TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG IV
CHỦ ĐỀ 3.1 Biểu diễn một số phức.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Điểm biểu diễn của số phức z thỏa :

( 1 + i ) z = ( 1 − 2i )

2

là:

 7 1
A.  − ; ÷.
 2 2

 7 1
7 1
B.  − ; − ÷.
C.  ; ÷.
 2 2
2 2
Hướng dẫn giải

7 1
D.  ; − ÷.

 17 17 

Câu 3.

[2D4-3.1-2]

[THPT chuyên Lương Thế Vinh] Gọi M là điểm biểu diễn số phức

z = i ( 1 + 2i ) . Tọa độ của điểm M là:
2

A. M ( −4;3) .

B. M ( −4; −3) .

C. M ( 4; −3) .

D. M ( 4;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2
Ta có z = i ( 1 + 2i ) = i ( 1 + 4i + 4i ) = i ( −3 + 4i ) = −4 − 3i .
2

Vậy điểm biểu diễn số phức z là M ( −4; −3) .
Câu 4.

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Số nào sau đây là số đối của số phức z , biết z có

phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 + 3i , −2 + 2i , 1 − 7i . Gọi D là điểm sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành. Điểm D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây?
A. z = −2 − 8i .
B. z = 4 − 6i .
C. z = 4 + 6i .
D. z = 2 + 8i .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: A(1;3) , B(−2; 2) , C (1; −7) . Gọi D ( xD ; yD ) .
uuur uuur
 xD − 1 = 3
⇒ D(4, −6) .
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC ⇔ 
 yD − 3 = −9

Câu 6.

Câu 7.

r
[2D4-3.1-2] [BTN 164] Cho hai số phức z và z ′ lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ u và
ur
u′ . Hãy chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
r uuuu
r
r ur
A. Nếu z = a + bi thì u = OM , với M ( a; b ) . B. u − u′ biểu diễn cho số phức z − z′ .
r ur
r ur
C. u.u′ biểu diễn cho số phức z.z′ .

Phương trình có hai nghiệm z1 =
4
2
4
2
1
Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên z0 = 2 + i .
2
1
Ta có w = iz0 = − + 2i .
2
 1 
Điểm biểu diễn w = iz0 là M 2  − ; 2 ÷.
 2 
2

Câu 8.

[2D4-3.1-2] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu
i 2017
diễn số phức z =
.
3 + 4i
3 
3 
 4
 4 3 
 4
A. M  ; − ÷.
B. M  ; ÷.

3
Ta có z =
=
=
=
=
+ i.
3 + 4i
3 + 4i
3 + 4i
25
25 25
 4 3 
Suy ra M  ; ÷ là điểm biểu diễn cho số phức z. .
 25 25 
1008

Câu 9.

[2D4-3.1-2] [CHUYÊN SƠN LA] Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z1 ,
uuur
z2 . Khi đó độ dài của AB bằng.
A. z2 − z1 .
B. z1 − z2 .
C. z1 + z2 .
D. z2 + z1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giả sử z1 = a + bi , z2 = c + di , ( a, b, c, d ∈ ¡ ) .
Theo đề bài ta có: A ( a; b ) , B ( c; d ) ⇒ AB =


C. Điểm D .
Hướng dẫn giải

D. Điểm A .

Chọn D.
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi .
Ta có: z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i ⇔ a + bi − ( 2 + 3i ) ( a − bi ) = 1 − 9i
.

⇔ a + bi − 2a + 2bi − 3ai − 3b = 1 − 9i ⇔ −a − 3b − 3ai + 3bi = 1 − 9i .
−a − 3b = 1
a = 2
⇔
⇔
⇒ z = 2−i .
−3a + 3b = −9
b = −1
5
5
= 1 − 2i .
Số phức w = =
iz i ( 2 − i )

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là A ( 1; −2 ) .
Câu 11.

[2D4-3.1-2] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Gọi M là điểm biểu diễn số phức
z − z +1

C. Góc phần tư thứ ( III ) .

D. Góc phần tư thứ ( IV ) .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Ta có: ( 1 − i ) ( z + 2i ) = 2 − i + 3z ⇒ z =

2 − i − 2i ( 1 − i )
−2 − i

=

3 6
+ i ,.
5 5

z − z + 1 11 56
= − i.
z2
15 45
uuuruuur
O
Ta có: Ox,ON = 2ϕ = 2 arg ( w ) ≈ −118 ⇒ N ở góc phần tư thứ ( III ) .
w=

(

Câu 12.


