BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN
KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:
9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. PGS. TS. Đỗ Văn Lưu

HÀ NỘI - NĂM 2018


ii

LỜI CAM ĐOAN
Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,

thành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớn
này.
Tác giả


Mục lục

Trang bìa phụ

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

vi

Mở đầu

1


Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn
điệu cực đại trong không gian Hilbert
64
3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . 64
3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số
của toán tử giải khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận chung

83

Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo

84

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án

85

Tài liệu tham khảo

86


Một số ký hiệu và viết tắt

Rn

không gian Euclide n-chiều


hiệu của tập hợp A và tập hợp B

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

S1 (0)

mặt cầu đơn vị trong không gian E

BE

hình cầu đơn vị trong không gian E

Br (x0 )

hình cầu tâm x0 và bán kính r

∀x

với mọi x

D(A)

miền xác định của ánh xạ A


không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞)


vii

l1

không gian các dãy số khả tổng bậc 1

l∞

không gian các dãy số bị chặn

Wpm (Ω)

không gian Sobolev

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

αn


tập điểm bất động của ánh xạ T

M

bao đóng của tập hợp M

ρE

mêtric của không gian mêtric E

int(C)
phần trong của tập hợp C
∂ m x(t)
đạo hàm riêng cấp m của hàm x(t), với t = (t1 , t2 , ..., tn )
∂tα1 1 ∂tα2 2 · · · ∂tαnn
Dom(f )

miền hữu hiệu của f

PC

phép chiếu mêtric lên tập hợp C

∂f

dưới vi phân của phiếm hàm lồi f

arg min f

tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f

Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường
được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ...) và sau đó lại được
xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Vì vậy, yêu cầu đặt
ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao
cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần
với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền
móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V.K. Ivanov [50], M.M.
Lavrent’ev [57], J.L. Lions [102], A.N. Tikhonov [83, 84], ... Do tầm quan
trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn
thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải
bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.I. Alber [9], A.B. Bakushinskii
[15, 16], J. Baumeister [19], H.W. Engl [40, 41], V.B. Glasko [42], A.V.
Goncharskii [15], R. Gorenflo [10, 44], C.W. Groetsch [40, 45], M. Hanke
[41, 47], B. Hoffmann [49, 98], A.K. Louis [99], V.A. Morozov [63, 64],
M.Z. Nashed [66], F. Natterer [67, 68], A. Neubauer [41], G.M. Vainikko
[88], F.P. Vasil’ev [89, 90], ... Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu


2

nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài
toán đặt không chỉnh như Đ.Đ. Áng [10], P.K. Anh [1], Ng. Bường [1, 2],
Đ.Đ. Trọng [10], v.v ... hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trên
như Ng.M. Chương [36], Đ.N. Hào [48, 87], T.Đ. Vân [87], ...
Nếu E là không gian Banach với chuẩn . thì trong một số trường hợp
của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu
phiếm hàm làm trơn Tikhonov:
Fαδ (x) = A(x) − fδ

2

T (u0 ) − ω, v − u0 ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E.

(0.4)

Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω .
Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E. Browder đã xét


3

bất đẳng thức biến phân sau:
Tα (uα ) − ωα , v − uα ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E,

(0.5)

trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0 , với v0 là phần tử bất
kỳ trong E ∗ . Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5)
có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh về phần tử
u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến
phân:
M u0 − v0 , v − u0 ≥ 0, v ∈ Aω .
Nếu E là không gian Banach phản xạ và không gian đối ngẫu E ∗ là
không gian lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s của E có tính chất
như ánh xạ M nêu ở trên (xem [9]). Năm 1975, dựa trên tư tưởng phương
pháp hiệu chỉnh của F.E. Browder và tính chất của ánh xạ đối ngẫu J s ,
Ya.I. Alber (xem [1, 7, 9]) đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu như
sau:
A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ .

(0.6)

Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.6) có
dạng đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J 2 ≡ I là ánh xạ
đơn vị trong E và phương pháp (0.6) trở thành:
A(x) + α(x − x+ ) = fδ .

