45 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG – ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của điểm A' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa
hai đường thẳng AA' và BC bằng
a3 3
.
A. V 
6

a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
4

a3 3
.
B. V 
12

a3 3
.
C. V 
3

a3 3
.
D. V 
24


B.

3a 3
.
6

C.

2 3a 3
3

D.

3a 3
4

Câu 4. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3cm với AB là
đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao
cho 
ABM  600. Thể tích của khối tứ diện ACDM là:
A. V  3  cm3 

B. V  4  cm3 

C. V  6  cm3 

D. V  7  cm3 

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại
B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 600. Tính


B. 2 2

C. 14

D. 3 2

Câu 7. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích là V. Gọi I,J lần lượt là trung điểm
hai cạnh AA' và BB'. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC' bằng.
4
3
5
2
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
5
4
6
3
  CSA
  600 , SA  a, SB  2a, SC  4a. Tính
Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có 
ASB  BSC
thể tích khối chóp S.ABC theo a.
1


8a 3 2

với đáy góc 300 và tam giác A’BC có diện tích ằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã
cho.

A.

A. V  64 3

B. V  2 3

C. V  8 3

D. V  16 3

Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện
V
ACB'D’ và khối hộp ABCD.AB'CD'. Tỉ số 1 bằng
V2
1
1
1
1
B.
C.
D.
2
3
4
6
Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai

B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
SM
đáy (ABCD) và SA  a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
 k , 0  k  1. Khi đó giá trị của
SA
k để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích ằng nhau là:

A.

1  5
1 5
1  5
1  2
B. k 
C. k 
D. k 
4
4
2
2
Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’,
CC’. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, V1 là thể tích của phần đa diện
V

D.
2
4
4
3
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S
  1200 ,
lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho 
AHB  1500 , BHC

A.

  900. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là
CHA
124
 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
3
9
4
A.
B.
C. 4a 3
D. 4
2
3
Câu 18. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB  a,
AC  a 5. Mặt ên BCC’B’ là hình vuông. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
A. V  2a 3
B. V  3 2a 3
C. V  4a 3

C.
D.
4
6
24
8
Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Mặt
V
phẳng  AEF  chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ. Tỉ số 1 là
V2

A.

A. 1.

B.

1
3

C.

1
4

r

1
2


8
16
8
6
Câu 24. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Tính tỉ số giữa khối đa diện A’B’C’BC và
khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
2
1
5
1
A.
B.
C.
D.
3
2
6
3
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ình hành và có thể tích V. Gọi E là
điểm trên cạnh SC sao cho EC  2 ES . Gọi   là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song

A.

song với đường thẳng BD,   cắt hai cạnh , SB SD lần lượt tại hai điểm M, N. Tính theo V
thể tích khối chóp S.AMEN.
V
V
V
V
A.


Câu 27. Cho lăng trụ ABC.AB'C' có AA  a, góc giữa cạnh ên và mặt phẳng đáy bằng 600.
  600. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng
Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC

 ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.

9a 3
3a 3
27 a 3
9a 3
B.
C.
D.
208
208
208
104
Câu 28. Cho hình chóp S . ABC , G là trọng tâm tam giác ABC.A'B'C' lần lượt là ảnh của
V
1
A, B, C qua phép vị tự tâm G tỉ số k   . Tính S . ABC 
VS . ABC
2

A.

1
1
1

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm
các hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh B’C’
và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO’MN.

A. 3 2a 3

A.

a3
24

B. 2a 3

B.

a3
8

C. a 3

D.

C. a 3

D.

a3
12

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600 , gọi I

B.

3a 3
4

21
. Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
7

C.

9a 3
4

D.

3a 3
4

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  và SA  2a.
Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính
thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
A.

8a 3
45

B.

12a 3

4
4
4
Câu 36. Cho một khối tứ diện có thể tích V . Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là
V
trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
V
2
1
5
1
A.
B.
C.
D.
3
4
8
2
5


Câu 37. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và AB  BC . Tính thể
tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3 6
a3 6
7a3
B. a 3 6
C.
D.

6
12
3
6

A.

