PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1. (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  2a 3  7a 2b  7ab 2  2b3 .
�x  2019 x  2019 �x  1
 2
.
Câu 2. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức B  � 2
�
x 1 � 2x
�x  2 x  1
2
2
Câu 3. (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x  x  3  y .

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm số dư trong phép chia đa thức  x  1  x  3  x  5   x  7   2034
cho đa thức x 2  8 x  10 .
Câu 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n  1 và 3n  1 đều là các
số chính phương.
�  900 ) và CD = 2AB. Gọi H là
Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình thang vuông ABCD ( �
AD
hình chiếu của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC. Chứng
minh rằng BM vuông góc với MD.

II- Đáp án và thang điểm:
Câu 1 (2,0 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  2a 3  7a 2b  7ab 2  2b3 .
Nội dung trình bày

Ta có: A  2  a  b   7ab  a  b 
3

3

 2  a  b   a 2  ab  b 2   7 ab  a  b 
  a  b   2a 2  2b 2  5ab 

Điểm
0,5
0,25
0,25

  a  b   2a 2  4ab  2b 2  ab 

0,25

  a  b �
2a  a  2b   b  b  2a  �
�
�

0,25

  a  b   2a  b   a  2b 


x

1




x

1


�
�
�
� 2x
 x  2019   x  1   x  2019   x  1 . x  1
=
2
2x
 x  1  x  1
2.2018 x

0,25
0,25

x 1

= x  1 2 x 1 . 2x


Do đó, xảy ra các trường hợp sau:

TH1: 2 x  2 y  1 =1 và 2 x  2 y  1 = -11. Tìm được x =-3 và y = 3
TH2: 2 x  2 y  1 =-1 và 2 x  2 y  1 = 11. Tìm được x = 2 và y = -3
TH3: 2 x  2 y  1 =11 và 2 x  2 y  1 = -1. Tìm được x = 2 và y = 3
TH4: 2 x  2 y  1 = -11 và 2 x  2 y  1 = 1. Tìm được x = -3 và y = - 3
Vậy: (x,y)� (3;3),  2; 3 ,(2;3),(3; 3)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm số dư trong phép chia đa thức  x  1  x  3  x  5   x  7   2034
cho đa thức x 2  8 x  10 .
Nội dung trình bày
Ta có:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 2034
Đặt x2 + 8x + 7 = y, ta có: y(y + 8) + 2034 = y(y + 8) + 15 + 2019
= (y + 3)(y + 5) + 2019
= (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) + 2019
Vậy số dư của phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 cho đa
thức x2 + 8x + 10 là 2019.

Điểm


của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC. Chứng minh
rằng BM vuông góc với MD.
Nội dung trình bày

Điểm


Ta có hình vẽ:

0,25

Gọi N là trung điểm của HD
1
2

Ta có MN là đường trung bình của  HDC nên: MN  DC và MN//DC

0,25

1
�  900 ) nên:
Mà AB  DC ( vì DC = 2AB); AB//DC (vì �A  D
2

0,25

MN = AB và MN//AB, suy ra tứ giác ABMN là hình bình hành.
Suy ra: AN//BM
�  900 ) nên MN  AD


�  1 BCE
� � BCE
�  2.BCH
�  2.300  600
Suy ra: BCH

0,25

�  600 nên  CBE là tam giác đều � BE  BC
Do  CBE cân có BCE

0,25

2

1
2

1
2

Do đó: BH  BE  .6  3(cm)

0,25
1
2
1
  1  7  .3  12  cm 2 
2


0,5
0,25

Ta có hình vẽ:

lớn nhất đó bằng 4cm2
Câu 9 (2,0 điểm).

0,5
0,25
0,25
0,25

Cho x và y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y + 2018.
Nội dung trình bày
2
Ta có: x + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0 �  x  y  3  1  y 2
2

2
Mà 1  y 2 �1 vì y 2 �0 với mọi y nên:  x  y  3 �1

� x  y  3 �1
� 1 �x  y  3 �1
�
2014

Vậy: Min(C) = 2014 � x  4; y  0