B. ( 3; − 2 ) .

C. ( 2; − 3) .

D. ( 3; 2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
z = 3i − 2 = −2 + 3i có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là ( −2;3) .
Câu 14.

[2D4-3.1-2] [BTN 169] Cho số phức z = 3 − 3i . Hỏi điểm biểu diễn của số phức z là điểm
nào?
A. M ( −3; 3) .
B. M ( 3; − 3) .
C. M ( −3; − 3) .
D. M ( 3; 3) .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có z = 3 − 3i ⇒ z = 3 + 3i . Vậy điểm biểu điễn của số phức z là M ( 3; 3) .

Câu 15.

[2D4-3.1-2] [Chuyên ĐH Vinh] Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết rằng số phức
1
được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P , Q , R , S như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu
z
diễn của w là điểm nào?
w=


Chọn C.
Cách 1: (Trắc nghiệm).

Câu 16.

Câu 17.

1
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 nên ta chọn z = 1 + i .
2
1 4 2
Suy ra: w = = − i có điểm biểu diễn chính là điểm Q .
z 5 5
Cách 2: (Tự luận).
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 .
1
1
a
b
= 2
− 2
i có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn
Ta có: w = =
2
z a + bi a + b a + b 2
−1 nên ta chọn điểm Q là điểm biểu diễn số phức w .
[2D4-3.1-2] [Cụm 1 HCM] Cho hai số phức z1 = 1 − 3i , z2 = −4 − 6i có các điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là hai điểm M và N . Gọi z là số phức mà có điểm biểu diễn là
trung điểm của đoạn MN . Hỏi z là số phức nào trong các số phức dưới đây?
5 3

ïï I m( z) = 6
î

ïìï x2 + y2 = 10
Û
í
ïï y = 6
î

⇒ T = ( 8;6 ) hoặc T = ( −8;6 ) .

2
ì 2
ïíï x + y = 100 Û
ïïî y = 6

ì 2
ïíï x = 64 Û
ïïî y = 6

ìï x = ±8
íï
ïïî y = 6 .

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 18.

biểu diễn số phức liên hợp z .
A. A ( −1; −3) .
B. A ( −1;3) .

C. A ( 1;3) .

1 + 7i
. Xác định điểm A
1 − 3i
D. A ( 1; −3) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có iz = 1 + 2i −

Câu 20.

1 + 7i
3+i
⇔ iz = 1 + 2i − ( −2 + i ) ⇔ iz = 3 + i ⇔ z =
= 1 − 3i ⇒ z = 1 + 3i .
1 − 3i
i

[2D4-3.1-2] [THPT CHUYÊN VINH] Cho số phức z thỏa mãn z = 2 và điểm A trong
2
hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
w=

1

2
nên
2

a 2 + b2 =

2
.
2
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1
−b
a
= 2
− 2
i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt
2
iz a + b a + b 2
phẳng Oxy .
Lại có w =

1
1
=

[2D4-3.1-2] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Cho số phức z = ( 1 + i ) . Tọa độ điểm M biểu diễn
z là.

A. M ( 0; - 16) .

B. M ( 16;0) .

C. M ( - 16;0) .

D. M ( 0;16) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: z = ( 1 + i ) = ( 2i ) = 16 ⇒ M ( 16;0 ) .
8

Câu 23.

4

[2D4-3.1-2] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Cho số phức z thoả mãn ( 2 - i ) z = 1 + i. Điểm M
biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ Oxy là.
3 
A. M  ; 0 ÷ .
4 

 1 3
1 3
B. M  − ; ÷.
C. M  ; ÷.


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Khi đó A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) . Ta có.
uuur
uuur
 AB = ( xB − xA ; yB − y A ) ⇒ AB =

( xB − x A )

 z2 − z1 = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) .i ⇒ z 2 − z1 =

2

+ ( yB − y A )

( xB − x A )

2

( 1) .

2

+ ( yB − y A )

( 2) .


2

z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

.
A. Điểm M .

B. Điểm P .

C. Điểm Q .
Hướng dẫn giải

D. Điểm N .

Chọn B.
z = 2 − 0.5 ( 1 + i ) = 2 − 0,5. ( 2i ) = 2 − i .
2

Câu 27.

[2D4-3.1-2] [THPT Tiên Du 1] Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm
biểu diễn của số phức z′ = −2 + 5i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai điểm
B. Hai điểm
C. Hai điểm
D. Hai điểm
Chọn B.

A
A


PHƯƠNG PHÁP

Ta thấy A và B đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 28.

