ôn thi đại học cấp tốc
Chuyên đề số 1: Khảo sát
hàm số và ứng dụng
Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu
hỏi phụ
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp khảo sát hàm số
Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu
nội dung 3 bài toán tiếp tuyến
Bài toán sự tơng giao giữa các đồ thị của
hàm số, điều kiện để 2 đờng cong tiếp xúc
Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm đa
thức, hàm phân thức phơng trình đờng thẳng
đi qua các điểm cực trị
Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến
hay nghịch biến trên một khoảng hay một
đoạn
Các ví dụ
Bài 1: Cho hàm số
)1(
3
65
22
+
+++
=
x
mxx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số với m = 0

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B
. CMR khi đó đờng thẳng AB song song
với đờng thẳng 2x-y-10=0
Bài 4: Cho hàm số
)1(3)(
3
xmxy
=
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
điểm có hoành độ x=0
3) Tìm k để hệ sau có nghiêm





+
<
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2


++
=
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số m=1
2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về
2 phía của trục tung
Bài 7: Cho hàm số
)1(
1
)2(
2
+
++
=
x
mxmx
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số m=-1
2) Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị
hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đ-
ờng thẳng y=x
Bài 8: Cho hàm số
)1(
1
1

+
=

)1(12
224
+=
xmxy
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông
cân
Bài 11 Cho hàm số
)1(
1
2
+
+
=
x
x
y
Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ đợc 2
tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tơng ứng
nằm về 2 phía đối với trục Ox
HD a# -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt
Y
1
.y
2
<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1
Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm
số

x
y
2
ln
=
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [-1;1]
326
)1(4 xxy
+=
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
++>+
xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx
+
Từ miền xác
đinh của x suy ra







4
27

mm
xxxx
HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
trên [-/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx
+=+
Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm
xxy 2cossin2
48
+=
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm
2 2 (4 4 ) voi 0 x 1
x x x x
y

= + +
HD : 3 và 1/27
Bài 3: Tính giới hạn của hàm số,
tính đạo hàm bằng định nghĩa
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp tính giới hạn của hà số: các
dạng vô định
Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên
tục bên trái liên tục bên phải
Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm
bên trái bên phải
Các ví dụ

xx
I
x
cos1
1213
lim
2
3
2
0

++
=

Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ Trung
Thành
2
ôn thi đại học cấp tốc
4) Tìm giới hạn
3
2
0
3 2
0
3
4
7
1 2 1 3
lim
1 2 1

2
3 3
2
2
2
3 3 2
9 2 6 5 3
lim
2
16 3 8 7
2 3
lim 1
1
2 3
lim
4 1 2
4 3 7
lim
27 5 4
x
x
x
x
x x
I DS
x x
x x
I DS
x x
x x x

(
)
2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2
2
lim 5 6
lim 3 2 tach lam 2 chen them x
lim 1
lim 4 7 1 4 8 1
lim . 1
x
x
x
x
x
I x x x
I x x x x
I x x x
I x x x x
I x x x




+
= +
= +
= + +

cosx
I
tg x
x
I
x x
tgx x
I
x
x x x
I
x
x
I
co x







+
=

=

=

=

1 1
lim
2 1
lim
1
x
x
x
I
x
x x x
I
x


+
=
+ +
=

Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa
1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2
1 2 3
khi x 2
( )
2
1 khi 2
x
f x
x




3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
2
khi x=0
( )
cos cos 2
khi 0
x
a
f x
x x
x


=




4) Cho
2
4
1( 2)
( )
( 2)
x
e x
f x

Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
6) Cho
2
( ). khi x<0
( )
ax +bx+1 khi 0
bx
x a e
f x
x


+

=




Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2
8) Cho hàm số
2
2 3
( )
3 1
x x
f x
x
+

)1(
1
2

++
=
x
mxmx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị
của hàm số m =-1
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ Trung
Thành
3
ôn thi đại học cấp tốc
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục
hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
dơng
2) Cho hàm số
)1(
2
2
2

+
=
x
mxx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Xác định m để đờng thẳng y=m cắt đồ
thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao cho
AB=1
5) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
224
22
1112
)211(
xxx
xxm
++=
=++
6) CMR phơng trình sau có 1 nghiệm
)1(012
25
=
xxx
7) Cho hàm số
)1(
1
1)1(
2
+
++++
=
x
mxmx


+
=
x
xx
y
a. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b. Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C )
và đối xứng nhau qua đờng thẳng x-y-
4=0
10) Cho hàm số
)1(23
22
+=
xxy
Tìm trên đờng thẳng y= - 2 các điểm từ đó
nhìn đờng cong dới một góc vuông
ĐS M(55/27;-2)
11) Cho hàm số
)1(
1
1
2
+

=
x
xx
y

4
, là nghiệm
S
trên
= S
duói
<=>
3
4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx=

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly
viét m=20/9
13) Cho hàm số
)1(
2
92
2

+
=
x
xx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

2 1
(1)
1
x x
y
x
+ +
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc
(C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ
thuộc vào vị trí của M
17)Cho hàm số
2
(5 2) 2 1
(1)
1
x m x m
y
x
+ +
=

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số m=1
b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng
cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn
2 5

b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm
phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =

)1(

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6)





=+
=+
22
22
xy
yx

7)





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm

nghiệm
Bài 3:





=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2006 Vũ Trung
Thành
5
ôn thi đại học cấp tốc





=+
=

yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf
=
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:





=+
=+
22

)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rut ra
y
yy
y
x
+=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+=
y
y
x

20
2

x
theo (1)
20
2

21
Tìm a để hệ có
nghiệm
HD: từ (1) đặt
2,1
+=+=
yvxu
đợc hệ
dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc
hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)




++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)





+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có
nghiệm
6)








=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến theo
v,u từ phơng trình số (1)
9)





=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc
hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)


+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần
và đủ
12)





=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế
13)



BA
BABA
<<<



<
>
>
<<
22
3) Phơng trình ,bất phơng trình chứa căn thức
Liệt kê các dạng
Một số ví dụ
Bài 1: Tìm m để
mxxxx
++++
)64)(3)(1(
2
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm
đúng với mọi x
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2
Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm







xxx 2114
=+
: x=0
3)
510932)2(2
22
==+
xxxxx
4)
211
22
=++
xxxx
tích 2 nhân tử
bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22

xxxx
KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm





+
++
012

HD Đặt
2,
2
1
+=
t
x
xt
AD BĐT cô si suy
ra ĐK
Bài 7: Giải bất phơng trình
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD
Xét 2 trờng hợp chú y DK x>=-1
Trong trờng hợp x>=4 tiến hành nhân và
chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Bài 8: Cho phơng trình
mxxxx
++=+
99
2
Tìm m để phơng trình có nghiệm

22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy
nhất. Tìmnghiệm duy nhất đ
ĐS a=-1 và a=3
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
mxx
+
41624

3)
16212244
2
+=++
xxxx
4)
12312
+++
xxx
5)
1212)1(2
22
=+
xxxxx

HD đặt
12
2
+=

xx
10)
023243
2
=+++
xxx
11) Tìm a để với mọi x
32)2()(
2
+=
axxxf
ĐS a>=4 V a<=0
Chuyên đề số 3: L ợng giác
Bài 1: Phơng trình và hệ phơng trình l-
ợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi lợng giác
Một số dạng phơng trình cơ bản
Phơng trình bậc 2,bậc 3 theo một hàm số l-
ơng giác
Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với
sinx,cosx: asinx+bcosx=c
Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx,cosx:
a.sin
2
x+ b.sinx.cosx+c.cos
2
x+d=0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx,cosx:
a.sin

x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot
+=
HD: đặt ĐK x= pi/3 +k.pi
Bài 2:
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++