trục tung.
x +1
Do đó, hàm số y =
sẽ có 3 đường tiệm cận là x = 1, x = −1; y = 1 .
x −1
Vì hàm số y =

TRANG 4


lim y = −∞;

x →( −2)+

lim y = +∞ ⇒ x = −2 là đường tiệm cận đứng.

x →( −2) −

Câu 18. [2D1-4.2-2] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Đồ thị hàm số y =
cận?
A. 4 .

B. 3 .

x 2 − 3x + 2
có bao nhiêu đường tiệm
1 − x2

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn D.

 x 2 − 3x + 2 
Câu 19. Ta có lim

÷ = −1 , y = −1 là tiệm cận ngang.
2

Câu 21.

x2 + 2x
Câu 23. [2D1-4.2-2] [THPT Lương Tài] Đồ thị hàm số y = 2
có mấy đường tiệm cận.
x −4
A. 3 .
B. 4 .
C. 1.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có y =

x2 + 2 x
x
. Có TCN y = 1 , TCĐ x = 2 .
=
2
x −4 x−2

Câu 24. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
y=

x2 − 2x − 3
.
x−2

A. 3 .


x − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2
2

lim

x →+∞

Không tồn tại lim±
x →2

PHƯƠNG PHÁP

2 3
−
x x 2 = 1 ⇒ Hàm số có 2 tiệm cận ngang.
x−2

x 1−

x2 − 2 x − 3
nên hàm số không có tiệm cận đứng.
x−2

Vậy tổng có 2 tiệm cận.
x−2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 9

Vì xlim
→−∞
x →+∞
Câu 29. [2D1-4.2-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Cho hàm số y =
của đồ thị hàm số bằng:
A. 3 .
B. 1.

x2 + x + 1
. Số đường tiệm cận
x−2
D. 0 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
lim y = 1; lim y = −1; lim+ y = +∞; lim− y = −∞ .
x →+∞

x →−∞

x→2

x →2

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
f ( x) = 3 và
Câu 30. [2D1-4.2-2] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Cho hàm số y = f ( x) có limx →+∞
lim f ( x) = −3 . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG ?


B. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

x +1
có bao
x + 2x − 3
2

D. 1.

Chọn B.
Tập xác định D = ¡ \{1; −3} .
x +1
lim 2
= 0 ⇒ TCN : y = 0 .
x →±∞ x + 2 x − 3
x +1
x +1
lim− 2
= −∞; lim+ 2
= +∞ ⇒ TCĐ : x = 1
x →1 x + 2 x − 3
x →1 x + 2 x − 3
.
x +1
x +1
lim 2


Câu 38. [2D1-4.2-2] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số : y =
là :
A. 1.

B. 4 .

3x + 1
x2 − 4

D. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Đồ thị hàm số y =

3x + 1
có hai tiệm cận đứng là x = ±2 và một tiệm cận ngang y = 0 .
x2 − 4

Do đó số tiệm cận của đồ thị hàm số là 3 .
Câu 39. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên NBK(QN)] Đồ thị hàm số y =
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .


−1 −
x+4
x = −1 = −1 ⇒ y = −1
lim y = lim
= lim
là một tiệm cận ngang của ( C ) . .
2
x →−∞
x→−∞
x →−∞
4
1
x −4
1− 2
x
Tóm lại ( C ) có tất cả 4 tiệm cận.
Câu 40. [2D1-4.2-2] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=

x+3
x2 + 1

.

A. 2.

B. 0.

C. 1.
Hướng dẫn giải

B. 4 .

x + 2016

có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 5
C. 1.
D. 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
y = lim
Ta có: xlim
→±∞
x →±∞

y =1
= ±1 ⇒ 
là 2 tiệm cận ngang.
x2 − 5
 y = −1

x + 2016

 lim+ y = +∞ 
x= 5
 x→ 5
⇒
Lại có: 
là tiệm cận đứng.


lim

x →±∞

PHƯƠNG PHÁP

x4 − 2
= 1 suy ra đường thẳng y = 1 là TCN.
x2 − 4


x4 − 2
=
+∞

x →−2

x2 − 4
 ⇒ đường thẳng x = −2 là TCĐ.
x4 − 2

lim+ 2
= −∞ 
x →−2
x −4

lim−



B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1 .
C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
lim f ( x )
1
x →+∞
lim
y
=
=
= −1 suy ra y = −1 là tiệm cận ngang. Rõ ràng đồ thị hàm số có
Ta có: x →+∞
lim g ( x ) −1
x →+∞

thể nhiều hơn một tiệm cận.
Câu 46. [2D1-4.2-2] [THPT – THD Nam Dinh] Cho hàm số y =

x

(

x2 − 2x + x

) có đồ thị ( C ) .

x −1
n

) = 2; lim x (
x →−∞

x2 − 2x + x

x2 − 2x + x

) = −∞; lim x (

x2 −1

) =0;

x2 − 2x + x

) = +∞ .

x →−1
x −1
x −1
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 2; y = 0 , có 1 tiệm cận đứng là đường
thẳng x = −1. .
2

x →−1

+

2


Chọn B.
 x 2 − 2 x > 0
x > 2
⇔
..
Điều kiện:  2
 x − x > 0
x < 0
1

f ( x) =

x2 − 2x

1

−

x2 − x

lim f ( x ) = 0 ⇒ y = 0

x →±∞

=

x2 − x − x2 − 2x
x2 − x. x2 − 2x

=


(

(

x
x2 − x + x2 − 2x

−1

)

x2 − x + x2 − 2x

= −∞

).

.

⇒ x = 0 là tiệm cận đứng.
+)

lim+ f ( x ) = lim+

x →2

x→2

x2 − x. x2 − 2x

lim

x − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2

lim

x − 2x − 3
= lim
x →−∞
x−2

2

x →−∞

2

x →+∞

Không tồn tại lim±
x →2

2 3
−
x x 2 = −1 .
x−2




TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

y=

PHƯƠNG PHÁP

2x − 3

TXĐ: D = (−∞;1) ∪ (1; = ∞) .
x2 −1
y = −2 suy ra đường thẳng y = −2 là TCN của đồ thị hàm số.
Ta có: xlim
→−∞
lim y = −2 suy ra đường thẳng y = 2 là TCN của đồ thị hàm số.

x →+∞

lim y = −∞ suy ra đường thẳng x = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

x →1+

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận.
Câu 50. [2D1-4.2-2] [BTN 168] Đồ thị hàm số y =
đứng ?
A. 1 .

B. 0 .


x 2 − 3x + 2
3
= lim+
=− .
Và lim− 3 4
3
4
x →1
x →1
4
x −1
x −1
Nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x = −1 .
Ta có: lim−

Lưu ý: Một số bạn nhìn vào hàm số, xem số điểm mà tại đó hàm số không xác định để kết luận
ngay số đường tiệm cận đứng là sai lầm.
Câu 51. [2D1-4.2-2] [BTN 168] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x+5
.
x2 + 1

A. x = 1 và x = −1 .
B. x = 1 .
C. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
D. x = −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TXĐ: D = ¡ suy ra đồ thị hàm số không TCĐ.