TÀI LIỆU LỚP 10 CƠ BẢN.
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ TẬP HP.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. MỆNH ĐỀ:
1. Mệnh đề là một khẳng đònh đúng hoặc sai. Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: i) 2 + 3 = 5 là mđề đúng.
ii)
2
là số hữu tỉ. Là mđề sai.
iii) Mệt quá ! Không phải là mđề
2. Mệnh đề chứa biến:
Ví dụ: Cho mđề 2 + n = 5. với mỗi giá trò của n thì ta được một đề đúng hoặc sai. Mệnh đề như trên được
gọi là mđề chứa biến.
3. Phủ đònh của mđề:
Phủ đònh của mđề P kí hiệu là
P
. Nếu mđề P đúng thì
P
sai, P sai thì
P
đúng.
Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”

P
: “3 không là số nguyên tố”
4. Mệnh đề kéo theo:
Mệnh đề “nếu P thì Q” dglmđề kéo theo. Kí hiệu
P Q⇒
.
Mệnh đề
P Q⇒

là mệnh đề
Q P⇒
.
Chú ý: Mệnh đề
P Q⇒
đúng nhưng mđề đảo
Q P⇒
chưa chắc đúng.
Nếu hai mđề
P Q⇒
và
Q P⇒
đều đúng thì ta nói P và Q là hai mđề tương đương nhau. Kí hiệu
⇔P Q
6. Kí hiệu
∀ ∃,
∀
: Đọc là với mọi
∃
: Đọc là tồn tại
7. Phủ đỉnh của
∀
và
∃
:
Phủ đònh của
∀
là
∃
.

{ }
1 2 3 4 5= , , , ,A
b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó.
Ví dụ:
{ }
2
2 5 3 0= ∈ − + =:A x R x x
Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu
∅
.
Vậy :
≠ ∅ ⇔ ∃ ∈
:A x x A
3. Tập con:
⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈( )A B x x A x B
Chú ý: i)
⊂ ∀,A A A
ii)
∅ ⊂ ∀,A A
iii)
⊂ ⊂ ⇒ ⊂
,A B B C A C
4. Hai tập hợp bằng nhau:
= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈( )A B x x A x B
III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HP
1. Phép giao:
{ }
∩ = ∈ ∈/A B x x A va x B
Ngược lại:

∉

\
x A
x A B
x B
4. Phần bù: Khi
⊂B A
thì A\B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu C
A
B
.
Vậy: C
A
B
= A\B khi
⊂B A
.
IV. CÁC TẬP HP SỐ:
Tập số tự nhiên:
{ }
0 1 2 3 4= , , , , ,...N

{ }
1 2 3 4=
*
, , , ,...N
Tập số nguyên:
{ }
2 1 0 1 2= − −...., , , , , ,...Z

i)
[ ]
{ }
= ∈ ≤ ≤; /a b x R a x b
* Nửa khoảng:
i)
[
) { }
= ∈ ≤ <; /a b x R a x b
ii)
(
]
{ }
= ∈ < ≤; /a b x R a x b
iii)
[
) { }
+∞ = ∈ ≥; /a x R x a
iv)
[
) { }
−∞ = ∈ ≤; /b x R x b
Chú ý: i) R =
( )
−∞ +∞;
ii) Cách tìm hiệu (a ;b) \ (c ;d): Tô đậm tập (a;b) và gạch bỏ tập (c ;d). Phần tô đậm không bò gạch
bỏ là kết quả cần tìm.
B. BÀI TẬP:
I. MỆNH ĐỀ:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mđề chứa biến.

µ
A B=
” Q: “Tam giác ABC cân”
Bài 5: Cho các mđề kéo theo
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c ( a, b, c là những số nguyên )
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Tam giác cân có hai trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
a) Hãy phát biểu mđề đảo của các mđề trên.
b) Phát biểu mđề trên bằng cách sử dụng điều kiện đủ, điều kiện cần.
Bài 6: Phát biểu thành lời các mđề sau. Xét tính đúng sai và lập mđề phủ đònh của chúng.
a)
2
1/x R x∃ ∈ = − b)
2
2 0/x R x x∀ ∈ + + ≠
c)
1
/x R x
x
∃ ∈ <
d)
2
2/x Q x∃ ∈ =
e)
1/x R x x
∀ ∈ < +
Bài 7: Cho số thực x. Xét các mđề
P: “x là một số hữu tỉ”
Q: “x

a) ABCD là một hình bình hành
b) ABCD là một hình chữ nhật
c) ABCD là một hình thoi.
Bài 11. Xét tính dúng sai của các mệnh đề sau:
a)
2
0/x R x∀ ∈ ≤ b)
2
0/x R x∃ ∈ ≤ c)
2
1
1
1
/
x
x R x
x
−
∀ ∈ = +
−
d)
2
1
1
1
/
x
x R x
x
−

 
= ∈ < ≤
 
 
g)
{ }
2
2 5 3 0/G x R x x= ∈ − + =
h)
{ }
2
2 5 3 0/H x Z x x= ∈ − + =
i)
1 1
2 8
/ ,I x Q x voi N x
α
α
 
