BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THỦY

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH
ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THỦY

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH
ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 9460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Lê Văn Thành
2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến

góp ý của GS. TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn Trung
Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, PGS. TS. Kiều Phương
Chi, PGS. TS. Phan Đức Thành, ThS. Nguyễn Ngọc Tứ, cùng các nhà khoa học
và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý
báu đó.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm tự nhiên và Phòng Đào tạo
Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đã hỗ trợ
và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu tại Viện.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An, Trường
THPT Thanh Chương 3 cùng Tổ Toán Trường THPT Thanh Chương 3, đặc biệt
là ThS. Trịnh Văn Thạch và cô Trần Thị Lương đã luôn tạo điều kiện và giúp đỡ
tác giả trong thời gian thực hiện nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn là chỗ dựa vững
chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác.

Nguyễn Thị Thủy


iii

MỤC LỤC

Một số kí hiệu thường dùng trong luận án

1

Mở đầu


nhận giá trị trong không gian Banach

. . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Chương 3. Dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cực đại đối
với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach
3.1. Một số kiến thức chuẩn bị

68
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.2. Dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cực đại đối với mảng các
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . .

71

3.3. Luật mạnh số lớn dạng (p, q)

83

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận và kiến nghị

96

m∧n
tr. i
tr. i-j
µ( X )
d(k)
[x]
d

X=Y
lim inf Amn
lim sup Amn
Xs
f (n) ∼ g(n)

Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số thực không âm
Không gian xác suất đầy đủ
Không gian Banach thực khả li
σ - đại số Borel của E
Logarit cơ số tự nhiên của số thực x
log(x ∨ e), x ∈ R
Không gian liên hợp của không gian E
Kì vọng của phần tử ngẫu nhiên X
Phương sai của X
Hàm chỉ tiêu của tập hợp A
Hầu chắc chắn
Giá trị lớn nhất của hai số thực m và n
Giá trị nhỏ nhất của hai số thực m và n
Trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn

luật số lớn vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu. Luật số
lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và nhiều
lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý
thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
1.2. Logic tự nhiên của sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác
suất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong
những hướng tổng quát đó là từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử nhận giá trị trong không gian
Banach, hoặc từ các kết quả đã có đối với dãy mở rộng sang các kết quả đối với
mảng hai hay nhiều chỉ số các phần tử ngẫu nhiên. Có rất nhiều câu hỏi được
đặt ra như “từ các kết quả cho dãy một chỉ số đã có, liệu rằng có thể thiết lập
được các kết quả tương tự cho mảng nhiều chỉ số không?”, “phương pháp chứng
minh các kết quả cho dãy một chỉ số có vận dụng được trong trường hợp mảng
nhiều chỉ số không?”,... Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số định lý
giới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Banach thực khả li. Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉ
số có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tương
tự. Đối với cấu trúc nhiều chỉ số, quan hệ thứ tự thông thường trên tập các chỉ
số không có tính chất tuyến tính. Vì vậy, khi mở rộng các định lý giới hạn đối từ
trường hợp dãy một chỉ số sang trường hợp mảng nhiều chỉ số chúng ta sẽ gặp
nhiều khó khăn hơn. Điều này góp phần làm cho các kết quả nghiên cứu về các
định lý giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số có nhiều ý nghĩa.


3

1.3. Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác
suất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầy
đủ theo trung bình. Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn
hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình. Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ này

sự hội tụ đầy đủ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập và độc lập đôi một. Đồng thời,
luận án cũng nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển như
các bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng các
phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi vận dụng dạng tổng quát của bất
đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng
các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo
nhóm dưới sự chủ trì của thầy hướng dẫn, và trao đổi với các nhà khoa học
trong và ngoài nước. Các công cụ chủ yếu sử dụng trong luận án là các bất đẳng
thức cực đại như bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức
Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất
đẳng thức đối xứng mạnh. Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con,
phương pháp xấp xỉ, và phương pháp đối xứng hóa để chứng minh các kết quả
về luật số lớn và sự hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên
cứu về luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ, và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với
mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu
sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Không quá để nói rằng lịch sử của lý thuyết xác suất là câu chuyện của các
định lý giới hạn, trong đó có luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn. Luật số lớn


