BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ KHỐI NÓN – KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU

 Dạng 129. Bài toán vận dụng về khối nón

Câu 01. Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và

2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu
tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tính bán kính đáy r
của hình nón đã cho.
A. r =

8a
.
3

B. r = 2a .

C. r = 2 2a .

Lời giải tham khảo

D. r =

4a
.
3

A

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là ABC


C

AD1 = AO12 + O1 D12 = 4a 2
AO1 D1 ∽ ACH 

O1 D1 AD1
=
 r = CH = 2 2a.
CH
AH

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


Câu 02. Một vật N 1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40 cm . Người ta cắt vật N 1
bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N 2 có thể
tích bằng

1
thể tích N 1 . Tính chiều cao h của hình nón N 2 .
8
B. h = 10 cm .

A. h = 5 cm .

C. h = 20 cm .



1  h 
h 1
=  
=  h = 20 cm .
8  40 
40 2

Câu 03. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Biết rằng
chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và

16
(dm3 ) . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm
9
trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy
đo được thể tích nước tràn ra ngoài là

của hình nón. Tính diện tích xung quanh Sxq của bình nước.
A. Sxq =

9 10
(dm3 ) .
2

C. Sxq = 4 (dm3 ) .

B. Sxq = 4 10(dm3 ) .
D. Sxq =

4

OH 3
3
- Thể tích khối trụ là V =  r 2 h1 =
-

Đường

sinh

2 R3 16
=
R=2
9
9

của

hình

nón

O

là

l = OA = OH 2 + HA2 = 9R2 + R2 = 2 10
- Diện tích xung quanh Sxq của bình nước Sxq =  Rl = 4 10 .

Câu 04. Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới
đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới mô

Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r . Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ
giữa h và r. Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí
Thales ta sẽ có:

h 6−r
18 − 3r
=
h=
9
6
2

Khi đó V = f ( r ) =  r 2 .

18 − 3r
3 r 3
=−
+ 9 r 2 với 0  r  6
2
2

r = 0
9
f ' ( r ) = −  r 2 + 18 r = 0  
2
r = 4
Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể suy ra được với r = 4 thì V đạt GTLN, khi
đó V = 48 .
Câu 05. Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó
thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi


4

.

Lời giải tham khảo

r

xO

A, B

h

R

R
B

A

O

lAB = Rx; r =

Rx
.
2



B. x = a .

C. x =

a
.
3

D. x =

2a
.
3

Lời giải tham khảo
Theo Định lý Ta-lét

R 2a − x
R
=
. Suy ra R = ( 2a − x ) .
R
2a
2a

Khi đó thể tích khối nón đỉnh O đáy là đường tròn ( C  ) là

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3
C. Vmax =

4 2
 R3 .
9

B. Vmax =

4
 R3 .
3

D. Vmax =

32
 R3 .
81

Lời giải tham khảo
Gọi bán kính đáy của khối nón là a thì 0  a  R. Ta có

)

(

)

(


x
( r là bán kính đường tròn đáy hình nón).
2

Đường sinh của hình nón chính bằng bán kính đĩa là R .
Đường cao hình nón: h = R2 − r 2 = R2 −

x2
1 2
1 x2
x2
2

V
=

r
.
h
=

.
R
−
3
3 4 2
4 2
4 2

Khảo sát hàm V ta tìm được V đạt GTLN khi x =


tích V cm3 . Hỏi bán kính R của đáy trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu
nhất?
A. R = 3

V
.
4

B. R = 3

V



C. R = 3

.

3V
.
2

D. R = 3

V
.
2

Lời giải tham khảo

A. R = 0, 5 .

B. R = 0, 6 .

C. R = 0, 8 .

D. R = 0,7 .

Lời giải tham khảo
Bài toán yêu cầu xác định giá trị của bán kính đáy là R , sao cho Stp nhỏ nhất.
Gọi h là chiều cao của hình trụ, ta có: 2 =  R2 h.

 2

 2
2

4
Stp = 2.Sd + Sxq = 2 R2 +  Rh = 2 
+ R2  = 2 
+
+ R2   6 3
4 2
R

 2 R 2 R


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


trụ phải là bé nhất

hình
a

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Stp = Sxq + 2.Sd
= 2 R.l + 2 R2
= 2 .a.l + 2 .a2
Thể tích của hình trụ là 10000 cm3 nên ta có:

( .R ) .l = 10000  l = 10000
 .R
2

2

 Stp = 2 .a.

10000
20000
+ 2 .a2 =
+ 2 .a2
2
a
a

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


hình tròn đường kính 12 cm , chiều cao 2 cm . Bạn Nam phải cắt chiếc bánh thành 3 phần
bằng nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc. Nam chỉ được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng
2 nhát dao phải vuông góc với đáy và song song với nhau. Như vậy, theo cách cắt thì sẽ
có hai miếng giống nhau và một việc khác hình thù, 3 miếng có cùng chung thể tích.
Hỏi khoảng cách giữa 2 mặt phẳng nhát cắt gần nhất với giá trị bao nhiêu ?
A. 3, 5 cm .