[2D4-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Kí hiệu A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn hình học
2
của các số phức z1 = 1 + i; z2 = ( 1 + i ) , z3 = a − i, a ∈ R . Tìm a để tam giác ABC vuông tại B

.
A. a = 1 .

B. a = 3 .

C. a = −1 .
Hướng dẫn giải

D. a = −3 .

Chọn D.

z1 = 1 + i ⇒ A ( 1;1) ; z2 = ( 1 + i ) = 2i ⇒ B ( 0; 2 ) ; z3 = a − i ⇒ C ( a; −1) .
uuu
r
uuur
⇒ BA = ( −1;1) và BC = ( a; −3) .
uuu
r uuur
Tam giác ABC vuông tại B ⇔ BA.BC = 0 ⇔ − a − 3 = 0 ⇒ a = −3 .

3 3

Câu 30.

[2D4-3.1-2] [THPT Thuận Thành 2] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = 15 + 10i . Hỏi điểm biểu
diễn cho số phức z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q cho hình dưới đây.

A. Điểm P .

.
B. Điểm M .
C. Điểm N .
Hướng dẫn giải

D. Điểm Q .

Chọn D.
Ta có: ( 2 − i ) z = 15 + 10i ⇒ z =
Câu 31.

15 + 10i
= 4 + 7i ⇒ z = 4 − 7i .
2−i

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Điểm M trong hình vẽ trên là điểm biểu diễn
cho số phức z. Phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng?

TRANG 9



[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Cho số phức z thỏa mãn ( 1 − i ) z = 5 − i . Hỏi điểm
biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

.
A. Điểm N .

B. Điểm M .

C. Điểm  P .
Hướng dẫn giải

D. Điểm Q .

Chọn B.
Ta có: ( 1 − i ) z = 5 − i ⇔ z =
Câu 34.

5−i
= 3 + 2i ⇒ M ( 3;2 ) .
1− i

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Cho số phức z thỏa ( 1 + i ) z = 14 − 2i . Điểm biểu
diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là:
A. ( 8;6 ) .
B. ( 6;8 ) .
C. ( 6; −8 ) .
D. ( −8;6 ) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TRANG 10

i −1
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
Suy ra: AB ( 1;3) ; BC ( −3;1) . AB.BC = 0 . Vậy tam giác ABC vuông tại B .

Ta có:

Câu 36.

[2D4-3.1-2] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu
diễn các số phức z1 = −1 + 3i ; z2 = −3 − 2i ; z3 = 4 + i . Chọn kết luận đúng nhất :
A. Tam giác ABC cân không vuông.
B. Tam giác ABC đều.
C. Tam giác ABC vuông không cân.
D. Tam giác ABC vuông cân.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

A ( −1;3) , B ( −3; −2 ) , C ( 4;1) .
uuur
AB = ( −2; −5 ) ⇒ AB = 29 .
uuur
AC = ( 5; −2 ) ⇒ AC = 29 .
uuur uuur
AB. AC = 0 ⇒ AB ⊥ AC .
Vậy ∆ABC vuông cân tại A .
Câu 37.


[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho số phức z thỏa mãn: (4 − i) z = 3 − 4i . Điểm
biểu diễn của z là:

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

23 
 9
A. M  ; − ÷.
 25 25 

PHƯƠNG PHÁP

 16 13 
 16 11 
B. M  ; − ÷ .
C. M  ; − ÷.
 17 17 
 15 15 
Hướng dẫn giải

9 4
D. M  ; − ÷.
5 5

Chọn B.
BG: Ta có (4 − i) z = 3 − 4i => z =

5 5

Điểm biểu diễn là J  ; ÷.
Câu 40.

[2D4-3.1-2] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Cho số phức z thỏa mãn ( 1 + 3i ) z + 2i = −4 .
Điểm nào sau đây biểu diễn cho z trong các điểm M , N , P , Q ở hình bên.
.

A. Điểm Q.

B. Điểm P.

Q

P

M

N

C. Điểm M.
Hướng dẫn giải

D. Điểm N.

Chọn A.
TRANG 12



Chọn A.
Gọi z = a + bi

( a, b ∈ ¡ ) .

Ta có z = 2 nên a 2 + b 2 = 4 .
Vì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y − 3x = 0 nên b = a 3 .
Và vì a > 0 nên a = 1, b = 3 .
Câu 42.