5


biến ngẫu nhiên đó có kỳ vọng hữu hạn. Sau đó kết quả này đã được mở rộng bởi
Marcinkiewicz và Zygmund [30], [31]. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá
trị thực, năm 1973 Smythe [47] đã thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov.
Sau đó, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chỉ số cũng
được nghiên cứu bởi Gut [16], Klesov [21]. Ở Việt Nam, luật số lớn đối với mảng
hai chỉ số các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực cũng được nghiên cứu bởi các tác
giả Giang và Tiến [15], Thành [50], Quảng và Huy [39], Quảng và Huấn [38],...
Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu các định lý giới hạn
đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian p khả trơn
như Quảng và Huấn [40], [41] và trong không gian Banach Rademacher dạng p
như Rosalsky và Thành [43], [45]. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu
luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach bất kì. Cụ thể hơn, chúng tôi đã đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và
luật yếu số lớn tương đương với nhau.
Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm này được đưa
ra đầu tiên bởi Chow [7] cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thành và Volodin [44] đã thiết lập sự hội
tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị


6

trong không gian Banach. Gần đây nhất, năm 2014 và năm 2017 các tác giả Sơn,
Thắng và Dũng [48] và Parker và Rosalsky [36] cũng nghiên cứu về dạng hội tụ
này đối với mảng hai chỉ số. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu sự hội
tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian Rademacher dạng p. Đối với không gian Banach bất kì, chúng
tôi chứng minh được từ Smn /(mn)(p+1)/p , p ≥ 1 hội tụ đầy đủ theo trung bình về
0 kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Bên cạnh đó,


gian Rademacher dạng p thông qua các Hệ quả 1.2.7, 1.2.8, 1.2.14.
Chương 2 nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ và hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp
p của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chương 2 gồm hai mục. Mục 2.1 đưa ra

một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy
đủ theo trung bình cấp p. Bên cạnh đó, trong Mục 2.1, chúng tôi chứng minh
được rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo
luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra hai phản ví dụ
để minh họa cho các kết quả chính. Phản ví dụ thứ nhất chỉ ra hội tụ đầy đủ và
hội tụ theo trung bình không kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình. Phản ví
dụ thứ hai chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.8, chúng ta không thể làm yếu giả thiết
độc lập bởi giả thiết độc lập đôi một. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra điều kiện
cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc
lập đôi một. Ở mục này, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng trong Định
lý 2.2.7, ta không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập
đôi một, cùng phân phối bởi giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi một phần
tử ngẫu nhiên bị chặn. Các kết quả chính của chương là Định lý 2.1.6, Định lý
2.1.8 và Định lý 2.2.7.
Chương 3 được dành để nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức
Etemadi, Lévy, Ottaviani và Hoffmann-Jørgensen đối với mảng hai chỉ số các
phần tử ngẫu nhiên độc lập. Mục 3.1 giới thiệu một số kí hiệu, các bổ đề cần
thiết dùng để chứng minh các kết quả chính của chương. Mục 3.2 đưa ra kết quả
và chứng minh chi tiết các dạng tổng quát của các bất đẳng thức nêu trên. Mục
3.3 trình bày sự vận dụng dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng
minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn. Các kết quả chính
của chương là các Định lý 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4, 3.2.5 và Định lý 3.3.2.
Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại Hội nghị toàn quốc lần


8

i=1 j=1

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này, trình bày một số kiến thức chuẩn bị để làm công cụ để nghiên cứu
nội dung chính của chương. Trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa các dạng
hội tụ của mảng các số thực.
1.1.1 Định nghĩa. ([36]) Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chỉ số các số thực.
(i) Mảng {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ đến a ∈ R khi m ∨ n → ∞ nếu
với mọi ε > 0 tồn tại N ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N mà m ∨ n ≥ N thì
|amn − a| < ε.


10

Khi đó, ta kí hiệu

lim

m∨n→∞

amn = a hoặc amn → a khi m ∨ n → ∞.

(ii) Mảng {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là tiến ra ∞ khi m ∨ n → ∞ nếu với
mọi M > 0 tồn tại N ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N mà m ∨ n ≥ N thì
amn > M.

Khi đó, ta kí hiệu

lim



aij = S.
i=1 j=1

∞

amn = S.
m=1 n=1

1.1.3 Nhận xét. Ta dễ dàng chứng minh được rằng
m

n

lim

m∧n→∞

m

aij =
i=1 j=1

n

sup
m≥1,n≥1

aij .
i=1 j=1

X h.c.c.

