BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT

NGUYỄN GIA TRỌNG

NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN VÀ XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
XỬ LÝ SỐ LIỆU GNSS DẠNG RINEX NHẰM PHÁT TRIỂN
ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ ĐỊNH VỊ VỆ TINH Ở VIỆT NAM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2019


ii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
MỤC LỤC .................................................................................................................. ii
DANH MỤC CÁC HÌNH ...........................................................................................v
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................... vii
DANH MỤC CÁC BẢNG....................................................................................... xii
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ THUẬT TOÁN VÀ PHẦN MỀM XỬ LÝ SỐ
LIỆU GNSS................................................................................................................7
1.1 Các kết quả nghiên cứu ở nước ngoài ...............................................................7
1.1.1 Các kết quả nghiên cứu về thuật toán ................................................................7
1.1.2 Các kết quả nghiên cứu xây dựng phần mềm ..................................................10
1.2 Các kết quả nghiên cứu ở Việt Nam ................................................................23
1.2.1 Các kết quả nghiên cứu về thuật toán xử lý số liệu GNSS ..............................23
1.2.2 Các kết quả nghiên cứu xây dựng phần mềm ..................................................25

3.2.4 Quy chuyển cạnh từ các tâm ăng ten về các tâm mốc trắc địa ........................83
3.2.5 Thuật toán định vị tương đối động ...................................................................89
3.3 Giải số nguyên đa trị .........................................................................................92
3.3.1 Quy trình chung khi giải số nguyên đa trị ........................................................92
3.3.2 Vấn đề làm giảm tương quan giữa các hiệu số nguyên đa trị ..........................93
3.3.3 Các phương pháp tìm kiếm số nguyên đa trị ...................................................94
CHƯƠNG 4. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH XỬ LÝ SỐ LIỆU GNSS VÀ
TÍNH TOÁN THỰC NGHIỆM .............................................................................98
4.1 Giới thiệu về ngôn ngữ lập trình ......................................................................98
4.2 Thiết kế phần mềm............................................................................................99
4.2.1 Nguyên tắc chung khi thiết kế phần mềm ........................................................99
4.2.2 Giới thiệu về chương trình đã được xây dựng ...............................................100
4.3 Giới thiệu về số liệu thực nghiệm và các phương án tính thực nghiệm .....107
4.3.1 Giới thiệu về số liệu thực nghiệm định vị tuyệt đối .......................................107
4.3.2 Các phương án tính toán thực nghiệm định vị tuyệt đối ................................108
4.3.3 Giới thiệu về số liệu thực nghiệm định vị tương đối .....................................110
4.4 Kết quả tính toán thực nghiệm định vị tuyệt đối .........................................111


iv

4.4.1 Kết quả tính theo phương án 1 .......................................................................111
4.4.2 Kết quả tính theo phương án 2 .......................................................................113
4.4.3 Kết quả tính theo phương án 3 .......................................................................117
4.4.4 Kết quả tính theo phương án 4 .......................................................................119
4.4.5 Kết quả tính theo phương án 5 .......................................................................122
4.4.6 Kết quả tính theo phương án 6 .......................................................................126
4.5 Kết quả tính thực nghiệm định vị tương đối ................................................129
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..............................................................................133
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ....................................................135

Hình 4.9a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 1 .......112
Hình 4.9b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 1 ......112
Hình 4.9c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 1 ........113
Hình 4.10a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 2 .....114
Hình 4.10b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 2 ....114
Hình 4.10c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 2 ......115
Hình 4.11a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 2_1 .115
Hình 4.11b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 2_1 116
Hình 4.11c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 2_1 ..116
Hình 4.12a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 3 .....117
Hình 4.12b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 3 ....118


vi

Hình 4.12c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 3 ......118
Hình 4.13a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 4 .....119
Hình 4.13b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 4 ....119
Hình 4.13c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 4 ......120
Hình 4.14a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 4_1 .120
Hình 4.14b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 4_1 121
Hình 4.14b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 4_1 ..121
Hình 4.15a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 5 .....122
Hình 4.15b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 5 ....123
Hình 4.15c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 5 ......123
Hình 4.16a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 5_1 .124
Hình 4.16b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 5_1 ......125
Hình 4.16c Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm PIMO tính theo phương án 5_1 ..125
Hình 4.17a Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm DANP tính theo phương án 6 .....127
Hình 4.17b Đồ thị biểu diễn độ lệch vị trí điểm KUNM tính theo phương án 6 ....128


BINEX

BINary Exchange

Phương thức chuyển đổi nhị phân

BIQUE

Best

Quadratic Ước lượng bình phương không

Invariant

Unbiased Estimate

chệch tốt nhất
Tệp chứa các hệ số triều dùng để

BLQ

tính hiệu chỉnh ảnh hưởng của tải
trọng đại dương
BLUE

Best Linear Unbiased Estimate

Ước lượng tuyến tính không
chệch tốt nhất

Operating Trạm tham chiếu thu tín hiệu liên

Reference Station

tục

Difference Code-Bias

Hiệu độ lệch giữa các trị đo
khoảng cách giả theo mã

DGPS

Differential Global Positioning Phương pháp định vị vi phân
System

GGSP

Galileo
Provider

Geodetic

Service Trung tâm cung cấp dịch vụ trắc
địa Galileo


viii

GIS


Global

toàn cầu
Satellite Hệ thống vệ tinh dẫn đường toàn

Navigation

System

cầu

GNSS-R

GNSS-Reflectometry

Phương pháp đo GNSS phản xạ

GRACE

The

Gravity Recovery and Vệ tinh GRACE của Châu Âu

Climate Experiment
IB

Phương pháp làm tròn số nguyên

Integer Boot-strapping


Inertial Navigation System

IONEX

IONosphere Map EXchange Định dạng bản đồ tầng điện ly
format

IR

Integer Rounding

Phương pháp làm tròn cho số
nguyên đa trị

IRNSS

Indian

Regional

Satellite System

Navigation Hệ thống vệ tinh dẫn đường khu
vực của Ấn Độ


ix

JPL


Quadratic Ước lượng chuẩn bình phương

Norm

Unbiased Estimate
NMEA

National

không chệch nhỏ nhất
Electronics Hiệp hội điện tử hàng hải quốc

Marine

Association
NTRIP

gia

Network Transport of RTCM Mạng
via Internet Protocol

OPUS

Online

Positioning

lưới

Phase Center Variation

Biến thiên tâm pha ăng ten

PPK

Post Processing Kinematic

Phương pháp đo động xử lý sau

PPP

Precise Point Positioning

Định vị tuyệt đối chính xác

PWV

Precipitable Water Vapour

Tổng lượng hơi nước tích tụ

QIF

Quasi Ionosphere Free strategy

Giải pháp gần loại trừ ảnh hưởng
của tầng điện ly

QZSS


RTK

Radio Technical Commission Ủy ban kỹ thuật vô tuyến cho
for Maritime Services

dịch vụ hàng hải

Real-Time Kinematic

Phương pháp đo tương đối động
tức thời

SA

Selective Availability

SBAS

Satellite-based

Sử dụng có lựa chọn

Augmentation Hệ thống tăng cường vệ tinh

Systems
SINEX

Solution



Total Electron Content

Tổng lượng điện tử theo phương
truyền sóng tín hiệu
Phần mềm thống nhất xử lý sơ bộ