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , ABCD là hình chữ nhật. SA  AD  2a.
Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 600. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Thể tích
khối chóp S.AGD là
32a 3 3
27

8a 3 3
27

4a 3 3
9

16a 3
9 3
Câu 41. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác
ABC, ACD, ABD và BCD. Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng
4V
V
V
4V
A.
B.
C.

4

3a 2
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , AC  a 2, S ABCD 
và góc giữa
2
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SC. Tính theo a thể tích khối chóp H.ABCD.
a3 6
a3 6
a3 6
3a 3 6
B.
C.
D.
4
2
8
4
Câu 44. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình ình hành. Hai điểm M, N lần lượt
AB
AD
thuộc các đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho
2
 4. Kí
AM
AN
hiệu V , V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp SABCD và SMBCDN. Tìm giá trị lớn nhất

A.

5
5
4

A.

7


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1–B

2–C

3–B

4–A

5–B

6–D

7–D

8–B

9–A

10 – C


26 – A

27 – A

28 – A

29 – C

30 – A

31 – A

32 – B

33 – C

34 – C

35 – C

36 – D

37 – C

38 – A

39 – D

40 – B



, MH  d  BC ; AA  
3
3 2
3
4
2

2

a 3 a 3
3a
AG.MH a
AH  AM  MH  
 AG 

  
 
4
AH
3
 2   4 
2

2

a a 2 3 a3 3


Thể tích lăng trụ V  A GS .S ABC  .

9 3 9 3
AB.BC .sin 
ABC   .3.3.sin 600  .

2
2
2 2
4

Thay (1) vào ta được thể tích V  3.

9 3 27

4
4

Câu 3. Chọn B.
Phương pháp:
Chứng minh SA là đường cao của S.BCD. Tìm diện tích S BCD . Sau đó áp dụng công thức thể
tích để tính thể tích VS .BCD
Cách giải:

Theo giả thiết SA vuông góc với  ABCD  nên SA vuông góc với  BCD  . Do đó SA là
đường cao của S.BCD.
9


1
a 3
S BCD 1

6

Câu 4. Chọn A.
Phương pháp:
Xác định đường cao hạ từ M của tứ diện ACDM. Tính độ dài đường cao này. Tính diện tích
đáy S ACD . Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện để tìm thể tích của ACDM.
Cách giải:

Hạ đường cao MH xuống AB.
1
Khi đó VACDM  MH .S ACD 1 .ACD vuông tại D
3
1
1
Lại có: AD  DC  2 3  cm   S ACD  AD.DC  .2 3.2 3  6  cm 2   2 
2
2
0
Do 
ABM  60 và ABM vuông tại M (AB là đường kính của đáy) nên ta có:
AM  AB.sin 
ABM  2 3.sin 600  3  cm 

Áp dụng định lý Pytago cho AMB ta có: MB  AB 2  AM 2 

2 3

2

 32  3  cm 

Câu 5. Chọn B.

10


Phương pháp: Lấy K là trung điểm của AB. Lấy H là trung điểm của SA. Chứng minh góc
giữa  ABC  và  SAB  bằng .HKC
Từ H kẻ HO  CK . Kéo dài AO và hạ SO  AO. Tính độ dài SO'. Tính thể tích bằng công
1
thức VS . ABC  SO.S SBC
3
Cách giải:

Lấy K là trung điểm của AB.
Do ABC đều nên CK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao CK  AB.
Lấy H là trung điểm của SA.
Khi đó KH là đường trung bình của SAB. Kéo theo HK//SB.
Mặt khác SB  BA  HK  BA
CK  AB  CK   ABC  

Ta có: 
nên góc giữa  ABC  và  SAB  bằng HKC
HK

AB
HK

SAB
 


Phương pháp:
Phương pháp.Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Hạ đường cao CK xuống HD.Vậy CK là
đường cao của tứ diện. Áp dụng định lý Py-ta-go để tính CK. Sử dụng công thức tính thể tích
để tính thể tích tứ diện. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của tứ diện.
11


Cách giải:

Gọi H là trung điểm của cạnh AB, do ABC cân tại C nên CH là đường cao. Tam giác ABD
có AB  DB  2 3 nên là tam giác cân tại D. Do đó HD là đường cao.

