Trường Đại học Hồng Đức
Khoa Khoa học tự nhiên
Lưu Văn Tiến
đa tạp Riemann hai chiều
Khóa luận tốt nghiệp đại học sư phạm toán
chuyên nghành: hình học vi phân
GVHD: TH.s gvc đồng khắc soạn
đơn vị công tác: khoa khoa học tự nhiên
Thanh hóa, tháng 5 năm 2009

Khóa luận được trình bày theo hệ thống từ khái niệm, mô tả,
cách biểu thị về đa tạp Riemann hai chiều đến định tính của nó
và được phân thành 2 phần:
Phần I. Cơ sở lý thuyết

Chương I. Đa tạp Riemann hai chiều

Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều

Đ2. Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai
chiều
Đ3. Đạo hàm của trường véctơ dọc một cung tham số
Chương II. Cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều
Đ1. Độ cong trắc địa của một cung và cung trắc địa trên đa
tạp Riemann hai chiều
Đ2. Tính chất ngắn nhất của cung trắc địa
Đ3. Định lí Gauss-Bonet
Phần II. Một số bài tập minh họa

PHầN I: CƠ Sở Lý THUYếT

Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều
1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít .
1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp hai
chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa phương và
được gọi là một bản đồ địa phương.
Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương (hay
còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai
chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ).
p
r
n
E
( )
pp
U,Ur,pBS =
Sp
( )
pp
r,U
n
E
Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều
1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít .
1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm

EU:r
3
=


( )
3
EVRV:F
( ) ( )
z,y,xFz,y,x
( )
=

pFS
1
( )
1F,F,Frank
zyx
=

n
E

2. Đa tạp Riemann hai chiều.
2.1. Các định nghĩa.
a. Định nghĩa 1. Cho M là một đa tạp hai chiều và tích vô
hướng < , >_cấu trúc Riemann thõa mãn hai điều kiện:
i) là tích vô hướng trên
ii) < , > là ánh xạ khả vi đối với mọi p.
Khi đó (M,< , >) gọi là đa tạp Riemann hai chiều.

,,M,,M:f
Mp
( ) ( )
MT,,,]fT,fT[
ppp
>=<

c. Định nghĩa3.
ánh xạ (khả vi) gọi là bảo giác (bảo
tồn góc giữa các đường) nếu với mọi là một ánh
xạ tuyến tính đồng dạng từ đến
Ví dụ. Phép biến đổi đồng nhất từ đến
trong đó, và là một hàm số dương (khả vi)
trên M, là một ánh xạ bảo giác.
d.Định nghĩa 4: Đa tạp với cấu trúc
Riemann . Trong đó:
( can là cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng
thông thường trên ). (H, < , > ) gọi là nửa phẳng Poincare
( )
[ ]
( )
,,M
~
,,M:f
( )
fT,Mp
p

( )
pp


( ) ( ) ( )( )
ty,xt,xtfRt ==∈ 
( )
tty =
( )
21
]t,t[
tt
21
<ρ
1
2
t
t
t
t
ln
t
dt
2
1
=
∫
2.2 VÝ dô vÒ ®a t¹p Riemann hai chiÒu.
* ®é dµi cung ®o¹n.
XÐt cung trong H x¸c ®Þnh bëi tham sè hãa
víi
§é dµi cña cung lµ :


( ) ( ) ( ){ }
pX,...,pX,pX
n21

c. Định nghĩa 3. Nếu mọi trường vectơ
của trường mục tiêu trên là song
song thì ta nói trường mục tiêu song song.
Mỗi cơ sở trực chuẩn của xác định một trường
mục tiêu trực chuẩn song song .
d. Định nghĩa 4. Giả sử là trường mục tiêu
tự nhiên trên và . Khi đó :

Các 1- dạng trên xác định bởi

với i, j = 1,2,...,n
thì họ gọi là trường đối mục tiêu đối ngẫu của trường
mục tiêu { } và khai triển 1- dạng vi phân là duy nhất.
( )
n,...,2,1iX
i
=
{ }
n21
X,...,X,X
n
E
n
E
{ }
n,...,2,1i,E

EEX
( )
n,....,2,1i
i
=
n
E
( )





=

==
jiue

n0
jiue

n1
E
i
ji
i
{ }
i

n

2
1
=
1
2


3. Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều:
* Định lý: (M,<, >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì có
một và chỉ một hàm số K trên M sao cho với trường đối mục
tiêu của trường mục tiêu trực chuẩn tùy ý
trên tập mở V của M.
Ta có:
Trong đó: là dạng liên kết của trong trường mục tiêu đó.
K gọi là độ cong Gauss của (M , < , >).
4. Ví dụ. M = S là đa tạp hai chiều trong với cấu trúc
Riemann hai chiều cảm sinh từ tích vô hướng trong
thì độ cong Gauss ở đây của ( M , can ) trùng với độ cong
Gauss trong đa tạp hai chiều thông thường của S.
{ }
21
~
,
~

{ }
21
U,U
211
2

It
( )
( )
MTtX
t

It
0

IJ,t
0

( )
J
( )
[ ]
tXt
0
t
It
0

{ }
21
U,U
( )
I

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
)t(Ut)t(UttX




dt
X
hayX
dt

It
0

{ }
21
U,U
0
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)t(U)t(tt
dt
d
)t(U)t(tt
dt
d
t
dt
x
020
2
10

+

=

2
1
1
2
=

1.3. Tính chất.
1.3.1 X, Y là các trường véctơ dọc thì:

1.3.2 X là trường véctơ dọc và là hàm số trên I thì:

1.3.3 X là trường véctơ dọc thì:
1.3.4 Z là một trường véctơ trên một tập mở I trong M chứa
điểm p. Xét ; , là cung có ảnh trong I
thì là trường véctơ dọc và

không phụ thuộc đã chọn gọi là đạo hàm của Z theo véctơ
MI:
( )
tt
( )
Y
dt
X
dt
YX

=

Z

( )
( )
t
dt
Z
Z
p

=


p

( )
X
dt
X
dt
d
X
dt

+

=





dt
X
ds
d
ds
X
2
RU
MU:r
( ) ( )
v,urv,u
( )
Uv,u
( )
MTv,uX
)v,u(r

( )
v,uru
( )
v,urv
u
X


v
X