BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Oxyz

 Dạng 132. Bài toán vận dụng viết phương trình mặt
phẳng

Câu 01. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ,
biết A ( 0; 0; 0 ) , B ( 1; 0; 0 ) , D ( 0; 1; 0 ) và A ’ ( 0; 0; 1) . Phương trình nào dưới đây là phương
trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng ( B B’D ’D ) một góc
lớn nhất?
A. x − y + z = 0 .

B. x − y + z − 2 = 0 .

C. x + 2y + z − 3 = 0 .

D. x + 3y + z − 4 = 0 .
Lời giải tham khảo
Ta có: B ( 1; 0; 0 ) , B’ ( 1; 0; 1) , C ( 1; 1; 0 ) , D’ ( 0; 1; 1) .
Do đó ( BB’D ’D ) có phương trình: x + y − 1 = 0

( P ) tạo với ( BB’D’D ) một góc lớn nhất
 ( P ) vuông góc với ( BB’D’D ) .

Vậy ( P ) chứa CD’ và vuông góc với ( BB’D ’D )

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1



A. ( Q ) : x + y − z + 4 = 0 .

B. ( Q ) : x + y − z − 4 = 0 .

C. ( Q ) : 2x + y − 3z − 4 = 0 .

D. ( Q ) : 2x − y − z − 4 = 0 .
Lời giải tham khảo

Nhận xét: 00  ( ( P),(Q) )  900 , nên góc ( ( P ),(Q) ) nhỏ nhất khi cos ( ( P),(Q) ) lớn nhất.

(Q ) : ax + b( y − 4) + cz = 0; A  (Q)  a = 2b + c
Ta có cos ( ( P),(Q) ) =

2 a − b − 2c
3 a2 + b2 + c 2

=

b
a2 + b2 + c 2

Nếu b = 0  cos ( ( P),(Q) ) = 0  (( P),(Q) ) = 90 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


Nếu b  0  cos (( P),(Q) ) =


Dấu bằng xảy ra khi b = −c; a = − c , nên phương trình mp ( Q ) là: x + y − z − 4 = 0 .

Câu 04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

( P ) : 2 x − y + 2z − 1 = 0 . Phương trình nào
phẳng ( Q ) chứa  và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất?
mặt phẳng

x −1 y z +1
và
= =
2
1
−1

dưới đây là phương trình mặt

A. 2x − y + 2z − 1 = 0 .

B. 10x − 7 y + 13z + 3 = 0 .

C. 2x + y − z = 0 .

D. −x + 6y + 4z + 5 = 0 .
Lời giải tham khảo

Gọi A là giao điểm của d và ( P ) , m là giao tuyến của ( P ) và ( Q ) . Lấy điểm I trên d .

· là góc giữa ( P )


với

hệ

tọa

+ ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 9 và đường thẳng

độ

:

Oxyz ,

cho

mặt

cầu

x−6 y−2 z−2
=
=
. Phương
−3
2
2

trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4; 3; 4 ) , song song với

Câu 06. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; 2; 0 ) , B ( 2; 1; 1) ,
C ( 3; 1; 0 ) và D ( 5; −1; 2 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm A và B và cách

đều C và D .
A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. Vô số mặt phẳng.

Lời giải tham khảo
Kiểm tra ta được AB song song với CD nên có vô số mặt phẳng mặt phẳng đi qua hai điểm
A và B và cách đều C và D .

Câu 07. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho các điểm A ( 1; 0; 0 ) , B ( 0; 1; 0 ) ,
C ( 0; 0; 1) , D ( 0; 0; 0 ) . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD ) ,

(CDA ) , ( DAB ) ?
A. 8 .

B. 5 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải tham khảo
Gọi I ( x; y ; z ) cách đều 4 mặt ta có x + y + z =


5


Câu 09. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; –2; 0 ) , B ( 0; –1; 1) ,
C ( 2; 1; –1) và D ( 3; 1; 4 ) . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

A. 1 mặt phẳng.

B. 4 mặt phẳng.

C. 7 mặt phẳng.

D. Có vô số mặt phẳng.
Lời giải tham khảo

Ta có: AB = ( −1; 1; 1) ; AC = (1; 3; −1) ; AD = ( 2; 3; 4 ) .
Khi đó:  AB; AC  .AD = −24  0 do vậy A, B, C , D không đồng phẳng


Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm.
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ( ABC )
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( ACD )
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng ( ABD )
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( BCD )
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2; 3 ) và mặt phẳng ( P )
qua M cắt Ox , Oy , Oz tại A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , B ( 0; 0; c ) (với a, b, c  0 ). Với giá trị

1
a.b.c
6

( 2)

1 2 3
6
a.b.c
+ +  33

 27 . Vậy thể tích lớn nhất là: V = 27 .
a b c
a.b.c
6

Vậy a = 3; b = 6; c = 9 . Phương trình là: ( P ) :

x y z
+ + = 1  6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0.
3 6 9

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x − 3 y + 4 z + 16 = 0 ,
đường thẳng d :

x−1 y + 3 z − 5
và điểm M ( 2 ; 3 ; 1) . Gọi A là điểm thuộc đường
=
=
1

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

mặt

cầu

(S) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 1 và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 5 = 0 . Điểm M thuộc
mặt phẳng ( P ) sao cho qua M kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt cầu
(S ) tại N thỏa mãn MN nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
2

2

2

A. M ( −1; −3; −1) .
B. M ( 1; 3; 1) .
C. Không tồn tại điểm M .

C. M  ; 0; 0  .
2


D. M ( 9; 0; 0 ) .

Lời giải tham khảo
Gọi ( ) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: ( )
Tọa độ hình chiếu của O trên đường thẳng là M . Ta có tọa độ M là: M ( 3; 3; −3 )

(

)

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng cần lập ta có: d O , ( ) = OH  OM .
Vậy khoảng các lớn nhất băng OM  ( ) : x + y − z − 9 = 0
Vậy tọa độ giao điểm của ( ) với Ox là N ( 9; 0; 0 ) .
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P )
không có điểm chung. Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho qua điểm đó
kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S ) thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến tiếp điểm đạt
giá trị nhỏ nhất?
A. 1 điểm.

B. 2 điểm.

C. không có điểm nào.

D. có vô số điểm.
Lời giải tham khảo


11

C.

x y + 3 z −1
.
=
=
21
11
−4

D.

x + 3 y z −1
=
=
.
26
11
−2

Lời giải tham khảo
Đường thẳng d cần viết nằm trong mặt phẳng ( Q ) qua A và song song với ( P ) .
Pt ( Q ) là: x − 2y + 2z + 1 = 0 . Để khoảng cách từ B đến d là nhỏ nhất thì d phải đi qua A và
điểm H là hình chiếu vuông góc của B trên ( Q ) .

 1 11 7 
Ta có H  − ; ;  . Phương trình d là phương trình đường thẳng qua AH .
 9 9 9

C ( 1; 1; 2 ) . Tập hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng ( ) : 3 x + 6 y − 6 z − 1 = 0 sao cho

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


MA.MB + .MB.MC + .MC.MA = 0 là hình nào trong các hình sau?

A. một đường tròn. B. một mặt cầu.

C. một điểm.

D. một mặt phẳng.

Lời giải tham khảo
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có

MA.MB + .MB.MC + .MC.MA = 0  3MG2 + GA.GB + .GB.GC + .GC.GA = 0  MG =
Vì d (G ,( ) ) =

1
3

1
nên M là hình chiếu của G trên ( ) : 3 x + 6 y − 6 z − 1 = 0 .
3

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −2 ) , B ( 3; 4; 4 ) và
mặt phẳng

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −1) , B ( 0; 4; 0 ) và
mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z + 2015 = 0 . Gọi  là góc nhỏ nhất giữa mặt phẳng ( Q ) đi
qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng ( P ) . Tính giá trị của cos  .
A. cos  =

1
.
9

B. cos  =

1
.
6

C. cos  =

2
.
3

D. cos  =

1
3

.

Lời giải tham khảo
Mặt phẳng ( Q ) đi qua điểm B nên có phương trình dạng

2 a − b − 2c
3. a2 + b2 + c 2

( 2)

Thế a = 2b + c ( 1) vào ( 2 ) ta được

cos =

3b
3. 5b2 + 4bc + 2c 2

=

b
5b2 + 4bc + 2c 2

+) Nếu b = 0  cos =0   =900 .
+) Nếu b  0  cos =

1
2

c
c
2  + 4  + 5
b
b

=


ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

01A

02C

03B

04B

05A

06D

07A

08D

09C

11A

12A

13D

14A

15D