MẶT CẦU
Dạng 90. Tính bán kính, đường kính mặt cầu
·
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và BSD
= 600. Tính bán
kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A. R =
a 2
3
.
B. R =
a 2
.
3
C. R =
2a
.
3
D. R =
a 3
B. r = 2a .
C. r = a .
D. r = a 2 .
Lời giải tham khảo
r=
S
=
4
8 a2
= 2a.
4
Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
1
bằng 45o . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. R =
a 3
.
2
a 3
.
3
Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. r =
a 3
.
2
B. r =
a
.
2
C. r =
a 2
.
2
D. r = a 3 .
Lời giải tham khảo
A
B
a 7
.
2
B. R =
a 55
.
6
C. R =
a 10
.
2
D. R =
a 11
.
2
Lời giải tham khảo
Ta có BC = AB2 + AC 2 − 2 AB.AC.cos A = a 3 .
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2
6
C. R =
a 3
.
6
D. R =
a 7
.
3
Lời giải tham khảo
Gọi H , G , I , O lần lượt là trung điểm cạnh AB, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ,
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD , tâm hình vuông ABCD .
HOIG là hình chữ nhật R = IA =
a 21
.
6
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
.
13
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
a 6
.
3
D. R = a 6 .
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
B. I là trung điểm AC , R =
a 2
.
2
D. I là trung điểm SC , R = a 6 .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.
3
B. r = 2 a2 + b2 + c 2 .
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5
C. r =
1 2
a + b2 + c 2 .
2
D. r = a2 + b2 + c 2 .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
.......................................................................
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt bên SBC là tam giác cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của BC , SH = a 2 .
Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. R =
a 275
483
.
B. R =
a 275
.
384
C. R =
a 275
384
.
D. R =
a 384
.
275
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6
Câu 12. Cho khối cầu ( S ) có bán kính r , S là diện tích mặt cầu và V là thể tích của khối cầu.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. V = 4 r 3 .
4
B. S = r 2 .
3
C. r =
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Gọi H là
trung điểm của AB . Biết SH ⊥ ( ABCD) và tam giác SAB đều. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A. R =
a 129
.
6
B. R =
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 1, SA = 2. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
a.
3
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
C. R = 1 .
D. R =
3
.
2
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.
3
B. Smc =
3 a 2
.
2
C. Smc = 4 a2 .
D. Smc = 2 a2 .
Lời giải tham khảo
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC SO là trục đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC .
Lấy M là trung điểm SA . Vẽ trung trực cạnh SA cắt SO tại I
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
S
a2 a 3
a
2
2
2
AO
=
SA
−
=
=
a
SO OA
SO
2
2
B
IA = AM 2 + IM 2 = a
Smc = 4 r 2 = 4a2 .
Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết
rằng AB = a , AC = a 3, đường thẳng AB ' tạo với đáy một góc 600 . Tính diện tích Smc
của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A ' B ' C '.
A. Smc =
13 a2
.
3
B. Smc =
7 a 2
.
4
C. Smc = 7 a2 .
Smc = 4 R2 = 7 a 2
2
2
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên
SA = a 6 và SA ⊥ ( ABCD ) . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD .
A. Smc = 8 a2 .
B. Smc = 16 a2 .
C. Smc = 4 a2 .
D. Smc = 9 a2 .
Lời giải tham khảo
Gọi I là trung điểm SC . Chứng minh được các điểm A, B, D cùng nhìn đoạn SC cố định
dưới một góc vuông nên các điểm S, A, B, C , D cùng nằm trên mặt cầu tâm I , đường kính
SC . Tính được SC = 2a 2 R = a 2 Smc = 8 a2 .
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC .
A. Smc = 4 a2 .
A. Smc = 9 a2 .
B. Smc = 27 a2 .
C. Smc = 18 a2 .
D. Smc = 36 a2 .
Lời giải tham khảo
SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ AC ( 1)
AB2 + BC 2 = 5a2 = AC 2 AB ⊥ BC SB ⊥ BC ( 2 )
Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có đường kính
2
SC
SC = 4a2 + 5a2 = 3a Smc = 4
= 9 a2 .
2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = a 3 ,
· B = SCB
·
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AC = 6a,
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
12
SA = 8a, SA vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = a 3 . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. Smc =
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 27. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng ( AB’C ’ ) tạo
với mặt phẳng ( A ’B’C ’) một góc 600 và G là trọng tâm ABC . Tính diện tích Smc của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp G.A’B’C’ .
A. Smc =
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
3a 3
.
24
D. V =
Lời giải tham khảo
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Ta có MN = AN 2 − AM 2 =
Bán kính khối cầu là: r =
a 2
2
MN a 2
2 a3
.