= ∈ = ∈ ≥
 
 
Bài 2: Xác đònh các tập sau bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng.
a)
{ }
2 6 12 20 30, , , ,A =
b)
1 1 1 1 1
2 6 12 20 30
, , , ,B

Bài 4: Tìm các tập hợp con của mỗi tập sau:
a)
∅
b)
{ }
∅
Bài 5: Xét quan hệ bao hàm của các tập sau:
A là tập hợp các tam giác.
B là tập hợp các tam giác đều.
C là tập hợp các tam giác cân.
Bài 6: Cho hai tập hợp:
{ }
6/A n Z n la uoc cua= ∈
{ }
12 18/B n Z n la uoc chung cua va= ∈
Xét quan hệ của hai tập trên.
Bài 7: Trong hai tập A và B dưới đây, tập nào là con của tập hợp còn lại. Hai tập hợp A và B có bằng nhau
không ?
a) A là tập các hình vuông.
B là tập các hình thoi.
b)
{ }
24 30/A n N n la uoc chung cua va= ∈

{ }
6/A n N n la mot uoc cua= ∈
Bài 8: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập sau:
A là tập các hình tứ giác
B là tập các hình bình hành
C là tập các hình vuông

Bài 3: Cho
{ } { }
1 2 3 4 5 2 4 6 8, , , , , , ,A B= =
Tìm A\B, B\A.
Bài 4: Cho
{ } { }
, , , , , , , , , ,A a e i o E a b c d i e o f= =
. Tính C
E
A
Bài 5: Cho

{ }
{ }
{ }
8
1 3 5 7
1 2 3 6
/
, , ,
, , ,
E x N x
A
B
= ∈ ≤
=
=
a) Tìm
, ,
A B A B

A B A B
E E
C C
∩ ∪
rồi tìm quan hệ giữa hai tập này.
c) Chứng minh rằng:
A B A
E E
C C
∪
⊂
Bài 7: Cho
{ }
{ }
{ }
6
15
30
/
/
/
A x N x
B x N x
C x N x
= ∈
= ∈
= ∈
M
M
M

Bài 13: Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Xét các mệnh đề nào sau đây là đúng.
) \ )
) ) \
a A B A b A A B
c A B A B d A B A
⊂ ⊂ ∪
∩ ⊂ ∪ ⊂
IV. CÁC TẬP HP SỐ
Bài 1: Xác đònh các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

[
) (
] [
) (
]
3 1 0 4 3 1 0 4) ; ; , ; ;a − ∪ − ∩
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2) ; ; , ; ;b −∞ ∪ +∞ −∞ ∩ +∞
Bài 2: Cho hai tập hợp:
( )
[
)
2 3 1 5; ;A B= − =
. Tìm
, , \ , \A B A B A B B A∪ ∩
Bài 3: Cho hai tập hợp:
{ } { }
2 1 5/ /A x R x B x R x= ∈ > = ∈ − < ≤
. Tìm
, , \ , \A B A B A B B A∪ ∩

y
Q x
• =
có nghóa
0( )Q x⇔ ≠
( )y P x• =
có nghóa
0( )P x⇔ ≥
( )
( )
P x
y
Q x
• =
có nghóa
0( )Q x⇔ >
( ) ( )y P x Q x• = +
có nghóa
0
0
( )
( )
P x
Q x
≥

⇔

≥


=
−
B
3
: Nếu tỉ số T > 0 thì hàm số tăng trên khoảng (a ;b).
Nếu tỉ số T < 0 thì hàm số giảm trên khoảng (a ;b)
3. Tính chẵn lẻ của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D.
* Hàm số y = f(x) đgl hàm số chẵn nếu
( ) ( )
x D x D
f x f x
∀ ∈ ⇒ − ∈


− =

* Hàm số y = f(x) đgl hàm số lẻ nếu
( ) ( )
x D x D
f x f x
∀ ∈ ⇒ − ∈


− = −

* Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ.
B
1
: Tìm tập xác đònh D của hàm số.

Tập xác đònh D = R
Hàm số hằng là hàm số chẵn.
Đồ thò là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b).
5. Hàm số
y x=
Tập xác đònh D = R.
Hàm số
y x=
là hàm số chẵn. Đồ thò đối xứng qua trục tung.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;+∞
và nghòch biến trên khoảng
( )
0;−∞
Bảng biến thiên:
Đồ thò:
III. HÀM SỐ BẬC HAI: y = ax
2
+ bx + c
1. Hàm số y = ax
2

Tập xác đònh D = R
Đồ thò là đường parabol có đỉnh O(0; 0), đối xứng qua trục Oy, bề lõm quay lên khi a > 0, quay
xuống khi a < 0.
2. Hàm số y = ax
2
+ bx + c .
Tập xác đònh D = R

•
•
2
b
a
−
4a
∆
−
•
4a
∆
−
2
b
a
−
a > 0 a < 0
3. Sự biến thiên của hàm số:
Nếu a > 0 thì hàm số nghòch biến trên khoảng
2
;
b
a
 
