50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU – ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường
thẳng AB?
A. M(-1;0).

B. N(-1;10).

C. P(1;0).

D. Q(0;-1)

Câu 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm.
B. Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.
C. Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số y  f  x  đã cho.
D. Nếu f '  x  đổi dấu khi x qua điểm x0 và f  x  liên tục tại x0 thì hàm số y  f  x  đạt cực trị tại
điểm x0.
1
Câu 3: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3 x 2  5 x  1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
3

A. (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
B. (C) có hai điểm cực trị thuộc hai phía của trục tung.
C. (C) tiếp xúc với trục Ox.
D. (C) đi qua điểm A(1;0).
Câu 4: Trong bốn khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định luôn đúng với mọi hàm số f(x)?
(I): f(x) đạt cực trị tại x0 thì f '  x0   0.
(II): f(x) có cực đại, cực tiểu thì giá trị cực đại luôn lớn hơn giá trị cực tiểu.
(III): f(x) có cực đại thì có cực tiểu.

B. x    k 2 , k  .
3

D. x 


 k , k  .
3

1


Câu 7: Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3 x 2  mx  1 có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho
x12  x22  x1 x2  13, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m0   15; 7 

B. m0   7; 1

C. m0   7;10 

D. m0   1;7 

Câu 8: Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

y  x 3  3mx 2  3 x.
B. y  2  m  1 x  m

A. y  mx  3m  1


D. m < 0.

Câu 11: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 là:
A. y  2 x  1

B. y  2 x  1

C. y  2 x  1



D. y  2 x  1



Câu 12: Đồ thị hàm số y  x 3   3, 1 x 2  m 2  3m  2 x  3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai
phía của trục tung khi:
A. 1 < m < 2.

B. -2 < m < -1.

C. 2 < m < 3

D. -3 < m < -2

Câu 13: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?
A. y  x 4  2 x 2

B. y  x 4  2 x 2  1


B. m = 0

C. m > 0

D. m  0
2


Câu 17: Hàm số y 

1 4
x  2 x 2  1 có:
4

A. Một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
B. Một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
C. Một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
D. Một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
Câu 18: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  3 x  1 là:
A. (-1;-1).

B. (1;-1).

C. (-1;1).

D. (1;3)

Câu 19: Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y  x 3  3 x 2  1 bằng:
A. -3.


A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Câu 23: Gọi x1, x2  x1  x2  là hai điểm cực tiểu của hàm số y  x 4  2 x 2  3. Tính P  3 x2  2 x1.
A. P = -1.

B. P = 0

C. P = 1

D. P = 2

Câu 24: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  mx 4  m3 x 2  2016 có ba điểm cực trị
A. m > 0

B. m  0

C. m  R \ 1

D. Không tồn tại m.
3






C. x  -3.

D. x  1.

Câu 28: Cho hàm số f  x   x 4  2 x 2  3. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số.
A. S = 2.

1
B. S  .
2

C. S = 4.

D. S = 1.

Câu 29: Tính giá trị cực tiểu của hàm số y  x 3  3 x 2  1?
A. yCT  0.

B. yCT  1.

C. yCT  -3.

D. yCT  2.

x 2  ax  b
. Đặt A  a  b, B  a  2 b. Để đồ thị hàm số có điểm cực đại C(0;-1)
x 1
thì tổng giá trị của A + 2B là:

C. Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.

D. f đạt cực tiểu tại x  2.

 x 2  2 x khi x  0

Câu 33: Hàm số y  2 x
khi -1  x
A.

6
e

B.

6

C. -3e

e3

D. -2e

Câu 39: Biết điểm M(0;4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số f  x   x 3  ax 2  bx  a2 . Tính f  3 .
A. f  3  14

B. f  3  49

Câu 40: Số điểm cực trị của hàm số y   x  1
A. 0.

B. 2017.

C. f  3  34
2017

D. f  3  13


D. S = 2.

Câu 43: Hàm số y  x 4  2 x 2  1 có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Câu 44: Cho hàm số y   x 4  2 x 2  1. Điểm cực tiểu của hàm số là
A. x  1.

B. (0;-1).

C. x  -1

D. x  0

Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1 3  x  . Điểm cực đại của hàm số y  f  x  là
A. x  1

B. x  2

C. x  3

D. x  0

Câu 46: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3

C.

10 3
.
3

D.

10 6
.
9

Câu 49: Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2 2 đến trục tung bằng
A. 4.

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 50: Điểm thuộc đường thẳng d : x  y  1  0 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y  x 3  3 x 2  1 là
A. (2;1)

B. (0;-1).


12-B

13-B

14-A

15-C

16-C

17-A

18-B

19-A

20-A

21-B

22-B

23-C

24-B

25-C

26-A


42-C

43-B

44-D

45-C

46-B

47-A

48-D

49-B

50-C

Câu 1: Chọn A.
Phương pháp:
Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số rồi viết phương trình đường thẳng AB. Lần lượt thay tọa độ
các điểm đã cho vào phương trình đường thẳng AB.
Cách giải:
y '  3 x 2  6 x  9  0  x 2  2 x  3  0   x  3 x  1  0  x  3 hoặc x = -1

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A(3;26) và B(1;6)
Phương trình đường thẳng AB là: 8 x  y  2  0
Kiểm tra: Ta thấy M 1;10   AB
Câu 2: Chọn D.
Cách giải:

3

x  5
Ta có: y '  x 2  6 x  5  0  
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên hai cực trị cùng nằm và bên
x  1
phải trục tung. Do đó B sai.
Câu 4: Chọn D.
Phương pháp:

x0 được gọi là điểm cực trị của hàm số y  f  x  nếu qua x0 thì f '  x  đổi dấu.
Cách giải
(I) sai vì f '  x0   0 chỉ là điều kiện cần mà chưa là điều kiện đủ.
(II) sai vì hàm phân thức y 

ax 2  bx  c
có cực đại, cực tiểu nhưng giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu.
cx  d

(III) sai vì có những hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu. Ví dụ y   x 2  2 x đạt cực đại tại x  1
mà không có cực tiểu.
(IV) đúng.
Câu 5: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện cần và đủ cho cực đại, cực tiểu của hàm số để làm. Cụ thể điểm x0 là cực đại của hàm
số
( tương ứng cực tiểu) khi và chỉ khi y '  x0   0, y ''  x0   0 (tương ứng y ''  x0   0).
Áp dụng vào bài toán này. Ta tính y', giải phương trình y '  x   0 để tìm x0. Sau đó kiểm tra điều kiện

y ''  x0   0) hay y ''  x0   0 và kết luận.

3

Ta tính được y ''  4 sin 2 x.
Do đó:Với x0 

 


2

 k  thì y ''  x0   4 sin 2   k     4 sin
 0 vì vậy x0   k   k  Z  là điểm
3
3
3

 3

cực đại của hàm đã cho.

  


2 

Với x0    k  thì y ''  x0   4 sin 2    k     4 sin
 0 vì vậy x0    k   k  Z  là điểm
3
3
3

3
2
 y0  x0  3mx0  3 x0

- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua  x0 ; y 0 
Cách giải:
Có: y  x   x 3  3mx 2  3 x  y '  x   3 x 2  6 mx  3
 y '  x0   0
Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên  x0 ; y0   d thỏa mãn: 
3
2
 y0  x0  3mx0  3 x0

3 x 2  6 mx  3  0
0
 0

2
2
 y0  x0 x0  2 mx0  3 x0  mx0





 x 2  2 mx  1
 x 2  2 mx  1
0
0
 0

m

6  4 m  0
 y '' 1  0

2
Câu 10: Chọn B.
Phương pháp:
Điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt.
Cách giải:
10


TH1: m  0  y  x  1. Hàm số không có cực trị.
TH2: TXĐ: D = R
Ta có: y 

mx 3
 mx 2  x  1  y '  mx 2  2 mx  1.
3

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y '  0 phải có 2 nghiệm phân biệt.

m  0
  '  m2  m  0  
.
m  1
Câu 11: Chọn A.
Phương pháp:
Giải phương trình y '  0 tìm các điểm cực trị.