=
Thể tích khối cầu là: V =
2
24
4
Câu 29. Cho tứ diện SABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Hai
mặt bên ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mp ( ABC ) và SC hợp với mp ( ABC ) một
góc 450 . Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. V =
5 2
.
Þ SCA
= 450 SA = SC = 5
3
3
4 SC
4 5 2
125 2
.
V =
=
=
3 2
3 2
3
Câu 30. Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 2a có thể tích bằng bao nhiêu?
A. V = a3 .
B. V = 2 3 a3 .
C. V = 3 3 a3 .
D. V = 4 3 a3 .
Lời giải tham khảo
r=
Lời giải tham khảo
Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có SO ⊥ ( ABCD )
SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
S
· O = SBO
·
·
·
SA
= SCO
= SDO
= 600 & SA = SB = SC = SD (gt)
SAC và SBD là hai tam giác đều bằng nhau
Ta có AC = a 2 và SO = AC
•I
C
D
3 a 6
=
2
2
O
B
24. 21 a3
.
27
B. V =
25. 21 a3
.
27
C. V =
28. 21 a3
.
27
Lời giải tham khảo
24. 21 a3
.
25
S
x
Gọi O là trọng tâm của ABC . Qua O kẻ Ox //SH , lấy
Q Ox sao cho OH =
D. V =
3
4 3 4 7
28. 21 a3
V=
R =
. a =
.
3
3 3
27
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , BC = a 2. Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. V =
a3
54
.
B. V =
a3 21
54
.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
17
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 34. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , SB = 2a. Tính thể tích V của mặt cầu
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
D. V =
52 a3 12
.
3
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
18
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
D. V = 24 (dm3 ) .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
C. V =
32
.
3
D. V =
256
.
3
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
A, AA ' = 8, BC = 6. Mặt cầu ( S ) ngoại tiếp lăng trụ, hình trụ ( T ) có 2 đáy là 2 đường tròn
ngoại tiếp 2 tam giác ABC.ABC . Tính tỉ lệ thể tích t của khối cầu và khối trụ tương ứng
với mặt cầu và hình trụ đã cho.
A. t =
125
.
54
B. t =
125
.
27
C. t =
25
.
27
D. t =
25
.
54
. .........................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng a , cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy và SA = a 2. Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã
cho.
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
20
A. V =
4 3
a .
3
B. V =
16 3
a .
3
C. V =
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
21
Câu 40. Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a .
A. V =
a3
2
.
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Dạng 93. Bài tập tổng hợp về mặt cầu
B. a = −1 + 2 .
C. a =
1
.
2
D. a =
15
.
2
Lời giải tham khảo
Thể tích khối T là VT = ( 1 + a ) .2 − a2 .2 = 2 ( 1 + 2a )
2
Thể tích khối cầu có bán kính R =
AB
4
= 1 là VC =
2
3
Ta có phương trình VT = 3VC 2 (1 + 2a ) = 4 a =
1
Gọi M , H , I lần lượt là trung điểm CD , trọng tâm tam giác BCD và trung điểm AB suy ra
AH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD , trong mặt phẳng ( ABH ) kẻ đường
trung trực của AB cắt AH tại O . Khi đó, O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD , bán kính R = OA = 1.
Ta có: BM =
A
a2 a 6
a 3
a 3
=
; BH =
; AH = a 2 −
;
3
3
3
2
I
Xét hai tam giác vuông đồng dạng AIO , AHB ta có:
OA IA
AB2
a2 .3
2 6
A. t =
2
.
2
C. t =
B. t = 1 .
6
.
2
D. t =
3
.
2
Lời giải tham khảo
Tính được chiều cao của khối chóp h = SO = a l = SA =
6
a 6
. Suy ra t =
.
2
2
Tính OI = 3, SI =
ra d = OK =
8 3
= 4 3 , SO = 39 , dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOI , suy
2
3 13
.
4
Câu 46. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là 13, 14, 15. Mặt cầu ( S ) có bán
kính R = 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác với các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
khoảng cách d từ tâm mặt cầu ( S ) đến mặt phẳng ( ABC ) .
A. d =
3
.
2
B. d = 2 .
C. d =
5
.
2
D. d = 3 .
A. AI =
4R
.
3
B. AI =
2R
.
3
C. AI =
R
.
3
D. AI = 2 R .
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
Câu 48. Cho mặt cầu S ( O , R ) và mặt phẳng ( P ) , khoảng cách từ O đến ( P ) bằng R . Một
điểm M tùy ý thuộc ( S ) , đường thẳng OM cắt ( P ) tại N . Hình chiếu của O trên ( P ) là I .
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. IN = R ON = R 2 .
B. IN = R ON = 2 2R .
C. IN R .
D. OIN là tam giác tù.
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
. .........................................................................
.......................................................................
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
25
Copyright: Tài liệu đại học ©