MẶT CẦU

 Dạng 90. Tính bán kính, đường kính mặt cầu

·
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và BSD
= 600.
Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A.

R=

a 2.

B.

3

R=

a 2.
3

C.

R=

2a .
3

D.


Câu 2. Cho mặt cầu ( S) có diện tích bằng 8π a2 . Tính bán kính r của mặt cầu

( S) .
A. r = 8a.

B. r = 2a.

C. r = a.

D. r = a 2 .

Lời giải tham khảo
r=

S
=
4π

8π a2
= 2a.
4π

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 45o . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



·
Þ SO ⊥ ( ABC ) Þ SCO
= 450
⇒ ∆SOC vuông cân tại O ⇒ OS = OA = OB = OC = a 3 .
3
Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A ’B’C ’D ’ cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A. r =

a 3
.
2

B. r =

a
.
2

C. r =

a 2
.
2

D. r = a 3 .

Lời giải tham khảo
A


góc với đáy và SA = a 3. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. R =

a 7
.
2

B. R =

a 55
.
6

C. R =

a 10
.
2

D. R =

a 11
.
2

.
6

C. R =

a 3
.
6

D. R =

a 7
.
3

Lời giải tham khảo
Gọi H , G, I , O lần lượt là trung điểm cạnh AB, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB , tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD , tâm hình vuông ABCD .

⇒ HOIG là hình chữ nhật ⇒R = IA = a 21 .
6

3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




BÀI TẬP TỰ LUYỆN

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AB = a, SA = 2a, SA
vuông góc với ( ABC ) . Xác định tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC .

A. I là trung điểm AC , R = a 2 .


........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với
mặt phẳng ( ABC ) và có SA = a, AB = b, AC = c. Tính bán kính r của mặt cầu đi qua
các đỉnh S, A , B, C .
A.

r=

C. r =

2(a + b + c) .
3
1 2
a + b2 + c2 .
2

B.

r = 2 a2 + b2 + c2



. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC là
tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung
điểm của BC , SH = a 2 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. R =

a 275
483

.

B. R =

a 275
.
384

C. R =

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

Câu 12. Cho khối cầu ( S) có bán kính r , S là diện tích mặt cầu và V là thể tích
của khối cầu. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. V = 4π r 3 .

B. S =

4 2
πr .
3

C. r =

V
.
3S


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a.
Gọi H là trung điểm của AB. Biết SH ⊥ (ABCD ) và tam giác SAB đều. Tính bán
kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A. R =

a 129
.
6

B. R =

a 129
.
3

C. R =

a 129
.
2

D. R =

........................................................
........................................................

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 1, SA = 2. Tính bán kính R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. R =

2 33
.
11

B. R =

3
.
3

C. R =

6
.
3

D. R =

2 3
.
11

. ..........................................................



Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC bằng
a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 6. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. R = 2a.

B. R = a

6
.
2

C. R =

3
a.
2

D. R =

2
a.
3

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

9
.
2

C. R = 1.

D. R =

3
.
2

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................



C. Smc = 4π a2 .

D. Smc = 2π a2 .

Lời giải tham khảo
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC ⇒ SO là trục đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC .
Lấy M là trung điểm SA . Vẽ trung trực cạnh SA cắt SO tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
S

SO = SA.sin 30o =

2
a
, AO = SA 2 − SO 2 = a2 − a = a 3
2
4
2

∆SMI đồng dạng với ∆SOA

I

M

A



B. Smc =

7π a2
.
4

C. Smc = 7π a2 .

D. Smc =

13π a2
.
12

Lời giải tham khảo

(

)

·
·
0
· 'A ' = AB tan600 = a 3
Ta có AB ',( A 'B 'C ') = AB 'A ' = 60 suy ra AA ' = A 'B 'tan AB
9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Tính diện tích Smc
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. Smc = 4π a2 .