Để cực tiểu và cực đại của y nằm về hai phía của trục tung thì x1 x2  0, với x1, x2 là hai nghiệm của
phương trình y '  0.


 m  1 m  2   0  2  m  1.
m 2  3m  2
0
3
3

Câu 13: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số có 3 cực trị nếu phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 3 nghiệm đó.
11


(Đặc biệt nếu các nghiệm của y’ đều là nghiệm đơn thì số cực trị bằng số nghiệm đơn đó).
Cách giải:
Xét phương án B ta thấy y '  4 x  x  1 x  1 .
Phương trình y '  0 có ba nghiệm đơn phân biệt cho nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Chọn A.
Phương pháp:
Xét từng hàm số, tìm y', tìm nghiệm của y’và kiểm tra điều kiện y’ đổi dấu qua các nghiệm đó. Từ đó rút ra
kết luận.
Cách giải:
Xét phương án A, hàm số y  x 3 và y '  3 x 2 do đó phương trình y '  0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Đồ thi hàm số khi đó có dạng:

Nhìn vào đồ thị của hàm số ta thấy rõ ràng hàm số không có cực trị, do đó chọn phương án A.
Câu 15: Chọn C.

 y '  2   0


3
3




m3
2
2
m

6

 y ''  2   0
2.2  m  0
4  m  0


3
3
12


Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:
Điều kiện để hàm đa thức bậc 4 có ba điểm cực trị là phương trình y '  0 có ba nghiệm phân biệt.
Cách giải:

 x  1  y  1
Suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1;-1).
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
- Tính y’, tìm các điểm cực trị suy ra các giá trị cực trị rồi rút ra kết luận.
Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  x  3 x  x  2 
13


 x  0, y  1
y'  0  
 x  2, y  3

 yCD . yCT  1.(3)  3
Câu 20: Chọn A.
Phương pháp:
- Xác định tọa độ 2 điểm cực trị A, B.
- Tính diện tích tam giác OAB theo công thức: S 

1
a.h (với a là độ dài đáy, h là độ dài đường cao tương
2

ứng với đáy đã chọn).
Cách giải:

y  x 3  3x  2  y '  3x 2  3
y '  0  x  1
Tọa độ 2 điểm cực trị: A(1;0), B(-1;4).

2
2
5
14


Câu 21: Chọn B.
Phương pháp:
 f  x0   y0

Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại M  x0 ; y0    f '  x0   0

 f ''  x0   0

Cách giải:

y  x 3  3 x 2  2 ax  b  y '  3 x 2  6 x  2 a; y ''  6 x  6
23  3.22  2 a.2  b  2
4a  b  2

a  0
 2

 a  0

Hàm số có điểm cực tiểu tại A(2;-2)  3.2  6.2  2 a  0
b  2
6.2  6  0
6  0


0

0
+

0

+

1
-

0

+

y

15


Từ bảng biến thiên ta thấy x1  1 và x2  1
Vậy P = 1
Câu 24: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm có ba điểm cực trị  phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 3 nghiệm đó.
Cách giải:
Ta có:




 2 m  12  3 m 2  1  0

 1  m  1
trái dấu  
2
m  1  0
Câu 26: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng lý thuyết về cực đại, cực tiểu của hàm trùng phương
Cách giải:











Ta có: y  x 4  2 m 2  9 x 2  5m  2  y '  4 x 3  4 x m 2  9  4 x x 2  m 2  9



x  0
y'  0   2
2
 x  9  m 1

Bước 2. Tìm các điểm cực trị. Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại điểm x0  f '  x0   0 và qua điểm x0 thì

f '  x  đổi dấu từ dương sang âm.
Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x0  f '  x0   0 và qua điểm x0 thì f '  x  đổi dấu từ âm sang dương.
Bước 3. Tính diện tích tam giác.
Cách giải:
Bước 1.

 x0  0

Ta có f '  x   4 x 3  4 x, f '  x0   0  4 x03  4 x0  0   x0  1 .
 x 0  1
Bước 2.
f '  x   0  4 x 3  4 x  0  x   1;0   1;  
f '  x   0  4 x 3  4 x  0  x   ; 1   0;1