(ii) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m

1} được gọi là hội tụ

1, n

theo xác suất đến phần tử ngẫu nhiên X khi m ∨ n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì
lim

m∨n→∞

P

P( Xmn − X > ε) = 0. Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X khi m ∨ n → ∞.

(iii) Giả sử p > 0. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m

1, n

1} được gọi

là hội tụ theo trung bình cấp p đến phần tử ngẫu nhiên X khi m ∨ n → ∞ nếu
lim

m∨n→∞

E Xmn − X



k→∞

Xmn − X > ε) = 0.

m∨n k

Từ định nghĩa về các dạng hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên và tiêu
chuẩn của sự hội tụ h.c.c., bất đẳng thức Markov,... ta có thể chứng minh các
mối quan hệ giữa các dạng hội tụ đó như sau.
c

h.c.c.

1.1.6 Nhận xét. (i) Nếu Xmn → X thì Xmn → X khi m ∨ n → ∞.
h.c.c.

P

(ii) Nếu Xmn → X khi m ∨ n → ∞ thì Xmn → X khi m ∨ n → ∞.
Lp

P

(iii) Nếu Xmn → X khi m ∨ n → ∞ thì Xmn → X khi m ∨ n → ∞.


12

Giả sử {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố. Trong luận án, ta sử dụng

∞

P(Amn ) = ∞,
m=1 n=1

thì
P(lim sup Amn ) = 1.
Amn với mọi k ≥ 1. Khi đó {Bk , k ≥ 1} là dãy

Chứng minh. (i) Đặt Bk =
m∨n≥k

giảm nên theo tính liên tục của xác suất, ta có
∞

∞

0 ≤ P (lim sup Amn ) = P

Amn

=P

k=1 m∨n≥k

Bk
k=1

= lim P(Bk ) = lim P
k→∞

∞

Imn = ∞

P
m=1 n=1

= 1.

= ∞ thì


13

Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có
m

m

n

n

(Iij − EIij ) > 1/2

P

≤

P(Aij )

i=1 j=1

i=1 j=1

m
i=1

4Var

m
i=1

4

≤

n
j=1 P(Aij )

m
i=1

→ 0 khi m ∧ n → ∞.

Do đó, ta suy ra
m

lim

m∧n→∞

n

Iij ≥ 1/2

P
i=1 j=1

P(Aij )

= 1.

(1.1.1)

i=1 j=1

Đặt
m

n

m

n

Iij ≥ 1/2

Bmn =
i=1 j=1

P(Aij ) .

∞

∞

Bmn ⊂

Iij = ∞
i=1 j=1

k=1 m∧n≥k

Từ (1.1.2) và (1.1.3) ta có
∞

∞

Iij = ∞

P
i=1 j=1

= 1.

.

(1.1.3)


14


(1.1.5)

thì
Smn P
→ 0 khi m ∨ n → ∞,
mα nβ

trong đó

m

n

Smn =

Yij .
i=1 j=1

Chứng minh. (i) Giả sử Xmn
∞

c

α. Điều này nghĩa là tồn tại ε > 0 sao cho

∞

P

Xmn − α > ε = ∞.

Smn >

εmα nβ
2

(1.1.6)


15

Từ (1.1.5), ta có I2 → 0 khi m ∨ n → ∞. Theo (1.1.4) và bổ đề Borel-Cantelli ta
có
P lim sup Xmn = Ymn

= 0.

P lim inf Xmn = Ymn

= 1.

Điều này kéo theo
(1.1.7)

Từ (1.1.7), ta suy ra
Smn − Smn h.c.c.
→ 0 khi m ∨ n → ∞.
mα nβ

Điều này kết hợp với (1.1.6), ta kết thúc chứng minh khẳng định (ii).
Bổ đề sau là bổ đề Kronecker cho mảng hai chỉ số. Ta có thể xem phát biểu

1.1.10 Định nghĩa. ([20]) Giả sử {rj , j ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,
1
2

cùng phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = .
Không gian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (p ≥ 1) nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi i ≥ 1 và với mọi vj ∈ E (1 ≤ j ≤ i),
1/p

i

rj vj

E
j=1

p

1/p

i

≤C

vj
j=1

p

.

