BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỘ PHẬN TRUNG HỌC CƠ SỞ CHUYÊN NGHIỆP

TỔNG HỢP ĐỀ KIỂM HỌC KỲ 2
MÔN TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN


1/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

PHÒNG GD&ĐT QUẬN BẮC TỪ LIÊM

Bài I (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A 

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN TOÁN 9
Năm học: 2017 - 2018
Thời gian làm bài: 120 phút

4 x
1
x
2
và B 
với x  0;x  1


x 1

----- Hết -----

Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/


2/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

HDG:
Bài 1:
a) Với x  4 (TMĐK) thay vào biểu thức A ta có: A 

4 4 8

4 1 3

8
Vậy A  khi x  4
3

1
x
2
với x  0; x  1




x





x 1



x 1



 

x 1

2



x 1

x 1  x  x  2








x 1

x 1
x 1

Vậy B 
c) Để A 

x 1
với x  0; x  1
x 1

3 4 x
3
thì 
2 x 1
2

 3  x  1  8 x
 3x  8 x  3  0





 3 x 1




3/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

Bài 2:
Gọi số sản phẩm tổ công nhân dự định làm trong một ngày là: x (sản phẩm) x 



Do tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm nên số ngày tổ công nhân dự định phải làm là:

240
x

(ngày)
Tuy nhiên khi thực hiện, mỗi ngày họ làm thêm được 10 sản phẩm nên số sản phầm làm được là:
x  10 (sản phẩm)
Khi đó, số ngày mà tổ công nhân đã làm là:

240
(ngày)
x  10

Theo đề bài, do cải tiến kĩ thuật, đội công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta
240 240
có phương trình:


4/5

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

 x1  x2  3 x1 x2  1
 m  3 m 1  1
 3 m 1  m 1
 9(m  1)  m 2  2m  1
 m 2  11m  10  0
 (m  1)(m  10)  0
 m  1(TMDK )

 m  10(TMDK )

Vậy m  1 hoặc m  10 thì hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình (1) thỏa mãn : x1  x2  3 x1 x2  1
Bài 4:

B

D
K

M

A

H

d)
Dễ thấy H là trực tâm ABK nên BH  KA . Lại có IH  KA( gt ) nên B,H,I thẳng hàng.
Tứ giác BMHD nội tiếp nên ABK  MHD  1800
Mà ABK  ACK (Do C đối xứng với B qua AK), MHD  AHK (đối đỉnh) nên

ACK  AHK  1800 do đó tứ giác AHCK nội tiếp.
Lại có A, H, K cùng thuộc  O; R  nên C thuộc  O; R  .
Bài 5:
Điều kiện: x  0 *





Đặt t  x  x  7 t  7  t 2  2 x  7  2 x 2  7 x  2 x  2 x 2  7 x  t 2  7



PT  t 2  t  42  0   t  7  t  6   0  t  6 do t  7



Với t  6  x  x  7  6  2 x  7  2 x 2  7 x  36
29  2 x  0
 2 x 2  7 x  29  2 x  
2
2
4  x  7 x    29  2 x 
29


NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: TOÁN - Lớp 9
Hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Bài 1 (2,0 đ) Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm.
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
A
B
A
B
C, D
D
C
D
Lưu ý: Đối với câu 5, thí sinh chọn phương án trả lời là C hoặc D, hoặc chọn cả C và D đều cho điểm
tối đa.
Bài

Ý

Nội dung

2.
2 4
x + x +1

(0,5đ)
−1
Suy ra 2
< 0 tức là P < 0.
x + x +1
x 2 − ( m + 6 ) x + 3m + 9 = 0 ⇔ ( x − 3)( x − m − 3) = 0
1.
(0,5đ) Với m = 1, tìm được tất cả các nghiệm của phương trình là: 3; 4 .

2.
(0,5đ)
3.
(1,5đ)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Phương trình (1) nhận 1 + 2 là một nghiệm khi và chỉ khi m + 3 =1 + 2.


0,25

0,25


Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
 x2 − y 2 5
=
 xy = 6

6⇔ 2
 xy
2
5
x − y =
 x2 − y 2 =
5.


4.
(1,0đ)

Tìm được tất cả các nghiệm ( x, y ) của hệ đã cho là:

0,5

( 3, 2 ) ; ( −3, −2 ) .

0,5

Hoặc hai góc cùng phụ với góc 
MAH .
Ta có 
ANM = 
AHM (góc nội tiếp cùng chắn một cung)

ABH = 
AHM , suy ra 
Theo câu 1. ta có 
MNA = 
MBH
2.
(1,0đ)
Suy ra 
MBC + 
MNC =
180O

0,25
0,25
0,25

Do đó tứ giác BMNC nội tiếp, hay bốn điểm B,C,N,M nằm trên một đường tròn.

0,25

DI là đường trung bình của tam giác AHC, suy ra DI vuông góc với AB.

0,5



x2 + 4 +

1

2/3

 3
2
+ . x +4
2
x +4 4
1

0,25

0,25


Xét phương trình ax 2 + bx + c =
0 (1)
Từ giả thiết ta suy ra b > a + c
2
Nếu a + c ≥ 0 thì b 2 > ( a + c ) ≥ 4.ac ⇒ b 2 − 4.ac > 0 , phương trình (1) có hai
2.
nghiệm phân biệt.
(0,5đ) Nếu a + c < 0 , kết hợp với c > 0 suy ra a < 0 . Khi đó a và c trái dấu, phương
trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy trong mọi trường hợp phương trình ax 2 + bx + c =
0 luôn có hai nghiêm

Bài I (2,0 điểm). Cho biểu thức A  
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm x để A 

5
6

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 8 giờ. Nếu mỗi đội
làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 12
giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu?
Bài III (2,0 điểm).
2

 x5  y 2  4

1) Giải hệ phương trình 
 x5  1 3

y 2

2) Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m2  0
a) Giải phương trình khi m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12  x22  4 x1.x2
Bài IV (3,5điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB,
AC
1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ABC ANM

:

9 √
3 √
3
2√
3
√
3 √
3
3 √
√
√
2√
3 √
3
√
.
3
3 √
3
√
1
√

3

.

3

3) Tìm GTNN của A

Do

3

√

3

√

√

Điểm
0,75

√

1

√

3
0⇔

1

0,5



(công việc)

Theo bài ra, mỗi giờ cả hai đội làm được công việc nên ta có phương trình :
1
1
1
12 8

0,25
0,5

Giải phương trình ta được x=-8(ktmđk); x=12 (TMĐK)
Vậy thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là 12 giờ;
thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là 24 giờ.

0,25

Bài III
(2điểm)
2

 x5  y 2  4

Giải Hệ PT 
 x5  1 3

y 2

1) 1 điểm

2) 1 điểm
Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m2  0
a)
b)

Giải PT khi m=4
Với m=4, giải PT:
10
16 được ∈ 2; 8
PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ 0 ⇔
Theo Vi-et có
2
1 ; .
4√ . ⇔
2 .
4√ .
Xét
4
1
2
4√
⇔2
8
4 4| | 0
TH1:
0⇒
6
2 0
TH2:
Vậy


N
M

B

O
C

H

D

1)

2)

3)

4)
(0,5
điểm)

90
- Giải thích
-Tính tổng
180
- KL : AMHN là tứ giác nội tiếp
Cách 1:
cm

Có
⇒
.
.
⇒∆
∼∆

⇒
90
CMTT :
90
Vậy
180 ⇒ O, M, N thẳng hàng.

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

0,5
0,25
0,25

0,25
0,25


Bài V

1
Vậy P có GTLN là 2√2 khi

2

1
2
0,25

1
0,25

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng hoặc có hướng đúng thì giáo viên dựa vào
hướng dẫn chấm chia biểu điểm tương ứng!
----------Hết-----------










1/7

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê


2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P = B : A. Tìm x để P  3.
Câu II. (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong việc. Nếu mỗi
người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người
thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để
xong công việc đó?
Câu III. (2,5 điểm)
4
 1
 2x −1 + y + 5 = 3

1) Giải hệ phương trình 
 3 − 2 = −5
 2 x − 1 y + 5

2) Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 1) x + 2m = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số)
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 . Tìm giá trị của m để x1 , x2 là độ dài hai
cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 .
Câu IV. (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và
B . Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC , lấy điểm E bất kỳ ( E khác
A và C ). Kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng DE cắt CK tại F.

Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/


2/7