Ta có BBT:

x
f ' x



-1
-

0

0
+

2

Câu 29: Chọn C.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định, tính y’
Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm
Bước 3: Lập bảng biến thiên tìm ra giá trị cực tiểu của hàm số.
Cách giải:
Tập xác định D = R
Ta có

x  0
y '  3x 2  6 x  y '  0  3x 2  6 x  0  
.
x  2
Ta có
y '  0  3 x 2 6 x  0  x   ;0    x;  

y '  0  3 x 2 6 x  0  x  (0;2).
x



y'

0
+

y


Ta có
y '  f ' x 

 2 x  a  x  1   x 2  ax  b 
 x  12



x2  2x  a  b

 x  12

 f '  0   0
a  b  0
x  1
Vì C(0;-1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên: 


b  1
 f  0   1 a  1
Thay x  1, b  1 vào hàm số ta thấy điểm C(0=-1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy x  b  1  A  2 B  6.
Câu 31: Chọn B.
Phương pháp:
- Lập bảng xét dấu y’.
- Quan sát bảng xét dấu y’ và đếm số điểm cực trị: Điểm mà tại đó y’ đổi dấu từ dương sang âm, hoặc từ âm
sang dương.
Cách giải:

y  x  2x2  1  y '  1 

Bảng xét dấu y’:

x





y'



1



2

0

+

Câu 32: Chọn D.
Phương pháp:

19


Quan sát đồ thị, tìm điểm mà f '  x   0
Đánh giá các giá trị của f '  x  , và chỉ ra cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  :

3
3

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  2 x  2
Câu 35: Chọn A.
Phương pháp:

 f '  x0   0
Điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y  f  x  khi và chỉ khi 
 f ''  x0   0
 f '  x0   0
Điểm x0 là điểm cựa tiểu của hàm số y  f  x  khi và chỉ khi 
 f ''  x0   0
Cách giải:

x  0
y '  x  4 x  0   x  2
 x  2
3

y ''  3 x 2  4
y ''  0   4  x  0 là điểm cực đại của hàm số.
y ''  2   y ''  2   8  x  2 là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
Câu 36: Chọn D.
Phương pháp:

 f  x0   y0
Nếu M  x0 ; y0  là điểm cực trị của đồ thị hàm số đa thức bậc ba thì 
 f '  x0   0

 y ''  x0   0
+) Giải hệ phương trình tìm x0  giá trị cực tiểu của hàm số là y  y  x0  .
Cách giải:













Ta có: y  e x x 2  3  2 xe x  y ''  e x x 2  3  2 xe x  2 xe x  2e x  e x x 2  4 x  1 .
Hàm số đạt cực tiểu tại






e x x 2  3  2 xe x  0
 y '  x0   0

x  x0  

 y ''  x0   0



b  0

y  f  x    f ''  0   0  2 a  0  a  0  
.
a  2

 2
a  2

a  4
 f 0  4
22


 f  x   x 3  2 x 2  4  f  3  13.

Câu 40: Chọn A.
Phương pháp:
- Tính y’ và tìm các nghiệm của y '  0 và các điểm tại đó hàm số không xác định.
- Xét dấu y’ qua các điểm tìm được ở trên và kết luận:
Điểm làm cho đạo hàm đổi dấu là các điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
Tập xác định: D = R

y   x  1

2017



1
 

*) y  x 4  TXD : D  R   y '  4 x 3  0  x  0

x
y'



+

0
-

0

+

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

23


*) y   x 3  x  TXD : D  R   y '  3 x 2  1  0  x  

3
3


y'

+

0
-

||

+

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  0.
Câu 42: Chọn C.
Phương pháp:
- Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Tính diện tích tam giác theo công thức S 

1
ah
2

Cách giải:

y  x 4  2 x 2  2(C)  y '  4 x 3  4 x
x  0
y'  0  
 x  1
Tọa độ các điểm cực trị của (C) là: A(0;2), B(-1;1), C(1;1).
Diện tích tam giác ABC: S ABC 


 x  1
3

Và y ''  12 x 2 4 nên y ''  0   4  0; y '' 1  y ''  1  8  0
Do đó x  0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 45: Chọn C.
Phương pháp:

x0 là điểm cực đại của hàm số thì f '  x0   0 và f '  x  đổi dấu từ dương sang âm tại x0 .
Cách giải:

x  1
Ta có f '  x    x  1 3  x   0  
x  3
Bảng xét dấu của

x



y'

1



+

3
+