B. Smc = 32π a2 .

C. Smc = 8π a2 .

D. Smc = 16π a2 .

Lời giải tham khảo
 BC ⊥ SA
⇒ B ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SB.
Do 
 BC ⊥ AB
Khi đó ∠SAC = ∠SBC = 900 , suy ra hình chóp
S.ABC nội tiếp mặt cầu đường kính SC.
Ta có
SC = SA 2 + AC 2 = SA 2 + AB2 + BC 2 = 2a 2
⇒r=

SC
= a 2. Suy ra Smc = 4π r 2 = 8π a2.
2

Câu 21. Cho tứ diện SABC có SA = 2a và SA vuông góc với

( ABC ) . Tam




2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN



Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = a 3 ,

·
·
SAB
= SCB
= 900 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

a 2 . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. Smc = 3π a2 .

B. Smc = 16π a2 .

C. Smc = 2π a2 .

D. Smc = 12π a2 .

. ..........................................................

........................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. Smc = 64π a2 .

B. Smc =

64 2
πa .
3

C. Smc = 100π a2 .

D. Smc =

100 2
πa .
3

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................

12

C. Smc =

13π a2
.
9

D. Smc =

13π a2
.
3

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................



........................................................

. ..........................................................

........................................................

12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................



. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 27. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A ′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng

( AB’C’)

tạo với mặt phẳng

( A ’B’C’)

một góc 600 và G là trọng tâm ∆ABC . Tính

diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.A ’B’C’ .
A. Smc =

3844 2
πa .
3888


........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................
13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

 Dạng 92. Thể tích khối cầu

Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối cầu
tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD .
A.

V=



2

4

24

Câu 29. Cho tứ diện SABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4.
Hai mặt bên ( SAB) và ( SAC ) cùng vuông góc với mp ( ABC ) và SC hợp với mp

( ABC )

một góc 450 . Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .

A. V = 5π 2 .
3

B. V = 25π 2 .
3

C. V = 125π 3 .
3

D. V = 125π 2 .
3

Lời giải tham khảo
∆ABC : AC = 9 + 16 = 5

( SAB) ⊥ ( ABC ) ,( SAC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC )


B. V = 2 3π a3 .

C. V = 3 3π a3 .

D. V = 4 3π a3 .

Lời giải tham khảo
r=

AA '2 + A 'C '2
= 3a, V = 4 3π a3.
2

Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp
với đáy góc 600 . Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A. V =

8 6 3
πa .
27

B. V =

8 6 3
πa .
3

C. V =


3 a 6
=
2
2

C

D
O

Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC

B

A

⇒ I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD
Do đó : IS = IA = IB = IC = ID = R
⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: R = SI = 2 SO = a 6
3
3
Vây thể tích khối cầu cần tìm: V =

4 3 8 6 3
πR =
πa .
3
27

Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, mặt

1
a 3
CH =
3
3

OH =

SH = HC = a 3 ⇒ SI =

2a
3

⇒ SQ =

7
a
3

3

4π 3 4π  7 
28. 21π a3
.
V=
R =
.
a÷ =
3
3  3 ÷


7π a3 21
.
54

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 35. Cho hình vuông ABCD cạnh 4a . Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai
điểm H và K sao cho BH = 3HA và AK = 3KD. Trên đường thẳng ( d) vuông góc

( ABCD ) tại

·
H lấy điểm S sao cho SBH
= 300. Gọi E là giao điểm của CH và BK .
Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHEK.
A. V =

π a3 13 .
3

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 36. Một bình đựng nước dạng hình nón ( không có đáy), đựng đầy nước.
Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và
đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π (dm3 ) , Biết thể tích khối cầu tiếp xúc với
tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong
nước ( hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
A. V = 6π (dm3 ) .

B. V = 12π (dm3 ) .

C. V = 54π (dm3 ) .

D. V = 24π (dm3 ) .


........................................................
........................................................

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 11 . Tính thể tích V của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD .
A. V =

11 11π
.
6

B. V = 32π .

C. V =

32π
.
3

D. V =

256π
.
3

. ..........................................................

........................................................



ngoại tiếp lăng trụ, hình trụ

(T)

có 2 đáy là 2

đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABC.A ′B′C′ . Tính tỉ lệ thể tích t của khối cầu và
khối trụ tương ứng với mặt cầu và hình trụ đã cho.
A. t =

125
.
54

B. t =

125
.
27

. ..........................................................

C. t =

25
.
27

D. t =

. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng a, cạnh
bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 2. Tính thể tích V của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho.
A.

