GV : Nguyễn V¨n Trung ( Biên soạn )
BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN
Bài 1 :
1) §¬n gi¶n biĨu thøc : P =
14 6 5 14 6 5+ + −
.
2) Cho biĨu thøc : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
 
+ − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) T×m x ®Ĩ
Q
> - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
H íng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x
≠
1. BiĨu thøc rót gän : Q =
1

x
−
+
1
1
.
b) Víi x =
1
2
th× P = - 3 – 2
2
.
Bài 3 : Cho biĨu thøc : A =
1
1
1
1
+
−
−
−
+
x
x
x
xx
a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A khi x =
4
1

1
a 3 a 3 a

+
ữ ữ
+


a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+
a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
Baứi 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003

Baứi 6 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.

1
2
++
xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2


1
2
++
xx
< 2

2(
1
++
xx
) > 2


xx
+
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
2
GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Baứi 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+


1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Baứi 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+


c) P
min
=4 khi x=4.
Baứi 11 : Cho biểu thức




















+

+
+
+

P
+

=

b. Với
9x0
<
thì
2
1
P
<

c. P
min
= -1 khi x = 0
3
GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +

+ +

với x 0 , x

9, x

4 .
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm x Z để
A Z
(KQ : A=
3
2x
)
Bài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
+
+
+ +
với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.

1
x
x x+ +
)
Bài 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
+
+ + +
với x 0 , x

1.
a . Rút gọn A.
b. CMR :
0 1A

( KQ : A =
1
x
x x +
)
Bài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x


b. Tìm a để A < 1
c. Tìm
a Z

để
A Z
( KQ : A =
1
3
a
a
+

)
Bài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x

+ +
+
ữ ữ
ữ ữ

+


ữ

+

với x 0 , y 0,
x y

a. Rút gọn A.
b. CMR : A 0 ( KQ : A =
xy
x xy y +
)
Bài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ
+ + Với x > 0 , x

với x > 0 , x

4.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
1 x
)
Bài 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

với x > 0 , x

1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
3
2 x
)
Bài 24 : Cho A=
3

GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
Bài 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x

ữ
ữ
ữ

+ + với x 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z

để
A Z


2
( KQ : A =
3
3a

+
)
Bài 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x

+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =

Bài 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

Với
1
0,
9
x x
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x

6
GV : Nguyễn V¨n Trung ( Biên soạn )
Bµi 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
víi x≥ 0 , x
≠
1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x≥ 0 , x
≠
1 th× A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bµi 32 : Cho A =
4 1 2
1 :

+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m
x Z
∈
®Ĩ
A Z∈

Bµi 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
   

H íng dÉn :
1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b.
7
GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
4
2



=
=

1
3
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
3
1
.


m =
2
1

Baứi 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2

m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3

(x
0

1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
21
1



=
=

3
2
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua
điểm C(0 ; 2) ta cần :




;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3

(2x
0
+ 1)m - x
0
- y
0
- 3 = 0










=

=

1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
9
GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a

.
+ Nếu a = 0 và b 0

phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0

phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :



=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :

Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2

2x = - 3

x =
2
3

Với

x =
2
3

thay vào (* ) ta có (
2
3

)

Ta cã : víi m
∈
Z th× 2m – 3
≠
0 , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiƯm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
®Ĩ pt cã nghiƯm nguyªn th× 4

2m – 3 .
Gi¶i ra ta ®ỵc m = 2, m = 1.
VÝ dơ 3 : T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23.
Gi¶i :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23
⇔
y =
4
7x - 23
= 6 – 2x +
4
1 x
−
V× y
∈
Z
⇒
x – 1

4.

− =


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ = −

f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+

x (a 1)y 2
− + =


+ − =

cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).
1) T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo a.
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a tho¶ m·n 6x
2
– 17y = 5.
3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ biĨu thøc
2x 5y
x y
−
+
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bài 5 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
11
GV : Nguyễn V¨n Trung ( Biên soạn )
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =


+ =

1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.


=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ
thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km.
Tính vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ
trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5


⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm
300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung
dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :







=
+
+
=
+

nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
– 4ac hoặc
∆
/
= b
/2
– ac
*
∆
< 0 (
∆
/
< 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
*
∆
= 0 (
∆
/
= 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x
1,2
= -

(hoặc x
1
=
a
b
//
∆−−
; x
2
=
a
b
//
∆+−
)
2. Định lý Viét.
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì
S = x
1
+ x
2
= -

2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng
trình .Ta có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu ( x
1
< 0 < x
2
)

p = x
1
x
2
< 0
Hai nghiệm cùng dơng( x
1
> 0 và x
2
> 0 )


0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)






>
=
>
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2
= 0)




a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0

thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1

2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x

2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2

2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0

)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1

1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này
có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2
trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm
thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9


m =

3
15
GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2


= m
2

(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
/

= 0

9m 18 = 0

m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/

=
a
b
= - 2
- Nếu
/

> 0


3
23


m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
53

)x -
15
= 0
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải

16
GV : Nguyeón Văn Trung ( Bieõn soaùn )
c) x
2
+ (
53

)x -
15
= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
53

) = -
3
+
5
x
1

)x - 6
7
= 0 có : ac = - 6
7
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có






==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1
2 1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)

0

m

3 (*)







=
=

3
22
1
2
1
m
m
x
x

Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x

1
)
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1

x
và
1
1
2

x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x

4p => B =
21
xx

=
374
2
=
pS

17