TEQC

số liệu định vị vệ tinh đa hệ
TGO

Trimble Geomatic Office

Phần

mềm

TGO

(của

hãng

Trimble)
TRANSIT

Hệ thống vệ tinh dẫn đường của
hải quân Mỹ



Tổng lượng điện tử theo phương
thiên đỉnh


xii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1 Thống kê các phương pháp giải số nguyên đa trị ........................................9
Bảng 2.1 Độ chính xác xác định tọa độ vệ tinh theo thời gian .................................37
Bảng 2.2 Kí hiệu các thành phần thông tin quỹ đạo của một vệ tinh .......................47
Bảng 2.3 Cấu trúc thông tin 4 dòng miêu tả quỹ đạo vệ tinh Glonass trong 1 thời
điểm ...........................................................................................................................49
Bảng 3.1 Trọng số tiên nghiệm khi giải bài toán định vị tuyệt đối...........................66
Bảng 4.1 Thông tin về số liệu thực nghiệm định vị tuyệt đối .................................107
Bảng 4.2 Tọa độ các điểm xác định được trong ITRF ............................................108
Bảng 4.3 Giá trị phương sai tiên nghiệm của các ẩn số khi giải bài toán sử dụng
phép lọc Kalman .....................................................................................................110
Bảng 4.4 Thông tin về các cạnh đo .........................................................................110
Bảng 4.5 Phần trăm giá trị độ lệch vị trí của các điểm theo phương án 1 ..............111
Bảng 4.6 Phần trăm giá trị độ lệch vị trí của các điểm theo phương án 2 ..............113
Bảng 4.7 Phần trăm giá trị độ lệch vị trí của các điểm theo phương án 3 ..............117
Bảng 4.8 Phần trăm giá trị độ lệch vị trí của các điểm theo phương án 4 ..............119
Bảng 4.9 Phần trăm giá trị độ lệch vị trí của các điểm theo phương án 5 ..............122
Bảng 4.10 Phần trăm giá trị độ lệch vị trí của các điểm theo phương án 6 ............127
Bảng 4.11 Kết quả tính cạnh giữa các tâm pha ăng ten ..........................................129
Bảng 4.12 Kết quả tính số hiệu chỉnh do độ cao ăng ten ........................................129
Bảng 4.13 Kết quả tính cạnh giữa các tâm mốc......................................................129
Bảng 4.14 Kết quả giải cạnh bằng phần mềm TBC ................................................130
Bảng 4.15 Kết quả giải cạnh bằng phần mềm HGO ...............................................130

Được đưa vào Việt Nam từ những năm 1990, công nghệ GNSS cũng đã
chứng tỏ được ưu thế vượt trội so với các công nghệ khác khi sử dụng trong các đơn
vị sản xuất trắc địa - bản đồ. Về nghiên cứu ứng dụng công nghệ GNSS cũng như
nghiên cứu thuật toán xử lý số liệu GNSS, đã có các công trình được công bố bởi
một số nhà khoa học như PGS.TS Đặng Nam Chinh, PGS.TSKH Hà Minh Hòa,
PGS.TS Nguyễn Ngọc Lâu … cung cấp kiến thức tổng quát về công nghệ GNSS.
Đã có các công bố về nghiên cứu xây dựng phần mềm như PGS.TSKH Hà Minh
Hòa, PGS.TS Nguyễn Ngọc Lâu công bố gói phần mềm GUST dùng để xử lý cạnh