V=

4 3.
πa
3

B.

V=

16 3 .
πa
3

C.

V=

32π a3 .

. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

19

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 40. Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.
A. V =

π a3
.
2

B. V =

π a3 3 .
2

C. V = π a3 3 .

D. V =

3π a3 3
.
8


Câu 41. Cho mặt cầu S ( I ; R ) và một điểm A sao cho IA = 2R . Từ A kẻ tiếp
tuyến AT đến ( S) (T là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng AT .
A. AT =

R
.
2

B. AT = R .

C. AT = R 2 .

D. AT = R 3 .

Lời giải tham khảo
Tam giác IAT vuông tại T nên AT = IA 2 − IT 2 = 4R2 − R2 = R 3 .
Câu 42. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Đường
thẳng d nằm trong mặt phẳng ( ABCD ) không có điểm chung với hình chữ nhật
ABCD , song song với cạnh AB và cách AB một khoảng bằng a. Gọi V là thể
tích của khối tròn xoay τ , nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung
quanh trục d. Cho biết d( AB, d) < d( CD , d) . Tính a biết rằng thể tích của khối τ
gấp 3 lần thể tích của khối cầu có đường kính AB.
A. a = 3 .

B. a = −1+ 2 .

C. a =

1

Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính a biết mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện có bán kính bằng 1.
A. a =

2 6
.
3

B. a =

6
.
3

C. a =

3
.
2

D. a =

3
.
3

Lời giải tham khảo
Gọi M , H , I lần lượt là trung điểm CD , trọng tâm tam giác BCD và trung điểm
AB suy ra AH   là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD , trong mặt phẳng


OA
IA
AB2
a2.3
2 6
=
⇒ OA =
=
⇒ a=
AB AH
2AH 2a 6
3

M

H
C

a3
Câu 44. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và thể tích là
. Gọi t
3
là tỉ số giữa độ dài cạnh bên và độ dài cạnh đáy của hình chóp. Tính t .
A. t =

2
.
2

B. t = 1.

O đến ( SAB) .

A. d =

4 13
.
3

B. d =

3 13
.
4

C. d =

13
.
3

D. d = 3.

Lời giải tham khảo

(

)

Gọi I là trung điểm cạnh AB, dựng OK vuông góc với SI , OK = d O , ( SAB) .
Tính OI = 3, SI =

5
.
2

D. d = 3.

Lời giải tham khảo
Mặt phẳng ( ABC ) cắt mặt cầu ( S) theo đường tròn ( C ) . Gọi r là bán kính của
đường tròn ( C ) . Ta có: S∆ABC = p( p − a) ( p − b) ( p − c) với p =

a + b+ c
= 21
2

Do đó, S∆ABC = 84. Mặt khác ta có: S∆ABC = pr ⇒ r = 4. Khoảng cách từ tâm đến mặt
phẳng ( ABC ) là: d = R2 − r 2 = 3 .



BÀI TẬP TỰ LUYỆN



22

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 47. Cho mặt cầu đường kính AB = 2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI = h.
Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn ( C ) . Xác định


........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

Câu 48. Cho mặt cầu S ( O , R ) và mặt phẳng ( P ) , khoảng cách từ O đến ( P ) bằng
R . Một điểm M tùy ý thuộc ( S) , đường thẳng OM cắt ( P ) tại N . Hình chiếu của
O trên ( P ) là I . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. IN = R ⇔ ON = R 2 .
B. IN = R ⇔ ON = 2 2R .
C. IN > R .
D. ∆OIN là tam giác tù.

23


. ..........................................................

........................................................

24

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 49. Cho khối cầu ( S) có bán kính r , S là diện tích mặt cầu và V là thể tích
của khối cầu. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. V =

4 3
πr .
3

B. S = 4π r 2 .

C. r =

V
.
3S

D. r =


........................................................

Câu 50. Trong không gian, xác định tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng cố định
AB dưới một góc vuông.
A. Tập hợp chỉ có một điểm.
B. Một đường thẳng.
C. Một đường tròn.
D. Mặt cầu đường kính AB bỏ đi hai điểm A , B .
. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................