[2D4-3.1-2] [BTN 164] Cho hai số phức z và
ur
u′ . Hãy chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
r uuuu
r
A. Nếu z = a + bi thì u = OM , với M ( a; b ) .
r ur
C. u.u′ biểu diễn cho số phức z.z′ .

r
z′ lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ u và

r ur
B. u − u′ biểu diễn cho số phức z − z′ .
r ur
D. u + u ′ biểu diễn cho số phức z + z′ .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
r ur


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 44.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [THPT Kim Liên-HN] Trong mặt phẳng phức cho hai điểm A , B lần lượt biểu
diễn hai số phức 2 + 5i , - 3i . Tìm số phưc có điểm biểu diễn là trung điểm của đoạn AB .
A. 1 + 3i .

B. 3 + 3i .

C. 1 + i .

D.

1
+i .
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có A( 2;5) ; B ( 0; - 3) .
Trung điểm AB là I ( 1;1) .
Þ Số phức biểu diễn cho I là z = 1 + i .
Câu 45.

[2D4-3.1-2] [Chuyên ĐH Vinh] Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết rằng số phức
1


Câu 46.

1
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 nên ta chọn z = 1 + i .
2
1 4 2
Suy ra: w = = − i có điểm biểu diễn chính là điểm Q .
z 5 5
Cách 2: (Tự luận).
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 .
1
1
a
b
= 2
− 2
i có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn
Ta có: w = =
2
z a + bi a + b a + b 2
−1 nên ta chọn điểm Q là điểm biểu diễn số phức w .
[2D4-3.1-2] [Cụm 1 HCM] Cho hai số phức z1 = 1 − 3i , z2 = −4 − 6i có các điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là hai điểm M và N . Gọi z là số phức mà có điểm biểu diễn là
trung điểm của đoạn MN . Hỏi z là số phức nào trong các số phức dưới đây?
5 3
3 9
A. z = + i .
B. z = − − i .
C. z = −3 − 9i .

Chọn A.
z = ( 1 + 2i ) ( 4 − 3i ) = 10 + 5i ⇒ z = 10 = 5i .

Vậy điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức có tọa độ là ( 10; −5 ) .
Câu 48.

[2D4-3.1-2] [BTN 174] Cho các số phức z1 = −1 + i, z2 = 2 + 3i, z3 = 5 + i, z4 = 2 − i lần lượt có
các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M , N , P, Q . Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì ?
A. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
B. Tứ giác MNPQ là hình vuông.
C. Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
D. Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tọa độ các điểm M ( −1;1) , N ( 2;3) , P ( 5;1) , Q ( 2; −1) khi biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ
ta sẽ thu được hình thoi.

Câu 49.

[2D4-3.1-2] [BTN 173] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = 4 + 3i . Hỏi điểm biểu diễn của z
là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên ?

A. Điểm P .

.
B. Điểm M .
C. Điểm N .
Hướng dẫn giải

Chọn A.


Câu 51.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [BTN 169] Cho số phức z = 3 − 3i . Hỏi điểm biểu diễn của số phức z là điểm
nào?
A. M ( −3; 3) .
B. M ( 3; − 3) .
C. M ( −3; − 3) .
D. M ( 3; 3) .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có z = 3 − 3i ⇒ z = 3 + 3i . Vậy điểm biểu điễn của số phức z là M ( 3; 3) .

Câu 52.

[2D4-3.1-2] [BTN 167] Trong mặt phẳng Oxy, A ( 1;7 ) , B ( −5;5 ) lần lượt biểu diễn hai số phức
z1 , z2 . C biểu diễn số phức z1 + z2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
uuu
r
uuur
A. CB biểu diễn số phức − z1 .
B. AB biểu diễn số phức z1 − z2 .
D. C có tọa độ ( −4;12 ) .

C. OACB là hình thoi.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Chọn A.
4

Trọng tâm của tam giác ABC là G  −3; ÷.
3

4
Vậy G biểu diễn số phức z = −3 + i .
3
Câu 54.

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Điểm M trong hình vẽ trên là điểm biểu diễn
cho số phức z. Phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng?

.
A. - 7 .

B. 1 .

C. - 1 .
Hướng dẫn giải

D. 7 .

Chọn C.
M ( 3; - 4) Û z = 3 - 4i . Khi đó ( 1 + i ) z = 7 - i .
Vậy phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng - 1 .

TRANG 16


Câu 56.

[2D4-3.1-2] Cho số phức z = 1 − 2i. Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
A. M ( 2; −1) .
B. M ( 1;2 ) .
C. M ( 1; −2 ) .
D. M ( 2;1) .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i ⇒ M ( 1;2 ) .

TRANG 17