Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Câu 111. Cho hình chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tính thể tích lớn nhất
Vmax của khối chóp đã cho.

a3 6
a3 6
a3 6
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
6
3
2
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo AC ' = 18. Gọi S
là diện tích toàn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất S max của S .
A. Vmax = a3 6.

B. Vmax =

A. Smax = 36 3. B. Smax = 18 3.
C. Smax = 18.
D. Smax = 36.
Câu 113. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) và SC = 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp
đã cho.
80
20
40

bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

130
128
125
250
.
.
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
3
3
3
3
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1; SO vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) và SC = 1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A. Vmax =

2 3
2 3
2 3
4 3
.
.
.

1
.
.
C. Vmax =
D. Vmax = .
6
12
4
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ). Biết SC = 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp
1
.
B. Vmax =
3
Câu 119. Cho hình chóp S.ABC

A. Vmax =

đã cho.

2 3
3
2
3
.
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.

(0 < x < a). Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S .ABCM , biết x 2 + y 2 = a 2 .
3a 3 3
a3 3
a3 3
a3 3
C. Vmax =
D. Vmax =
.
. B. Vmax =
.
.
8
8
3
24
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, SC = 6 và mặt
A. Vmax =

bên (SAD ) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A. Vmax =

40
.
3

C. Vmax = 80.

B. Vmax = 40.


Câu 124. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các
cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x = 3 2.
B. x = 6.
C. x = 2 3.
D. x = 14.
Câu 125. Trên ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm A, B, C
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa
OA = OB + OC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC .
A.

Vmax =

a3
a3
a3
a3
.
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
24
32
6
8
Câu 126. Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh
BC = a, SB = b, SC = c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho.

a3 6
a3
a3
B. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
.
.
72
24
48
6
Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết
tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp
đã cho.
64 3
70 3
56 3
80 3
A. Vmax =
C. Vmax =
D. Vmax =
.
.
. B. Vmax =
.
9
9

.
.
.
.
3
2
2
2
Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3 .
A. x =

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC ) , tính cos a khi thể tích khối chóp S.ABC
nhỏ nhất.
1
2
2
3
.
B. cos a =
C. cos a =
D. cos a = .
.
.
3
3
3
2
Câu 132. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến
· = SCB

với mặt phẳng (ABC ) lấy các điểm M , N khác phía so với mặt phẳng (ABC ) sao cho
A. x = a 2.

B. x =

AM .AN = 1 . Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC .

1
1
1
2
.
.
B. Vmin = .
C. Vmin =
D. Vmin = .
3
6
3
12
C
,
SA
=
AB
= 2. Cạnh
Câu 135. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ). Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc
A. Vmin =


.
.
.
.
5
5
2
2
Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo
bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. x =

A. Vmax = 16 2. B. Vmax = 12.
C. Vmax = 8 2.
D. Vmax = 6 6.
Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình lập phương có
cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương
luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập
phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất S max của S .

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


32
16
48
1
.
.
.

C. Tmin =
D. Tmin = 6.
7
7
7
Câu 140*. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V . Gọi M là
trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB; mặt phẳng (a )
M , N , P . Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T =

di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q .
Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S .MNKQ .
A. Vmax =

V
.
2

B. Vmax =

V
.
3

C. Vmax =

3V
.
4

D. Vmax =

÷AS = 6 SA.SB.SC .
ø
3
3 çè2
Dấu '' = '' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.
·

SD SBC =

B
H
C

3

1
a 6
SA.SB.SC =
. Chọn D.
6
6
Câu 112. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Khi đó Stp = 2 (ab + bc + ca).
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là Vmax =

Theo giả thiết ta có a2 + b 2 + c 2 = AC '2 = 18.
Từ bất đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca , suy ra Stp = 2 (ab + bc + ca)£ 2.18 = 36.
Dấu '' = '' xảy ra Û a = b = c =

6. Chọn D.

Suy ra VS . ABCD £

x2 +

(

20 - x 2

4

B

2

)

2

x
= 10 .

C

D

4
40
.10 =
.
3

.
2
3
3
Đặt AB = x > 0. Diện tích tam giác đều SD ABC =

Tam giác vuông SOA, có SO =

SA 2 - OA 2 =

1-

x2
.
3

S

A

1
1 x 2 3 3- x 2
1 2
SD ABC .SO = .
.
=
.x 3 - x 2
3
3 4
12

÷
= 2.
÷
ç
÷
3
ø
2
2 è
Câu 115. Gọi O = AC Ç BD. Vì SA = SB = SC = SD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Þ SO ^ (ABCD).