CH  AB
Khi đó ta có: 
 AB   CHD 
 HD  AB
Hạ đường cao CK xuống HD khi đó CK  AB. Do đó CK   ABD 
Vậy CK là đường cao của tứ diện.
x
Ta có: HB  . Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác HBC ta có:
2

2 3

HC  BC  HB 
2

2

2



2

 y2

2
2
2
 12
 12  48  x   12  12  36  x 
Vì vậy CK  CD  y  12  



2
48  x 2
48  x 2
 48  x 
2

 CK 

2

2

12  36  x 2 
48  x 2


Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho x; 36  x 2 ta có:
2
2
3
3 x   36  x 
2
V
x 36  x 
3 3
6
6
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  36  x 2  x  18  3 2
Câu 7. Chọn D.
Phương pháp: Chứng minh VABCIJ  VABC IJ  2VAIJC  , VJICC   2VJAIC
Từ đó suy ra VABCIJC 
Cách giải:

Vì I,J là trung điểm của AA',BB' nên VABCIJ  VABC IJ  2VAIJC 
Vì S ICC   2 S AIC  VJICC   2VJAIC
1
2
Mà VABC . ABC   VABCIJ  VABC IJ  VJICC   VABCIJ  V  VABCIJC   V
3
3
Câu 8. Chọn B.
Phương pháp: Tính VS . ABC 

Sử dụng công thức


.
 .
  VS . ABC  8VS . ABC   8.

VS . ABC
SB SC 2a 4a 8
12
3

Câu 9. Chọn A.
Phương pháp: Sử dụng thể tích phần bù: Chia thể tích chóp S.ABCD thành nhiều phần và
tính thể tích các phần còn lại, sau đó lấy thể tích chóp trừ đi.
Cách giải:

1
1
Ta có: VMABC  VSABC  VS . ABCD
2
4
1
1
V NACD  VSACD  VS . ABCD
3
6
VSMAN VSMCN SM SN 1 2 1


.
 . 

Gọi M là trung điểm của BC. Đáy ABC là tam giác đều  AM  BC 1 .
ABC. ABC  là lăng trụ đứng nên AA  BC  BC   AAM   AM  BC  2   góc giữa

(ABC) và (A’BC) là góc giữa A’M và AM.
Hay 
AMA  300
Gọi độ dài cạnh đáy là a. Khi đó AM 

a 3
2

a 3
AM
Xét tam giác A’AM vuông tại A ta có: AM 
 2 a
0
cos 30
3
2
1
1
Khi đó: S ABC  AM .BC  8  a.a  8  a 2  16  a  4
2
2
 S ABC

a 2 3 42 3


4 3

6
1
 VA. ABD  VD. ACD  VC .BC D  VB. ABC  VABCD. ABC D
6
1
1
 VACBD  VABCD. ABC D  4. VABCD. ABC D  VABCD. ABC D
6
3
VACBD
1


VABCD. ABC D 3

Câu 12. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng đinh nghĩa: Khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng.
- Thể tích khối lăng trụ V = Sh.
Cách giải:

Gọi D là trung điểm của BC, H là chân dường cao kẻ từ A’ đến (ABC), và kẻ K là chân
đường cao kẻ từ H đến AA'.
Gọi M là hình chiếu của D lên AA’ thì DM  AA
Mà CB   AHA   BC  DM  d  AA, BC   DM
Lại có: KH / / DM 

HK AH 2


AH

1
1
12 3 3
a


 2   AH 
2
2
2
HK
AH
a a
a
3

a 2 3 a a3 3
. 
4 3
12

Câu 13. Chọn C.
1
Phương pháp: Thể tích khối chóp V  Sh
3
Cách giải:

Gọi H là chân đường cao kẻ từ S đến (ABCD)

Giả sử (MBC) cắt SD tại N. Khi đó MN // BC // AD, suy ra
Ta có:

VS .MBC SM
V
SM SN

 k , S .MNC 
.
 k2
VS . ABC
SA
VS . ADC
SA SD

Do đó:

VS .MBC k VS .MNC
k2
 ;

