

Chương 2: Phương chính và ứng suất
chính.
Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo
định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng
không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp).
Mặt cắt nghiêng () là mặt chính khi 
uv
= 0. (3-
6) G
ọi 
0
là góc nghiêng c
ủa phương chính với trục x, từ (3-
6) và (3-3), ta có:

uv


x
 

y
sin
2


2
0
 


y
 
0
 k
2 2
, k  z
Ha
y




01








2





02
2 2

Th
ực
vậy
d
u
d




2

x


y
2
sin 2
  2
xy
cos 2

 
2
uv
d

u

uv

1  tg
2
2



và sin 2 

1
1
 tg
2
2



, ta có được hai giá trị
ứ
ng suất
chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng
thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là 
max
,

min
.
Ta có
:

max/

uv
đều là hàm của góc nghiêng . Do đó giữa chúng chắc
sẽ có một mối liên hệ nào đó.
Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:

x

u


 
y
2


x
 

y
cos 2

 

2
x
y
sin 2

 




x
 
y




u





 
uv



2


co2  
xy
sin 2









x


y





2


x
 
y

2



u




2

,

uv
-
T
ọa độ của những điểm trên vòng tròn.
2



x
 
y



,0

- Tọa độ của tâm vòng tròn.

2





x
 
y



yx
,
v
ới giả thiết 
x
>

y
> 0;

xy
> 0.
Ta l
ập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng
v
ới 1KN/cm
2
).
* Tr
ục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp.
* Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp.
y
y

yx

x

xy


x

y
2

x
Hình 3.9:
V
ẽ
vòng tròn
Mohr
Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn
OA  
y
; OB
 
x
.
Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:


xy
OC 
OA  OB


y
 
x




 
y



2
2


Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr.
D (

y
,

xy
): G
ọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C
và bán kính CD.Ta hoàn toàn có th
ể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất
(hình 3.9).
Chúng ta chú ý đến điểm M
o
(
x
,


y

xy


x

y

yx

u
u





uv

xy

xy

uv
D
M

M
O

ặt c
ắ
t xiên

x
Hình 3.11: Cách
d
ự
ng vòng tròn
ứng su
ấ
t
Theo hình ta tính
được:
OT  OC CT  OC CM cos(  2)
= OC  CM cos . cos 2  CM sin .sin
2



Vì CM cos  
CM
0
 


cos   CB 
x y
2
Và CM sin

OT 

u
TM


uv
N
ối DM =>
MDM
0
=
 => DM // u
* Chú ý: a) Khi bi
ểu diễn các giá trị 
x
,

y
,

xy
trong h
ệ
trục (, ) cần lưu ý dấu. b)  > o, khi quay ngược
chi
ều kim đồng hồ kể từ trục x.
Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng
m
ột góc  = 30

= 5,3 k/cm ;

uv
- y
(M)
==
2,7k/cm

KN


y

 


cm
2


4
M
0
u
2
30
0
D
30


t
t
ại mặt
xiên
* Tính theo phương pháp
gi
ải tích:
Hình 3.13: Cách
tìm
ứ
ng suất trên
m
ặt xiên b
ằ
ng
vòng Mohr

u

8 
4
2

8 
4
2
cos
60
0
 2 sin

2
2
chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ
bằng không. Đó là hai điểm M
1
, M
2
, các phương này hợp với
phương ngang những góc 
1
và

2
.
Ở đây ta qui ước chiều dương
của các góc  là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá
tr
ị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (, ).
Đó là các đoạn
OM
1
và OM
2
; OM
1


max
; OM
2


2



xy



x


y


x


y

2

max
 OC 
CM
1







2


x







y



2
2




(3-
10)
d
ấu + ứng với 
ma x
, d
ấu

1
M
1


y
x
x
x
y
x

y
x

y
O

2


A
C
B

1
Hình
3.14:Phân
t
ố ứng


2
=

min
,

3
= 0
G
ọi: 
1
- Góc gi
ữa phương chính có 
max
v
ới phương ngang.

2
- Góc gi
ữa phương chính có 
min
v
ới phương ngang.
thì từ vòng Mohr ta
rút ra:
tg

1
tg


y
 
min

xy
Vi
ết gộp: tg 
1/2
 (3-11)

y
 
max
/ min
Trên vòng tròn Mohr còn có hai
điểm đặc biệt M
3
và M
4
là
hai
điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất. Dựa vào vòng Mohr, ta có:
  




x









xy
2



Viết gộp:

max/ min
 




x






2