Cách 2. Ta có x 2 3 - x 2 =

1

x 2 .x 2 .(6 - 2 x 2 ) £

1

Đặt AB = x > 0.
Tam giác vuông ABC , có

S

AC = AB 2 + BC 2 =
Tam giác vuông SOA, có
SO =

2

3
3

(

)

x

B
O
C

Dấu '' = '' xảy ra x = 128 - x 2 Û x = 8. Suy ra VS . ABCD £

A
4

D
128
. Chọn B.
3

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 116. Đặt OA = OC = x .
Tam giác vuông AOD, có

S


D

1
2
.2 x 1 - x 2 . 1 - x 2 = x (1 - x 2 ).
3
3

æ1 ö
2
÷=
.
Xét hàm f (x ) = x (1 - x 2 ) trên (0;1) , ta được max f (x ) = f çç ÷
çè 3 ÷
÷
(0;1)
ø 3 3

4 3
. Chọn D.
27
Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có
Suy ra Vmax =

2 x (1- x 2 )
3

=


S
2

AC = AD + AB =
Tam giác vuông SHA, có
SH =

Khi đó VS . ABCD

2

2

x + 16a .

AC 2
=
4

8a 2 - x 2
.
2
1
1
= S ABCD .SH = AB.AD.SH
3
3

SA 2 -


)

1
x 4- x2
AC .CB =
.
2
2
1
1
x 4- x2
Khi đó VS . ABC = SD ABC .SA =
3
6
1 æx 2 + 4 - x 2 ö
1
÷
÷
£ ççç
= . Chọn A.
÷
÷
6è
2
ø 3
Diện tích tam giác SD ABC =

(

)

Xét hàm f (x ) =

B
x

x

C
æ 2÷
ö
3
trên (0;1) , ta được max f (x ) = f ççç ÷
. Chọn D.
=
÷
÷
(0;1)
çè 3 ø 27

1 2
x 1- x 2
6

Cách 2. Ta có x 2 1 - x 2 =

1

A

1

Diện tích tam giác vuông SD ABC
Khi đó VS . ABC =

=

AB 2 + AC 2 =

S

2

15 - x
.
2
1
x
= AB.AC = .
2
2
SB 2 - BI 2 =

1
1 x 15 - x 2
SD ABC .SI = . .
3
3 2
2

C



x 2 + 1.

A
S

æa + x ö
÷
çç
÷
÷a.
èç 2 ø

1
S ABCM .SA
3

ö 2
1æ
a+ x ÷
a
.çç
.a÷
a - x 2 = (a + x ) a 2 - x 2 .
÷
ç
ø
3è 2
6



Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


M (SAD) ^ (ABCD)ị SH ^ (ABCD).

S

Gi s AD = x > 0 .
Suy ra HC =

HD 2 + CD 2 =

Tam giỏc vuụng SHC , cú SH =
Khi ú VS . ABCD =

x2
+ 16.
4
SC 2 - HC 2 =

20 -

x2
.
4

A

1


H

)

(1)

Ta cú


SN l ng cao ca tam giỏc u SBC ắ ắ
đ SN =



ỡùù BC ^ AN
ắắ
đ BC ^ (SAN ) ắ ắ
đ BC ^ SH .
ớ
ùùợ BC ^ SN

3
.
2

(2)

T (1) v (2) , suy ra SH ^ (ABC ).
Din tớch tam giỏc u ABC l SD ABC =

Tam giỏc BCD u cnh bng 2 3 đ BN = 3.
VABCD ln nht H N . Khi ú ANB vuụng.
Trong tam giỏc vuụng cõn ANB , cú

AB = BN 2 = 3. 2.

H

N

B
A
x
C

B

Chn A.

H

N

D
Cõu 125. T gi thit ta cú a = b + c .
2

Do OA, OB, OC vuụng gúc tng ụi nờn VOABC =
Du '' = '' xy ra b = c =



b
y

A

C

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht
x

a

B


Khi ú V =

(2 xy )(2 yz )(2 zx )
xyz
ắắ
đV2 =
6
288

(x 2 + y 2 )(y 2 + z 2 )(z 2 + x 2 )

a2b 2 c 2
abc 2
ắắ

. S . ABD =
2.m. 3.n

Mt khỏc mn =

6

mna 3
.
6
Ê

M

N

B
A

2m 2 + 3n 2
2 6

=

1
2 6

.

C

2ố a
đ
Do b > 0 ắ ắ

16
- a > 0 đ a < 4.
a

ử
1 ổ16
1
Khi ú th tớch ca khi hp V = a 2 . ỗỗ - aữ
= - a 3 + 8a .
ữ
ữ
ứ
2 ỗố a
2
Xột hm f (a ) = -

ổ 4 ử 64 3
1 3
a + 8a trờn (0;4) , ta c max f (a ) = f ỗỗ ữ
ữ=
.
ỗố 3 ữ
ữ
(0;4)
2
9


a 2 3 2 3V 2 3V
a 2 2 2 3V 2 3V
+
+
33
.
.
= 3 3 6 2V 2
2
a
a
2
a
a

a 2 3 2 3V 2 3V
=
=
a = 3 4V . Chn A.
2
a
a
Cõu 130. Gi O l tõm ca hỡnh thoi ABCD ị OA = OC .
Du '' = '' xy ra khi

Theo bi ra, ta cú D SBD = D CBD ị OS = OC .
T (1) v (2) , ta cú OS = OA = OC =
Suy ra OA =


D

C

(x 2 + 1)(3 -

Din tớch hỡnh thoi S ABCD = 2.OA.OB =

x2)

.
2
Ta cú SB = SC = SD = 1 , suy ra hỡnh chiu vuụng gúc H ca nh S trờn mt ỏy l tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD ắ ắ
đ H ẻ AC.
SA.SC
x
=
.
Trong tam giỏc vuụng SAC , ta cú SH =
2
2
2
SA + SC
x +1

Khi ú VS . ABCD =

1
3

. Chn C.
4
2
Cõu 131. Gi M l trung im ca BC , k AH ^ SM (H ẻ SM ).
(1)
Suy ra VS . ABCD Ê

Tam giỏc ABC cõn suy ra BC ^ AM . M SA ^ (ABC ) ị SA ^ BC .
Suy ra BC ^ (SAM ) ị AH ^ BC.

(2)

T (1) v (2) , suy ra AH ^ (SBC ) nờn d ộởA, (SBC )ự
ỷ= AH = 3.
S
3
.
Tam giỏc vuụng AMH , cú AM =
sin a
3
.
Tam giỏc vuụng SAM , cú SA = AM .tan a =
cos a
Tam giỏc vuụng cõn ABC , BC = 2 AM .
A
1
9
9
2
=

27 3
.
2

3
. Chn B.
3

Cỏch 2. t AB = AC = x; SA = y . Khi ú VS . ABC =
Vỡ AB, AC , AS ụi mt vuụng gúc nờn

2

C

1 2
x y.
6

1
1
1
1
1
1
=
= 2 + 2 + 2 33 4 2 .
9 d 2 ộởA,(SBC )ự
x
x

ợ
Tng t, ta cng cú BC ^ SD . T ú suy ra SD ^ (ABDC ) .
K DH ^ SC (H ẻ SC ) ắ ắ
đ DH ^ (SBC ).

S

ộ
ự
Khi ú d ộởA, (SBC )ự
ỷ= d ởD, (SBC )ỷ= DH .
t AB = x > 0.
Trong tam giỏc vuụng SDC , cú
1
1
1
1
1
1
=
+

=
+ 2.
2
2
2
2
2
DH


B

1
1 ax 3 2
a 2
x3
VS . ABCD = .
=
.
.
2
6 x 2 - 2a 2
6
x 2 - 2a 2

(

trờn a 2; + Ơ

) , ta c ( min ) f (x )= f (a 3) = 3
a 2 ;+ Ơ

3a 2 .

Chn B.
Cõu 133. Do tam giỏc OAB u cnh a ị F l trung im OB ị OF =
ỡù AF ^ OB
ị AF ^ (MOB ) ị AF ^ MB.
Ta cú ùớ

3
12 ỗố
2x ữ
12
ứ

a
.
2

M

O

A

E
F
B

N

a2
a 2
. Chn B.
x=
2x
2
Cõu 134. t AM = x, AN = y suy ra AM .AN = x. y = 1.
ng thc xy ra khi x =

ắắ
đ .2 xy = .
3
3
3
Du " = " xy ra khi v ch khi x = y = 1 . Chn D.

Ta cú VMNBC = VM . ABC + VN . ABC =

A

B
N

Cõu 135. t AC = x (0 < x < 2).

S
2

2

2

Tam giỏc vuụng ABC , cú BC = AB - AC = 4 - x .
Tam giỏc SAB cõn ti A , cú ng cao AH suy ra H l
SH
1
= .
trung im ca SB nờn
SB

ắắ
đ VS . AHK =

C

B

ử 2 x 4- x2
2
2 ổ
1
ữ
ỗ
.
V
=
.
S
.
SA
= .
.
ữ
ỗ D ABC
S . ABC
ữ
ứ 3 x2 + 4
x2 + 4
x 2 + 4 ỗố3



h
C

D
3
A

x

B

AÂB Â2 + BB Â2 = x 2 + h 2 .
3
ã ÂB = BC tan 30 0 =
x 2 + h 2 = 27.
Tam giỏc vuụng A ÂBC , cú tan CA
2
2
A ÂB
x +h
Â
Â
Â
Â
Â
Th tớch khi hp ch nht ABCD.A B C D l V = BB .S ABCD = 3 xh.
Tam giỏc vuụng A ÂB ÂB, cú AÂB =

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht

ù

Theo gi thit ta cú ớ
ùù a 2 + b 2 + c 2 = 6
ùợ
Ta cn tỡm giỏ tr ln nht ca V = abc .

ỡù ab + bc + ca = 18
ùớ
.
2
2
2
ợùù a + b + c = 36

2

Ta cú (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + bc + ca ) = 72 ị a + b + c = 6 2.
2

4 ộờ18 - a 6 2 - a ự
0 Ê a Ê 4 2.
ỳ
ở
ỷ
ộ
ự= a 3 - 6 2a 2 + 18a
Khi ú V = abc = a ộở18 - a (b + c )ự
ỷ= a ờở18 - a 6 2 - a ỳ
ỷ

)

(

max f (x ) = f
ự

(0;4

2ỳ
ỷ

( 2 ) = f (4 2 ) = 8

2.

Chn C.
3

ổa + b + c ử
ữ
= 16 2 thỡ sai vỡ du '' = '' khụng xy ra.
Nhn xột. Nu s dng V = abc Ê ỗỗ
ữ
ữ
ỗố
ứ
3
Cõu hi tng t. Cho hỡnh hp ch nht cú tng di tt c ỏc cnh bng 32 v di



= 32

ổb c
ử
ổb c ử
bc
ữ
ỗ
ỗỗ + + 1ữ
ữ
ữ
ữ = 32 ốỗỗa . a ứ
ữ.
ỗốa a
ứ
a2

ỡù b
ùù = x
3
(x + y + 1)
ùa
3
ắắ
đ (x + y + 1) = 32 xy xy =
.
t ùớ
ùù c
32

t 3 + 32t - 32
(x + y + 1)

x+ y+

32

2

Ta cú (x + y + 1) = 32 xy Ê 8 (x + y )
2

ắắ
đ t 3 Ê 8 (t - 1) ơ ắđ t 3 - 8t 2 + 16t - 8 Ê 0 ơ ắđ 2 Ê t Ê 3 +

5.

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Xột hm f (t ) =

1
t2
.
trờn on ộờ2;3 + 5 ự
, ta c max f (t ) = f (4 ) =
3
ỳ
ộ2;3+ 5 ự

SN +
SP ữ

SI
= ỗỗ
SM +
SN +
SP ữ
ữ
ữ
ữ
ữ.
SI
3 ỗốSM
SN
SP ứ
6 ốỗSM
SN
SP ứ
ử
1 ổSA SB SC ữ
SA SB SC
Do I , M , N , P ng phng nờn ỗỗ
+
+
= 1ô
+
+
= 6.
ữ

+
+
ữ
ữ
(
)
ữ
ữ
ỗốSM 2 SN 2 SP 2 ứ
ốỗSM SN SP ứ
36
18
Suy ra T
. Chn C.
=
2
2
2
7
SA + SB + SC
Cỏch trc nghim. Do ỳng vi mi hỡnh chúp nờn ta s chn trng hp c bit SA, SB ,
SC ụi mt vuụng gúc v ta húa nh sau: S O (0;0;0) , A(1;0;0) , B (0;2;0) v

ổ1 2 ử
ổ1 1 1 ử
đ I ỗỗ ; ; ữ
C (0;0;3). Suy ra G ỗỗ ; ;1ữ
ữ
ữ
ữắ ắ

1ử
1
1ử
18
ữ
ữ
ỗ
ỗ
đT
.
Ta cú 12 = ỗỗ . + . + . ữ
ữ
ữ
ữ
ữ Ê ốỗỗ 6 2 + 32 + 2 2 ứ
ữ.ốỗỗ a 2 + b 2 + c 2 ứ
ữắ ắ
ỗố6 a 3 b 2 c ứ
7
SK
Cõu 140*. Gi a =
(0 Ê a Ê 1).
SC
Vỡ mt phng (a ) di ng i qua cỏc im M , N v ct cỏc cnh SC , SD ln lt ti hai

im phõn bit K , Q nờn ta cú ng thc

ơ ắđ 2 +

SA SC


VS . MNKQ
VS . ABCD

=

C

ử 1 ổ4 a
1ổ
2 ử
2a
1
ữ
ỗỗSM . SN . SK + SM . SK . SQ ữ
= ỗỗ =
.
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2 ố SA SB SC
SA SC SD ứ 2 ố 3 a + 2 ứ 3 a + 2

Dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Xét hàm f (a ) =