VS . ABCD 2 V S . ABCD 2

Bài toán thỏa mãn khi

SM SN

 k  k  0
SA SD


 3
V V
Vậy 1  AMN . ABC 
V2 VA.MNC B

1
VABC . ABC   VABC . ABC 
3
2
1
VABC . ABC 
3

Câu 16. Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng để tính AA’
Chứng minh khoảng cách từ M đến (BCC’B’) bằng khoảng cách từ A đến (BCC’B’)
Cách giải:

18


Gọi I là trung điểm BC  AI  BC  BC   AIA 
Góc giữa (A’BC) và (ABC) là góc 
AIA  300
AI 

AB 3 3a
a 3
 , AA  AI .tan 300 

2sin AHB
19


BC
2 3
CA

, R3 
1
2sin BHC
3
2sin CHA
Gọi r1 , r2 , r3 lần lượt là án kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SAHB, SBHC, SCHA

Tương tự: R2 

2

 SH 
Ta chứng minh được r  R  
 và 2 đẳng thức tương tự
 2 
2
1

2
1

3SH 2

Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ V= Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao.
Cách giải:

Trong tam giác vuông ABC có: BC  AC 2  AB 2  2a
1
1
AB.BC  a.2a  a 2
2
2
Đường cao lăng trụ đứng BB  BC  2a (tính chất hình vuông)

Khi đó: S ABC 

Vậy thể tích lăng trụ là : V  S ABC .BB  2a 3 (đơn vị thể tích)
Câu 19. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng cách xác định hình chiếu của A lên
mp (SBC).
1
- Thể tích khối chóp được tính theo công thức V  Sh
3
Cách giải:
20


Kẻ đường cao AH của SAB, ta chứng minh được AH   SBC   d  A;  SBC    AH

 AH 



 SAB    ABC 

 SA   ABC   SA   ABC 
Vì  SAC    ABC 

 SAB    SAC   SA
 AB là hình chiếu của SB lên  ABC   SBA  600
21


SA  AB.tan 600  a 3
1
1 1
1
VSABC  S ABC .SA  . AB.BC.SA  a 3 3
3
3 2
6
VSAMN SM SN 1
1
1 3

.
  VSAMN  VSABC 
a 3
VSABC
SB SC 4
4
24

2
2 3
3
2
 VAEF . ABC   VABC . ABC   VA.BCFE  VABC . ABC 
3
V
V
1
 1  A.BCFE 
V2 VABC . ABC  2

Câu 22. Chọn D.
Phương pháp:
- Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ằng cách tìm hình chiếu của SC trên
mặt đáy, góc của SC với đáy là góc giữa SC và hình chiếu vừa tìm được của nó trên đáy.
1
- Tính thể tích khối chóp theo công thức V  Sh với S là diện tích đáy và h là chiều cao.
3
Cách giải:

22


Dễ thấy:  SC ,  ABC    SCA  450



Lại có SCA vuông tại A  AC  SA  a 2  a 2



.
.

VS . ABC
SA SB SC 8

VS .MPQ
VS . ACD



SM SP SQ 1
.
.

SA SC SD 8
23


Theo dãy tỉ số bằng nhau:

VS .MNP VS .MPQ VS .MNP  VS .MPQ VS .MNPQ 1




VS . ABC VS . ACD VS . ABC  VS . ACD VS . ABCD 8

Câu 24. Chọn A.



 (định lí Thalet)
Vì MN / / BD 
SB SD SO 2
V
SM SE 1 1 1
V
.
 .   VS . AME 
Do đó S . AME 
VS . ABC
SB SC 2 3 6
12
Tương tự: VS . ANE 

V
V V V
. Vậy VS . AMNE  VS . AME  VS . ANE   
12
12 12 6

Câu 26. Chọn A.
Phương pháp:
Xác định thiết diện của mp(α).

24


Dựa vào định lí Simson tính tỉ lệ thể tích các khối chóp tam giác

Do đó mp   chính là mp(AEMF)
SE SA2
SA2
4a 2
4
 2  2
 2

Xét tam giác vuông SAB:
2
2
SB SB
SA  AB
4a  a
5
SF SA2
SA2
4a 2
4

 2
 2

Xét tam giác vuông SAD:
2
2
2
SD SD
SA  AD
4a  3a


Gọi thể tích khối đa diện không chứa S là V thì V 

23
VS . ABCD
35
25