≤C

vj

p

(1.1.8)

.

j=1

j=1

j=1

1/p

i

Trong trường hợp q = 2, bất đẳng thức (1.1.8) trở thành
1/2

i

rj vj

E

2

biệt, các không gian R, Rn là không gian Rademacher dạng 2.
(iii) Các tác giả trong [20] đã chứng minh rằng với 1 ≤ p ≤ 2, một không gian
Banach thực khả li là không gian Rademacher dạng p nếu và chỉ nếu tồn tại một
hằng số Cp sao cho

n

n

Xi

E
i=1

p

≤ Cp

E Xi

p

(1.1.9)

i=1

với mọi dãy {X1 , ..., Xn } các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kì vọng 0.
1.1.12 Định nghĩa. ([28, tr. 47]) Phần tử ngẫu nhiên X được gọi là đối xứng
nếu X và −X có cùng phân phối xác suất, nghĩa là
P(X ∈ B) = P(−X ∈ B) với mọi B ∈ B(E).

n → ∞, điều này nghĩa là tồn tại ε > 0 sao cho với mọi N ∈ N∗ thì tồn tại m, n

thỏa mãn m ∨ n ≥ N và
µmn > ε.
P

Mặt khác, vì Xmn → 0 khi m ∨ n → ∞ nên tồn tại N ∈ N∗ để
P ( Xmn ≥ ε) < 1/4 với mọi m ∨ n ≥ N.
Kết hợp điều này và định nghĩa median ta thu được
1/2 ≤ P ( Xmn ≥ µmn ) ≤ P ( Xmn ≥ ε) < 1/4 với mọi m ∨ n ≥ N.

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ µ( Xmn )→0 khi m ∨ n → ∞.


18

Định nghĩa sau đây tổng quát hơn định nghĩa mảng các phần tử ngẫu nhiên
cùng phân phối.
1.1.17 Định nghĩa. ([46]) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}
được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C
sao cho với mọi t ≥ 0 và với mọi m ≥ 1, n ≥ 1, ta có
P Xmn > t ≤ C P X > t .
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức dùng chứng minh các
kết quả chính. Bổ đề sau đây là bất đẳng thức de Acosta. Đây là một công cụ
quan trọng để chứng minh luật số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Banach khả li tùy ý.
1.1.18 Bổ đề ([1]). Cho {Xj , 1 ≤ j ≤ n} là các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Khi
đó, với mỗi p ≥ 1, tồn tại hằng số dương Cp < ∞ (chỉ phụ thuộc p) sao cho
n




n

j=1

p

Xj
j=1

p/2

n

≤ Cp 

E Xj
j=1

2



n

E Xj p  , với p > 2.

+
j=1


max Xks ≥ x ,

1≤k≤n

và
1
P
2

max |Xk − µ(Xk )| ≥ x

1≤k≤n

≤P

max |Xks | ≥ x

1≤k≤n

≤ 2P

max |Xk − ak | ≥ x/2 .

1≤k≤n

Kết quả sau là bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen [19, Định lý 3.1].
1.1.21 Bổ đề. Cho {Xj , 1 ≤ j ≤ n} là các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng.
Khi đó với mọi t > 0, s > 0, ta có
n

1.1.23 Bổ đề. Cho {amnij , 1 ≤ i ≤ m + 1, 1 ≤ j ≤ n + 1, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các
hằng số dương sao cho
m+1 n+1

amnij ≤ C và

sup
m≥1,n≥1

i=1 j=1

lim

m∨n→∞

amnij = 0 với mỗi i, j cố định.


20

Nếu {xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chỉ số các hằng số thực thỏa mãn
lim

m∨n→∞

xmn = 0,

thì
m+1 n+1


thì ta có
(i)
∞

∞

m=1 n=1

E |Xmn |q I(|Xmn | ≤ (mn)1/p )
(mn)q/p

< ∞ với mọi q > p.

(ii)
∞

∞

m=1 n=1

E |Xmn |r I(|Xmn | > (mn)1/p )
(mn)r/p

< ∞ với mọi 0 < r < p.

Cho k là một số nguyên dương. Trong luận án này, ta kí hiệu d(k) là số các
ước số nguyên dương của k . Bổ đề sau đây cho phép chúng ta xấp xỉ một tổng
số liên quan đến các số d(k). Ta để ý rằng, với f (n), g(n) là các hàm dương,
f (n)
= 1. Khi đó, ta kí hiệu