(0.9)

Lý thuyết về ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach là một hướng
mở rộng của lý thuyết ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Bài toán
(0.1) với A là ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach có mối liên hệ
chặt chẽ với bài toán điểm bất động, phương trình tiến hóa và bất đẳng
thức đồng biến phân (xem [8]). Ngoài ra, lớp bài toán này còn đóng một
vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong
không gian Lp và Wpm (xem [56, 59, 78, 79]). Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P.
Ryazantseva [9] đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.9) khi A là một
ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian
Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là
quá nhỏ (chỉ có không gian lp ). Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương
[33] đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.9) mà không đòi
hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Dựa vào
phương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng. Bường và Ng.Đ. Dũng [30] đã xây
dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.7) trong
trường hợp fi ∈ E, A0 là ánh xạ J-đơn điệu và Ai là ánh xạ ngược J-đơn
điệu mạnh trên không gian Banach E, i = 1, 2, ..., N .
Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9)
là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn định
khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich đã được quan tâm nghiên cứu. Phương pháp này được đề
xuất bởi A.B. Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây là phương pháp hiệu

A (x∗ )v = x+ − x∗ ,

(0.13)

ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A (x∗ ) là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ A tại x∗ , J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần
tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.12) và (0.13) sử dụng đạo hàm
Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt
chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova [17] đã chứng minh sự
hội tụ của phương pháp (0.11) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh
xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert,
khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là
A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H, L > 0.

(0.14)


6

Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với
toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach
mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các
kết quả đã nêu ở trên.
Tiếp theo, ta xét bài toán:
Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ),

(0.15)

trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn điệu

pháp điểm gần kề (0.16), P.N. Anh và các cộng sự đã đưa ra các phương
pháp mới để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
(xem [11, 12]). Năm 1991, O. G¨
uler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm


7

gần kề (0.16) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không
gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên
của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực
đại trong không gian Hilbert (xem [21, 22, 51, 58, 60, 82, 91, 95, 97]) cũng
như của ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach (xem [35, 52, 71, 80])
đã được nghiên cứu. Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều được
đưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của ánh xạ
A không khả tổng, tức là ∞
k=1 rk = +∞. Vì vậy, một câu hỏi đặt ra là: có
tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của
nó được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng,
tức là

∞
k=1 rk

< +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai của luận

án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi
đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không
gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp được đưa ra
dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.

điệu trong không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định
lí về sự hội tụ của các phương pháp này. Cuối chương đưa ra ví dụ số minh
họa cho kết quả nghiên cứu đạt được.
Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn
điệu cực đại trong không gian Hilbert
Chương này trình bày các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề
để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert,
bao gồm: giới thiệu các phương pháp cũng như các kết quả về sự hội tụ
của các phương pháp này. Một ví dụ số được đưa ra ở mục cuối của chương
này nhằm minh họa cho các kết quả nghiên cứu đạt được.
Các kết quả của luận án được báo cáo tại:
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, Hà Nội,
23-25/04/2014.
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội,
21-23/04/2016.
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội,
20-22/04/2017.
• Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc của
Công nghệ thông tin và truyền thông", Thành phố Hồ Chí Minh,
05-06/11/2015.
• Seminar hàng tuần ở nhóm Toán ứng dụng của Viện Công nghệ thông
tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc
trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau. Mục
1.1 giới thiệu một số khái niệm, tính chất trong không gian Banach, bài
toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Mục 1.2 khái quát lại


=

, x(t) ∈ Lp (Ω).

Ω

Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) là không gian Lq (Ω), với

1 1
+ = 1.
p q

Với x(t) ∈ Lp (Ω) và x∗ (t) ∈ Lq (Ω) thì
x, x∗ =

x(t)x∗ (t)dt.
Ω

Không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert.
b) Không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞), ký hiệu lp , được


10

xác định như sau:
∞

lp =


x, y =

xi yi .
i=1

Không gian l2 là không gian Hilbert.
c) Không gian các dãy số bị chặn, ký hiệu l∞ , được xác định như sau:
l∞ = x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) : {xi }∞
i=1 bị chặn .
l∞ là không gian Banach, với chuẩn là
x

∞

= sup |xi |, x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l∞ ,
i∈N∗

ở đây N∗ = {1, 2, 3, ...}.
d) Không gian các dãy số khả tổng bậc 1, ký hiệu l1 , được xác định như
sau:

∞

l1 =

|xi | < ∞ .

x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) :
i=1


p
Lp (Ω)

|x(t)|p dt +

=

|α|≤m

|Dα x(t)|p dt < +∞,
0
A(x0 ).
Định nghĩa 1.2. Cho E và E là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
A : E −→ E, với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Gâteaux tại
x ∈ D(A) nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A (x) : E → E sao cho với mọi
h ∈ E, t ∈ R thỏa mãn x + th ∈ D(A) thì
A(x + th) − A(x)
= A (x)h.
t→0
t

lim

Khi đó:
A (x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x.
A (x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x.


12

Định nghĩa 1.3. Cho E và E là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
A : E → E, với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ D(A)
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính và liên tục A (x) : E → E sao cho với mọi
h ∈ E thỏa mãn x + h ∈ D(A) thì
A(x + h) − A(x) = A (x)h + ω(h),
ω(h)
= 0. Khi đó:
h →0 h
A (x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.
A (x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.
trong đó lim


}, x ∈ E


13

Trường hợp s = 2, ánh xạ đối ngẫu J 2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của E và thường được ký hiệu là J.
Ta có
J(x) = {g ∈ E ∗ : x, g = x . g , g = x }
= {g ∈ E ∗ : x, g = x 2 , g = x }, x ∈ E.
Đặc biệt, nếu J là đơn trị thì với x ∈ E, ta có
x, J(x) = x 2 , J(x) = x .
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của các không gian Lp (Ω), lp và Wpm (Ω) có
dạng như sau:
a) Đối với không gian Lp (Ω) (1 < p < ∞): Với x(t) ∈ Lp (Ω) thì
J(x) = x

2−p
p−2
x(t)
p |x(t)|

∈ Lq(Ω),

1 1
+ = 1.
p q
b) Đối với không gian lp (1 < p < ∞): Với x = (x1 , x2 , ...) ∈ lp thì


∂t1 ∂t2 · · · ∂tαnn
n

với |α| =

αi .
i=1
∗

Định lí 1.2. ([9]) Ánh xạ đối ngẫu J s : E → 2E tồn tại trong mọi không
gian Banach E. Hơn nữa, D(J s ) = E.
Định lí 1.3. ([9, 37]) Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J của E là ánh xạ đơn vị.


14

Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi
Gâteaux nếu với mọi x, y ∈ S1 (0) giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

tồn tại.
Định lí 1.4. ([37]) Không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux khi và
chỉ khi ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s (s ≥ 2) của E là đơn trị.
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặt
nếu với mọi x, y ∈ S1 (0), x = y thì


Ví dụ 1.1. Mọi không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy,
với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ E, x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε, ta có
2

x+y

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

Suy ra
x+y =

2( x

2

+ y 2) − x − y

2

≤


x + ty − x
t

đạt được đều với mọi x ∈ S1 (0).
Nhận xét 1.2. Nếu không gian E có chuẩn khả vi Gâteaux đều thì E có
chuẩn khả vi Gâteaux.
Định nghĩa 1.11. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi
Fréchet đều nếu giới hạn
x + ty − x
t→0
t
đạt được đều với mọi x, y ∈ S1 (0).
lim


16

Nhận xét 1.3. Nếu không gian E có chuẩn khả vi Fréchet đều thì E có
chuẩn khả vi Gâteaux đều, và do đó, E có chuẩn khả vi Gâteaux.
Định lí 1.8. ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach. E có chuẩn khả vi
Fréchet đều khi và chỉ khi E ∗ là lồi đều.
Ví dụ 1.4. Vì không gian Hilbert H ∗ = H và các không gian lp∗ = lq ,
1 1
L∗p (Ω) = Lq (Ω), với 1 < p < ∞, + = 1, là các không gian lồi đều nên
p q
H, lp và Lp (Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Fréchet đều.
Nhận xét 1.4. Theo Ví dụ 1.4 và Nhận xét 1.3, không gian Hilbert H và
các không gian lp , Lp (Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Định nghĩa 1.12. Cho E và E là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ
tuyến tính giới nội P : E → E được gọi là phép chiếu từ không gian E

E −→ E ∗ là ánh xạ hemi-liên tục và w là một phần tử bất kỳ trong E ∗ .
Khi đó, nếu x˜ ∈ D(A) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
w − A(y), x˜ − y ≥ 0, ∀y ∈ D(A)

(1.1)

thì x˜ cũng là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
w − A(˜
x), x˜ − y ≥ 0, ∀y ∈ D(A).

(1.2)

Hơn nữa, nếu A là ánh xạ đơn điệu thì hai bất đẳng thức biến phân (1.1)
và (1.2) là tương đương.
Định lí 1.11. ([9, 27]) Cho A : E −→ E ∗ là ánh xạ đơn điệu, hemi-liên
tục và D(A) = E. Khi đó, A là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Định lí 1.12. ([27]) Cho A : E −→ E ∗ là ánh xạ đơn điệu, thỏa mãn
R(A) = E ∗ và có ánh xạ ngược A−1 là hemi-liên tục. Khi đó, A là ánh xạ
đơn điệu cực đại.
Định lí 1.13. ([9, 18, 73]) Cho E là không gian Banach phản xạ và A1 , A2
là hai ánh xạ đơn điệu cực đại đi từ E vào E ∗ thỏa mãn
D(A1 ) ∩ int(D(A2 )) = ∅.
Khi đó, A1 + A2 là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.15. Ánh xạ A : E −→ E ∗ được gọi là
i) bức nếu
A(x), x
lim
= +∞.
x
x →+∞

đó các khái niệm J-đơn điệu, m-J-đơn điệu và α-J-đơn điệu mạnh tương
ứng trùng với các khái niệm đơn điệu, đơn điệu cực đại và α-đơn điệu
mạnh.