B. 3 cm .

C. 3, 2 cm .

D. 3, 44 cm .

Lời giải tham khảo

Thực chất bài toàn là chai hình tròn thành 3 phần bằng nhau như hình vẽ:
Vì các miếng bánh có cũng chiều cao nên diện tích đáy của các miếng bánh phải bằng nhau và
bằng

1
diện tích chiếc bánh ban đầu.
3

Trong hình vẽ thì ta có OA = OB = 6 và S1 = S2 = S3 =


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


Câu 13. Một hình trụ tròn xoay bán kính R = 1 . Trên 2 đường tròn đáy ( O ) và ( O ’) lấy
A và B sao cho AB = 2 và góc giữa AB và trục OO’ bằng 300 .

Xét hai khẳng định:

(I) :

Khoảng cách giữa O’O và AB bằng

( II ) : Thể tích của khối

3
2

trụ là V = 3 

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Chỉ ( I ) đúng.

B. Chỉ ( II ) đúng.

C. Cả ( I ) và ( II ) đều sai.

D. Cả ( I ) và ( II ) đều đúng.
Lời giải tham khảo


Câu 14. Một miếng bìa hình chữ nhật có các kính thước 2a và 4a . Uốn cong tấm bìa
theo bề rộng (hình vẽ) để được hình trụ không đáy. Ký hiệu V là thể tích của khối trụ
tạo ra. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. V = 4 a .
3

B. V = 16 a .
3

C. V =

4a3



a3
D. V =
.
16

.

Lời giải tham khảo

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4a

4a


Gò theo chiều dài

A. Số lúa đựng được bằng nhau.

B. Số lúa đựng được bằng một nữa.

C. Số lúa đựng được gấp hai lần.

D. Số lúa đựng được gấp bốn lần.
Lời giải tham khảo

Gọi R là bán kinh dường tròn đáy khi gò tấm nhôm theo chiều dài:
2

2
8
4 = 2R, ta được R = , V1 =    .2 =


 

2

(m )
3

Gọi R ' là bán kinh dường tròn đáy khi gò tấm nhôm theo chiều rộng: ta có

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Cách thứ hai: là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích V2 có các
kích thước như hình vẽ. Hãy tìm tỉ số thể tích của 2 hộp để biết được gấp theo
cách nào sẽ có thể tích lớn hơn.

A.

V1 4
= .
V2 

B.

V1
= 4 .
V2

C.

V1 1
= .
V2 4

D.

V1
= 4.
V2

Lời giải tham khảo
Chiều dài của tấm bìa là 20 cm tức là chu vi đáy hộp hình trụ và đáp hộp hình hộp là 20 cm.

; 25 = .
V2



Câu 17. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả
các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung
quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


diện tích đáy của cái lọ hình trụ.
A. 16 r 2 .

C. 9 r 2 .

B. 18 r 2 .

D. 36 r 2

Lời giải tham khảo
Theo giả thiết ta có bán kính của đường tròn đáy R = 3r

 Diện tích đáy hình trụ: S =  R2 = 9 r 2 .
Câu 18. Từ 37, 26 cm3 thủy tinh. Người ta làm một chiếc cốc hình trụ có đường kính

8 cm với đáy cốc dày 1, 5 cm , thành xung quanh cốc dày 0, 2 cm . Tính chiều cao của

C. 0,14 m3 .

D. V =  m3 .

Lời giải tham khảo

(

)

Lượng bê tông cần đổ là:  h( R2 − r 2 ) =  .200. 302 − 20 2 =  .100000cm3 = 0,1 m3 .
Câu 20. Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh
doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép
hình lặng tự luc giác đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa
tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30 cm. Biết
chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn hợp

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


cần dùng (tính theo đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A. 1, 3 m3 .

B. 2, 0 m3 .

D. 1, 9 m3 .

C. 1, 2 m3 .


4 


 Dạng 131. Bài toán vận dụng về khối cầu

Câu 21. Khi thiết kế vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi
phí làm vỏ lon là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V mà diện tích toàn phần
của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn đáy khối trụ bằng bao nhiêu?
A.

3

V
.
2

B.

3

V



.

C.

V


V
.
2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng a. Tính thể tích V của
khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
A. V =

7 a3 21
.
54

B. V =

7 a3 3
.
54

C. V =

7 a3 7
.
54


54
2  3 
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có SA = a 2 , AB = a , AC = a 3 , SA vuông góc với đáy
và đường trung tuyến AM của tam giác ABC bằng

a 7
. Gọi ( S ) là mặt cầu ngoại tiếp
2

hình chóp S.ABC . Tính thể tích V của khối cầu tạo bởi mặt cầu ( S ) .
A. V =  6a3 .

B. V =  2 2a3 .

C. V =  2 3a3 .

D. V =  2 6a3 .

Lời giải tham khảo
Từ công thức tính độ dài trung tuyến ta suy ra được: B = a .

 SABC =

3 2
.a .
4

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: r =

BA.AC.BC


3
.
2

C.


2

.

D.

3
.
4

Lời giải tham khảo

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


Hướng dẫn: Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhất là a , b , c. Bán kính của mặt cầu ngoại
tiếp hình hộp chữ nhật là R =

a2 + b2 + c 2
2

03B

04C

05A

06D

07A

08A

09C

10D

11D

12C

13D

14C

15C

16A

17C


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................
. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất