BỘ XÂY DỰNG
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HCM
BỘ MÔN: CƠ HỌC ỨNG DỤNG

\WX[ BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT

SỨC BỀN VẬT LIỆU
PHẦN 2
GV sưu tầm & tổng hợp, biên soạn:
PHAN NGỌC ANH
10.2.2. Công thức tính ứng suất pháp .......................................................................... 13 
10.2.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất .............................................................. 14 
10.2.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền ............................................................ 15 
10.2.5. Tính toán độ võng ............................................................................................. 15 
10.3. UỐN CỘNG KÉO HAY NÉN .................................................................................... 16 
10.3.1. Đònh nghóa ........................................................................................................ 16 
10.3.2. Công thức tính ứng suất pháp .......................................................................... 17 
10.3.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp ..................................................... 17 
10.3.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền ............................................................ 17 
10.3.5. Thanh chòu kéo hay nén lệch tâm .................................................................... 18 
10.3.6. Lõi tiết diện ....................................................................................................... 19 
10.4. UỐN CỘNG XOẮN ................................................................................................... 20 
10.4.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 20 
10.4.2. Thanh tiết diện chữ nhật: .................................................................................. 21 
10.4.3. Thanh tiết diện tròn: ......................................................................................... 22 
10.5. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT: ............................................................................ 23 
10.5.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 23 
10.5.2. Thanh tiết diện chữ nhật ................................................................................... 23 
10.5.3. Thanh tiết diện tròn: ......................................................................................... 24 
SBVL 1 & 2
Trang 2 - 50
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 10 ........................................... 25 
CHƯƠNG 11: ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ............................. 26
 
11.1. KHÁI NIỆM ............................................................................................................... 26 
11.1.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 26 
11.1.2. Các loại ổn đònh và can bằng: .......................................................................... 26 
11.1.3. Phân tích ổn đònh và can bằng: ........................................................................ 26 
11.1.4. Ý nghóa thực tiễn: ............................................................................................. 27 
11.2. LỰC TỚI HẠN CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM ................................. 27 

13.3.5. Dao động cưỡng bức có cản ............................................................................ 42 
13.3.6. HIện tượng cộng hưởng .................................................................................... 44 
13.3.7. Nội lực toàn phần ............................................................................................. 44 
13.4. PHƯƠNG PHÁP THU GỌN KHỐI LƯNG .............................................................. 45 
SBVL 1 & 2
Trang 3 - 50
13.5. VA CHẠM CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO. .................................................................... 46 
13.5.1. Va chạm đứng. ................................................................................................. 46 
13.5.2. Va chạm ngang ................................................................................................ 49 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 13 ........................................... 50 
SBVL 1 & 2
Trang 4 - 50

CHƯƠNG 9: XOẮN THUẦN TÚY
9.1. KHÁI NIỆM
9.1.1. Đònh nghóa
Là thanh khi trên các mặt cắt ngang chỉ có duy nhất momen xoắn Mz, tác dụng
trong mặt phẳng thẳng vuông góc với trục thanh (xOy).

Thực tế, có nhiều cấu kiện trong cơ khí, xây dựng chòu xoắn như các trục truyền
động, kết cấu chòu lực không gian, dầm đỡ ô văng....
9.1.2. Biểu đồ Nội Lực
Biểu đồ nội lực cũng được xác đònh bằng phương pháp mặt cắt và điều kiện cân
bằng tónh học:
/0M z∑=
.
Quy ước dấu: Dương khi nhìn vào mặt cắt, thấy Nội lực Mz quay theo chiều kim
đồng hồ.
Xét 1 trục truyền động chòu tác dụng của 3 ngẫu lực xoắn.


Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt cắt
ngang bất kỳ là khơng đổi (
0; 0
ztt
σ τ
==
)
d. Giả thuyết về các thớ dọc
Trong q trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc khơng ép lên nhau và cũng khơng tách xa nhau
(
0
xy
σ σ
==
)

9.2.3. Công thức tính ứng suất tiếp
Theo các giả thiết trên ta thấy, biến dạng của thanh chòu xoắn thuần túy chỉ là sự xoay tương
đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục.

Để xét biến dạng xoắn của 1 phân tố tại 1 điểm bất kì bán kính
ρ
trong thanh, ta
tách phân tố ABCDEFGH bằng ba cặp mặt cắt như sau:
- Hai mặt phẳng cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục cách nhau đoạn dz (ABCD;
EFGH).
- Hai mặt phẳng cắt chứa trục hợp với nhau một góc
d
α
(ABFE;CDHG)

τ
và phân tố đang xét ở trạng
thái trượt thuần túy.
p dụng đònh luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có:
SBVL 1 & 2
Trang 7 - 50
G
ρ
τ γ
=
Từ đó ta có:
d
G
dz
ρ
ϕ
τρ
=

Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì
dA
ρ
τ
là lực tiếp
tuyến tác dụng trên diện tích đó và
dA
ρ
τρ
là mômen lực của lực
dA

A
dA
ρ
∫
chính là momen
quán tính cực
p
I
của mặt cắt ngang đối với tâm O.
zp
A
dd
M GdAGI
dz dz
ϕ ϕ
ρρ
==
∫

Từ đó, ta có:
z
p
M
d
dz GI
ϕ
=
. Có thể thấy rằng
d
dz

Thay
R
ρ
=
, ta có
max
z
p
M
R
I
τ
=

Đặt
p
I
W
R
ρ
=
: momen chống xoắn của mặt cắt ngang.
SBVL 1 & 2
Trang 8 - 50
+ Với tiết diện tròn đặc và đường kính D:
3
0.2
p
I
WD

GI
ϕ
=
, là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz, do đó
góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách một đoạn bằng chiều dài L của thanh:
0
L
z
p
M
dz
GI
ϕ
=
∫

Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có
z
p
M
GI
là hằng số, thì tổng quát:
()
zi
i
i
p
M L
GI
ϕ

Thí nghệm xoắn thanh tiết diện chữ nhật cho thấy những đường song song và thẳng
với trục không còn song song và thẳng góc với trục, tiết diện bò vênh, giả thiết mặt cắt
phẳng không thể áp dụng được. Do đó không thể dựa trên các giả thiết mà đơn giản
hóa bài toán được
.
SBVL 1 & 2
Trang 9 - 50

Nghiên cứu xoắn thanh tiết diện chữ nhật bằng lý thuyết đàn hồi, người ta thu được
các kết quả như sau
:
+ Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp, tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng
không. Trên hai trục đối xứng của tiết diện, ứng suất thay đổi theo đường cong, tăng
dần từ tâm và đạt giá trò cực đại tại trung điểm các cạnh.
+ Tại trung điểm cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trò lớn nhất
max
τ
; tại trung điểm
cạnh ngắn, ứng suất nhỏ hơn
max
τ
là
1
τ
.
+ Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên các trục đối xứng, các cạnh tiết diện và
các đường chéo được biểu diện ở hình dưới

9.5. BÀI TÓAN SIÊU TĨNH
Khi tính về xoắn, cũng như khi tính về kéo nén, ta có thể gặp những bài tốn siêu
tĩnh. Ðó là những bài tốn có số ẩn số lực nhiều hơn số phương trình cân bằng. Ðể giải bài
tốn này ta phải lập thêm phương trình biến dạng

Ví dụ: một thanh bị ngàm chặt ở hai đầu, chịu tác dụng bởi các momen xoắn ngoại lực
1
M
và
2
M
. Xác định momen xoắn ngoại lực tại hai đầu A, B.
Phương trình cân bằng:
Hai đầu thanh bị ngàm chặt, do đó góc xoắn tương đối
AB
ϕ
= 0 (đó là phương trình biến
dạng). Bây giờ ta tưởng tượng bỏ qua một trong hai ngàm, ví dụ ngàm B và thay thế bởi
momen phản lực
B
M
. Ðể tính góc xoay tương đối
AB
ϕ
ta dùng phương pháp cộng tác
dụng. Góc xoay tại B do các momen
1
M
,
2

ta có thể xác định được nội lực và biến dạng của thanh.
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 9
1. Nắm đực khái niệm xoắn thuần túy
2. Phân biệt trạng thái xoắn thuần túy với trượt thuần tùy, uốn thuần túy.
3. Công thức tính toán góc xoay toàn thanh.
4. Tính toán xoắn thanh thẳng tiết diện tròn.
5. Vận dụng thành thạo bài toán cộng tác dụng để giải quyết vấn đề biến dạng tại 1
vò trí nào đó.
6. Phân tích được các điều kiện biến dạng tương thích để giải quyết các bài toán
siêu tónh.
SBVL 1 & 2
Trang 12 - 50

CHƯƠNG 10: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
10.1. KHÁI NIỆM
10.1.1. Đònh nghóa
Thanh chòu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời lực dọc
N
z
. mômen uốn M
x
, M
y
, mômen xoắn M
z
.
Khi xét thanh chòu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền rất nhỏ so với
các thành phần nội lực khác nên trong tính toán không tính đến lực cắt.

10.1.2. Phạm vi nghiên cứu


Đặc biệt với thanh tiết diện tròn, mọi đường kính đều là trục đối xứng, nên bất kì mặt
phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng đối xứng. Do đó thanh tiết diện tròn
luôn luôn chỉ chòu uốn phẳng.
10.2.2. Công thức tính ứng suất pháp
Tại 1 điểm A(x,y) trên tiết diện, nếu chỉ có Mx tác dụng thì:
x
z
x
M
y
I
σ
=

Tương tự nếu chỉ có M
y
tác dụng thì :
y
z
y
M
x
I
σ
=

Khi Mx, My cùng tác dụng thì theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có
y
x

cho ở (9.1) bằng các đoạn thẳng đại số theo trục z
đònh hướng dương ra ngoài mặt cắt (H.10.4.a), ta thu được một mặt phẳng chứa đầu mút
các véctơ ứng suất pháp tại mọi điểm trên tiết diện, gọi là mặt ứng suất (H.9.5.a). Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và mặt cắt ngang là đường trung hòa, ta thấy,
đường trung hòa là 1 đường thẳng và là quỹ tích của những điểm trên mặt cắt ngang
có trò số ứng suất pháp bằng 0.
Cho biểu thức
0
σ
=
z
, ta được phương trình đường trung hòa:
0..
+==>=−
yy
xx
xy xy
MM
M I
y x y x
II MI
(9.3)
Phương trình (9.3) có dạng y = ax, đường trung hòa là 1 đường thẳng qua gốc tọa độ.
Nhận xét:
- Đường trung hòa chia tiết diện làm 2 miền: miền chòu kéo và miền chòu nén.
SBVL 1 & 2
Trang 15 - 50
- Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung hòa có cùng

x
AAA
xy
y
x
B BB
xy
M
M
yx
II
M
M
yx
II
(9.4)
Đối với thanh tiết diện chữ nhật (b.h), điểm xa đường trung hòa nhất luôn luôn là các
điểm góc của tiết diện, khi đó:
max min
22
;
22
;
;
/2 6 /2 6
σσ
== ==
=+ =−−
== ==
AB AB

u
uxy
u
M
D
M MM Wu D
W
(9.6)
Điều kiền bền: trên mặt cắt ngang của thanh chòu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp,
không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, 2 điểm nguy hiểm là 2 điểm chòu
max min
,
σ σ
, tiết diện bền khi 2 điểm nguy hiểm trên thỏa mãn điều kiền bền tổng quát:

[] [ ]
max min
,
σ σσ σ
≤≤
kn
(9.7)
10.2.5. Tính toán độ võng
Gọi fx và fy là độ võng do Mx và My gây ra tại mặt cắt nào đó. Ðộ võng tồn phần:
SBVL 1 & 2
Trang 16 - 50
22
x y
f ff=+


z
z
xy
M
M
N
yx
A II

Trong tính toán thực hành, ta cũng dùng công thức kỹ thuật:
σ
=± ± ±
y
zx
z
xy
M
NM
y x
AI I
lấy dấu (+) nếu đại lượng đó gây kéo
10.3.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp
Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (9.9) là 1 hàm 2 biến
σ
= (,)
z
fxy
, nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và
σ
z

b
A M
=−

Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường thẳng
song song với đường trung hòa có cùng giá trò ứng suất. Càng xa đường trung hòa, trò số
ứng suất của các điểm trên 1 đường thẳng vuông góc đường trung hòa tăng theo luật bậc
nhất. Những điểm xa đường trung hòa nhất có giá trò ứng suất lớn nhất.
- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chòu ứng suất kéo max, gọi là
σ
max

- Điểm xa nhất thuộc miền nén chòu ứng suất nén max, gọi là
σ
min

10.3.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền
Gọi A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) là 2 điểm xa đường trung hòa nhất về phía chòu kéo và chòu
nén, áp dụng công thức (9.10) cho ta công thức tính ứng suất pháp cực trò:
SBVL 1 & 2
Trang 18 - 50


;
22
AB AB
y
x
z
A AA
xy
y
xz
B BB
xy
bh
xx yy
M
MN
yx
AI I
M
MN
yx
AI I
σσ
σσ
== ==
==±+ +
==±− −
(9.13)
- Với thanh tiết diện tròn, mômen tổng của Mx, My là Mu gây uốn thuần túy thẳng,
khi đó ta có công thức tính ứng suất pháp cực trò:

σ σσ σ
≤≤
kn
(9.14)
10.3.5. Thanh chòu kéo hay nén lệch tâm
Thanh chòu kéo hay nén lệch tâm khi ngoại lực hay nội lực tác dụng trên mặt cắt
ngang tương đương 1 lực P song song trục thanh mà không trùng với trục thanh.
p dụng nguyên lí dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm về tâm tiết diện, ta có thể
chứng minh 2 trường hợp này thực chất là bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời.
Gọi K(x
K
,y
K
) là điểm đạt lực lệch tâm P, dời về tâm O, ta có:
z
NP
=±
, lấy (+) khi P là lực kéo, ngược lại, lấy (-)
SBVL 1 & 2
Trang 19 - 50
.
.
x k
yk
M Py
M Px
=
=
(9.15)
Do đó, tất cả công thức đã được thiết lập cho bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng

AI I
⎡⎤
++ =
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Đặt
;
y
x
xy
I
I
ii
A A
==
;
22
..
10
+ +=
KK
xy
yy xx
ii

2
2
; b

dấu: kéo hoặc nén.
Gọi lõi tiết diện là khu vực bao quanh tâm sao cho khi lực lệch tâm đặt trong phạm vi
đó thì đường trung hòa hoàn toàn nằm ngoài tiết diện.
Với 1 thanh chòu kéo hay nén lệch tâm, việc xác đònh lõi tiết diện có ý nghóa thực
tiễn. Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chỉ chòu nén tốt như gạch, đá, gang, bê tông
không thép…, nếu chúng chòu nén lệch tâm mà lực nén đặt ngoài lõi tiết diện, ứng
SBVL 1 & 2
Trang 20 - 50
suất kéo phát sinh có thể lớn hơn khả năng chòu kéo của chúng, khi đó vật liệu sẽ bò
phá hoại, để tận dụng tốt khả năng chòu lực của vật liệu cần thiết đặt lực nén trong lõi
tiết diện.
Cách xác đònh lõi tiết diện:
Giả sử đường trung hòa tiếp xúc 1 cạnh tiết diện, từ
1
+ =
x y
ab
ta viết được phương
trình đường trung hòa, rồi từ
2
2
; b
=− =−
y
x
KK
i
i
a
x y

max,min
=± ±
y
x
x y
M
M
WW
σ
(9.19)
Điều kiền bền:
[] [ ]
max min
,
σ σσ σ
≤≤
kn

• Tại điểm giữa cạnh ngắn (C,D): chòu ứng suất pháp lớn nhất do Mx và ứng suất
tiếp
1
τ
do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
max,min 1 max
;
=± =
x
x
M
W

M
M
Whb
στ
α

Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3+≤
σ τσ

10.4.3. Thanh tiết diện tròn:
Xét 1 thanh tiết diện tròn chòu tác dụng của mômen uốn Mu và mômen xoắn Mz
(H.9.21.a). Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng trong những mặt phẳng khác
nhau, ta luôn luôn phân tích chúng thành các thành phần tác dụng trong 2 mặt phẳng
vuông góc yOz, xOz, từ đó xác đònh Mx, My, sau đó xác đònh mômen tổng
22
=+
uxy
M MM
.
p dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được các kết quả

p
M
W
τ

Phân tố đang xét vừa chòu ứng suất pháp vừa chòu ứng suất tiếp, đó là phân tố ở
trạng thái ứng suất phẳng.
Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4
+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3
+≤
σ τσ

10.5. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT:
10.5.1. Đònh nghóa:
Thanh chòu lực tổng quát khi trên các mặt cắt ngang
có tác dụng của lực dọc Nz, mômen uốn Mu và mômen
xoắn Mz.
10.5.2. Thanh tiết diện chữ nhật
p dụng nguyên lý cộng tác dụng và lí thuyết về kéo (nén), uốn và
xoắn, ta được kết quả như sau:

y
z
z
y
M
N
M
A Whb
στ
α
(9.24)
Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4
+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3
+≤
σ τσ

• Tại điểm giữa cạnh ngắn: phân tố vừa chòu ứng suất pháp max do Mx và lực
dọc Nz, vừa chòu ứng suất tiếp do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

max,min 1 max

;
=± ± = +
u
z
uxy
u
MN
M MM
AW
σ
(9.27)
max
=
z
p
M
W
τ