2

dài; TS Nguyễn Thị Thanh Hương và nhiều người khác đã công bố kết quả xây
dựng phần mềm GNSS-PRO xử lý dữ liệu cạnh ngắn kết hợp tín hiệu
GPS/GLONASS; Trung tâm NAVIS (Đại học Bách khoa Hà Nội) đã xây dựng giải
pháp định vị (cả phần cứng và phần mềm) độ chính xác cao dựa trên các trạm tham
chiếu. Tuy nhiên, cho đến thời điểm hiện tại việc ứng dụng công nghệ GNSS ở Việt
Nam vẫn thuần túy dựa trên máy và phần mềm của nước ngoài. Với các ứng dụng
GNSS rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, nhu cầu xây dựng phần mềm GNSS nhằm
chủ động trong ứng dụng công nghệ này tại Việt Nam là nhu cầu cần thiết. Cùng
với việc công bố kết quả xây dựng phần mềm, các tác giả đã công bố thuật toán xử
lý số liệu GNSS tuy nhiên đa số các công bố mới chỉ ở dạng rời rạc, không thành
quy trình tính cụ thể và chưa đầy đủ (thiếu các thuật toán về PPP, RTK ….).
Tháng 9 năm 2011, khi mà đa số các đơn vị sản xuất trong lĩnh vực trắc địa bản đồ tại Việt Nam đang quen với việc sử dụng phần mềm GPSurvey 2.35, TGO
thì hai phần mềm này hết thời gian sử dụng. Việc đột ngột dừng không hỗ trợ cho
các phần mềm GPSurvey 2.35, TGO đã khiến nhiều đơn vị sản xuất chậm bàn giao
thành quả do đo xong mà không xử lý được số liệu. Đây là một minh chứng rõ nét
về việc cần chủ động trong khai thác, sử dụng công nghệ tại Việt Nam. Việc mua
phần mềm của nước ngoài rất tốn kém về kinh tế (1 phiên bản phần mềm thông
dụng có giá vài nghìn đô la Mỹ, 1 phiên bản phần mềm chuyên dụng như Bernese

4. Phạm vi nghiên cứu
- Thuật toán giải các bài toán định vị vệ tinh từ dữ liệu RINEX.
- Mặc dù tên luận án có đề cập đến xử lý dữ liệu GNSS nhưng luận án này
chủ yếu tập trung nghiên cứu các thuật toán xử lý dữ liệu GPS một tần số. Bài toán
xử lý số liệu GNSS sử dụng trị đo một tần số là bài toán cơ bản, việc nắm rõ và
tường minh quy trình tính bài toán này sẽ tạo điều kiện phát triển giải các bài toán
nhiều tần số.
5. Nội dung nghiên cứu
- Các trị đo trong công nghệ GNSS và định dạng dữ liệu.
- Ảnh hưởng của các nguồn sai số đối với trị đo GNSS và biện pháp khắc phục.
- Phương pháp xác định tọa độ vệ tinh từ lịch vệ tinh quảng bá và lịch vệ tinh
chính xác.


4

- Thuật toán tìm kiếm số nguyên đa trị.
- Ứng dụng phép lọc Kalman trong xử lý số liệu định vị vệ tinh.
- Quy trình giải bài toán định vị tuyệt đối và định vị tương đối xử lý sau.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp thu thập tài liệu: Thu thập tài liệu, số liệu liên quan đến nội
dung của luận án.
- Phương pháp phân tích: Phân tích những gì các tác giả khác đã làm được,
những gì cần tiếp tục thực hiện, ưu nhược điểm của các phương pháp xử lý số liệu
định vị vệ tinh …
- Phương pháp tổng hợp: Dựa trên các tài liệu thu thập được tiến hành tổng
hợp kiến thức để tìm được các nội dung kiến thức phù hợp nhất cho luận án.
- Phương pháp mô hình hóa: Nghiên cứu xây dựng một số thuật toán trong
xử lý số liệu định vị vệ tinh.
- Phương pháp thực nghiệm: Dựa trên các thuật toán đã lựa chọn, xây dựng

sai số đối với trị đo theo tiêu chuẩn của RTCA và phép lọc Kalman trong xử lý số
liệu GNSS.
- Đề xuất ứng dụng thuật toán giải bài toán định vị tuyệt đối trong trường
hợp nhảy đồng hồ máy thu.
9. Kết cấu của luận án
Gồm 3 phần chính:
(1) Phần mở đầu: Giới thiệu về tính cấp thiết của luận án, mục đích nghiên
cứu của luận án, phương pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, những luận điểm
bảo vệ và những điểm mới của luận án.
(2) Phần nội dung gồm 4 chương:
Chương 1: Tổng quan về thuật toán và phần mềm xử lý số liệu GNSS
Chương 2: Trị đo GNSS và vấn đề hiệu chỉnh ảnh hưởng của các nguồn sai
số đối với trị đo
Chương 3: Thuật toán giải bài toán định vị tuyệt đối và định vị tương đối
Chương 4: Xây dựng chương trình xử lý số liệu GNSS và tính toán thực nghiệm
(3) Phần kết luận và kiến nghị.


6

10. Cơ sở tài liệu
- Số liệu sử dụng trong tính toán thực nghiệm là các số liệu đo tại Việt Nam
và trên thế giới đã được chuyển đổi về định dạng RINEX, các dữ liệu phụ trợ được
lấy về từ internet.
- Nghiên cứu sinh đã tham khảo tài liệu từ các đề tài mà mình trực tiếp tham
gia và các báo cáo tổng kết đề tài, nhiều bài báo, công trình trong và ngoài nước liên
quan đến nghiên cứu thuật toán và xây dựng chương trình xử lý số liệu GNSS.
11. Lời cảm ơn
Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Đặng Nam Chinh,
các thầy cô giáo trong Bộ môn Trắc địa cao cấp, Khoa Trắc địa - Bản đồ và Quản lý

Để có thể giải các bài toán định vị, các tác giả giới thiệu từ hệ thống các
công thức tính tọa độ vệ tinh theo thời gian; các loại trị đo, ảnh hưởng của các
nguồn sai số đối với trị đo cũng như biện pháp khắc phục; giới thiệu các bài toán
định vị và phương pháp giải các bài toán định vị. Phương pháp giải các bài toán
định vị cơ bản được giới thiệu đó là bài toán định vị tuyệt đối và bài toán định vị
tương đối. Theo mức độ chính xác, bài toán định vị tuyệt đối được chia thành hai
bài toán là bài toán định vị tuyệt đối thông thường và bài toán định vị tuyệt đối
chính xác. Bài toán định vị tuyệt đối thông thường hay còn gọi là bài toán dẫn
đường sử dụng các yếu tố đầu vào là lịch vệ tinh quảng bá và trị đo khoảng cách giả
theo mã. Khác với bài toán SPP, bài toán PPP sử dụng lịch vệ tinh chính xác, sử


8

dụng đồng thời trị đo khoảng cách giả theo mã và trị đo pha sóng tải, các sản phẩm
cung cấp bởi IGS và một số tổ chức khoa học khác, có tính đến số hiệu chỉnh do
ảnh hưởng của thủy triều, địa triều và sự di chuyển của cực Trái Đất như đã trình
bày bởi Martin.I [66], Ramalho Marreire.J.P [67] … Phép lọc Kalman được sử dụng
trong giải bài toán định vị tuyệt đối, tùy thuộc vào phương pháp định vị tĩnh hay
động mà các yếu tố như ma trận trạng thái, ma trận trọng số tiên nghiệm trong chu
trình Kalman sẽ khác nhau.
Định vị tương đối được chia thành định vị tương đối tĩnh và định vị tương
đối động. Do đặc điểm của bài toán tương đối tĩnh là có nhiều trị đo, xử lý sau cho
nên phương pháp số bình phương nhỏ nhất thường được dùng để giải bài toán này.
Trong giải bài toán định vị tương đối tĩnh, một vấn đề rất quan trọng phải được thực
hiện đó là ước lượng phương sai cho các trị đo. Tùy thuộc vào phần mềm xử lý số
liệu mà trị đo được sử dụng có thể chỉ là các trị đo pha sóng tải [89] hoặc sử dụng
đồng thời trị đo pha sóng tải và trị đo khoảng cách giả theo mã [93], [94]. Bài toán
định vị tương đối động, do đặc thù có ít trị đo (chỉ có 1 tập hợp không nhiều trị đo
nếu là phương pháp RTK), để giải được bài toán này cần phải sử dụng cả trị đo

Phương pháp giải số nguyên đa trị theo CIR
dòng

Tác giả, năm công bố
Hatch (1990)
Frei và Beutler (1990)
Euler và Landau (1992)
Teunissen (1993)
Martin-Neira và những
người
khác
(1995);
Fernandez-Plazaola
và
những người khác (2004)
Chen
và
Lachapelle
(1995)
Harris (1997)
Vollath và những người
khác (1998)
Kim và Langley (1999)
Jung và những người khác
(2000)

Vì tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có trước đó nên nội dung trình bày
trong các cuốn sách thường là muộn hơn so với thời điểm công bố các thuật toán cụ
thể (đơn lẻ). Thông thường, khi có các thuật toán mới được đề xuất, vấn đề đó sẽ
được công bố trên các tạp chí hoặc các hội nghị khoa học lớn về chuyên ngành.


11

Hình 1.2 Giao diện chính của phần mềm Trimble Total Control

Hình 1.3 Giao diện chính của chương trình Hi-Target Geomatics Office
Khi xử lý số liệu GNSS bằng nhóm phần mềm này đều có một quy trình
chung như sau:
- Tạo dự án (project) mới.
- Khai báo hệ tọa độ và chọn phép chiếu.
- Lựa chọn mô hình geoid.
- Nhập số liệu.


12

- Xử lý cạnh.
- Bình sai lưới.
- Xuất báo cáo kết quả.
Đa phần các phần mềm thuộc nhóm này cho phép bình sai độc lập hoặc bình
sai hỗn hợp số liệu đo mặt đất với số liệu đo GNSS. Một số phần mềm (ví dụ như
phần mềm TBC) cung cấp thêm chức năng xử lý dữ liệu đo bằng thiết bị bay không
người lái, kết nối với các phần mềm GIS [89] …
b. Nhóm các phần mềm xử lý số liệu độ chính xác cao (chuyên dụng)
Bên cạnh nhóm phần mềm thông dụng do các hãng chế tạo máy thu xây dựng
còn có các phần mềm do các trường đại học hoặc các trung tâm nghiên cứu khoa học
xây dựng nên. Các phần mềm điển hình thuộc nhóm này có thể kể đến như:
- Bernese: Được phát triển bởi Viện Thiên văn thuộc Đại học Bern (Thụy Sỹ) [93].
- Gamit/Globk: Được xây dựng bởi Khoa Khí quyển Trái Đất và Khoa học
hành tinh, Viện công nghệ Massachusetts (MIT- Massachusetts Institute of

các thông tin khác ngoài các thông tin nêu trên.
b.1. Phần mềm Bernese
Bernese là phần mềm do Viện Thiên văn - Đại học Bern (Thụy Sỹ) phát
triển. Đây là phần mềm xử lý dữ liệu đo GNSS khá đồ sộ và phức tạp cho phép đạt
độ chính xác rất cao. Có thể xử lý tích hợp dữ liệu GPS/GLONASS bằng phần mềm
Bernese. Các nhà phát triển đã xây dựng nhiều phiên bản khác nhau để có thể chạy
phần mềm trên nhiều hệ điều hành như Unix/Linux hoặc window. Cho đến nay, có
nhiều phiên bản khác nhau của phần mềm Bernese đã được phát hành.
Phiên bản 3.0 được công bố vào tháng 3 năm 1988 trên cơ sở hoàn thiện các
phiên bản trước đó. Từ năm 1988 đến năm 1995, đã có 5 phiên bản tiếp theo được
phát triển cụ thể như sau:
- Phiên bản 3.1 ra đời vào tháng 12 năm 1988.
- Phiên bản 3.2 ra đời vào tháng 4 năm 1990.
- Phiên bản 3.3 được công bố vào tháng 5 năm 1991.
- Phiên bản 3.4 được công bố vào tháng 5 năm 1993.
- Phiên bản 3.5 được công bố vào tháng 2 năm 1995.
Phiên bản 4.0 được công bố vào tháng 9 năm 1996, trong phiên bản này
được bổ sung chương trình ADDNEQ cho phép kết hợp các hệ phương trình chuẩn.