−∞ −
 ÷
 
và đồng biến trên khoảng
2

b
a
−

+∞
y
+∞

+∞

4a
∆
−
x
−∞

2
b
a
−

+∞
y

4a
∆
−

-
∞

) ) )
) ) )
) )
x x
a y b y c y x x
x x x
x x
d y e y x f y x x
x
x
x
g y h y x
x x
x
− −
= = = + − −
+ + −
− +
= = + − = + −
−
−
+
= = − −
+ −
−
Bài 2: Cho hàm số:
3 8 2
7 2
( )
x voi x

1;+∞
.
d) f(x) = x
2
+ 4x – 2 trên khoảng
( )
2;−∞ −
và trên khoảng
( )
2;− +∞
.
Bài 5: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
)a y x=
b) y = (x + 2)
2
c) y = x
3
+ x
d) y = x
2
+ x + 1 e) y = 3x
4
-4x
2
+ 3 f)
2
x
y
x
=

Bài 7: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số sau:
a) y = 2x – 7 b) y = -3x + 5 c) y = (x + 3)/2 d) y = (5 – x)/3
3 1 2 3 2 1) ) ) )e y x f y x g y x h y x= = − = − = − −
Bài 8: Vẽ đồ thò các hàm số:
2 2 1 1
1 2 2 4 1
) )
x voi x x voi x
a y b y
voi x x voi x
+ > + ≥
 
= =
 
≤ − + <
 
Bài 9: Viết pt đt (d) biết :
a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1).
b) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và song song với đường thẳng y = -2x +1.
c) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và vuông góc với đường thẳng y = 1/2x -3.
d) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và song song với trục Ox.
Bài 10: Xác đinh toạ độ đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol sau:
a) y = x
2
– 3x + 2 b) y = -2x
2
+ 4x – 3 c) y = x
2
– 2x d) y = -x
2

Bài 14: Xác đònh hàm số bậc hai y = ax
2
- 4x + c biết đồ thò của nó:
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3).
b) Có đỉnh I(-2; -1).
c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua P(-2; 1).
d) Có trục đối xứng là đường x = 2 và cắt trục hoành tại điểm M(3; 0).
Bài 15: Xác đònh hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c biết đồ thò của nó qua A(8; 0) và có đỉnh I(6; -12).
Bài 16: xác đònh a, b, c biết parabol y = ax
2
+ bx + c
a) Đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; -1), C(-1; 1).
b) Có đỉnh I(1; 4) và qua điểm D(3; 0)
c) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2, có tung độ của đỉnh bằng 9 và cắt trục tung tại điểm M(0; 5).
Bài 17: Biện luận theo m số nghiệm của pt sau:
a) x
2
– 3x + 5 = m b) -5x
2
+ 2x + 1 = m.
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH
I. Khái niệm phương trình.
1. Phương trình ẩn x là mệnh đề có dạng f(x) = g(x).
Nếu có số x
0
sao cho f(x
0
) = g(x

f(x)/h(x) = g(x)/h(x) với h(x)
0
≠
Nhân hoặc chia vào hai vế của pt với biểu thức h(x)
0
≠
mà không làm thay đổi điều kiện của pt thì ta
được pt mới tương đương.
Chú ý: Phép chuyển vế: f(x) + h(x) = g(x)
⇔
f(x) = g(x) –h(x).
6. Pt hệ quả: Cho hai pt: f(x) = g(x) (1) f
1
(x) = g
1
(x) (2)
Pt (2) đgl phương trình hệ quả của pt (1) nếu mọi nghiệm của pt (2) đều là nghiệm của pt (1).
Kí hiệu: (1)
⇒
(2)
7. Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế của pt thì ta được pt hệ quả.
ii) Khi giải pt mà dẫn đến pt hệ quả thì phải thử lại nghiệm vào pt ban đầu để loại nghiệm ngoại
lai.
II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI.
1. Giải và biện luận pt bậc nhất: ax + b = 0 (1)
B
1
: Đưa pt (1) về dạng ax = -b
B
2

2
,
b
x
a
− ± ∆
=
Nếu
∆
= 0 thì pt có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
Nếu
∆
< 0 thì pt VN.
Chú ý : Ta có thể dùng
∆
’
3. Đònh lí Viet:
Cho pt bậc hai có hai ax
2
+ bx + c = 0 (
0a ≠
) có hai nghiệm x
1
, x

2
(
0t ≥
)
4. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Các dạng cơ bản: i)
A B=
, ii)
A B=

Cách Giải 1: Dùng đònh nghóa trò tuyệt đối để bỏ trò tuyệt đối:
0
0
A neu A
A
A neu A
≥

=

− <

Cách Giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến pt hệ quả. Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm
ngoại lai.
Cách Giải 3: Dùng công thức:
A B
A B
A B
=


A B A B
≥ ≥
 
= ⇔
 
= =
 
2
0
B
B
A
A B
≥

= ⇔

=

III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN.
1. Pt bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (2). Trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không đồng thời bằng 0.
Cặp (x
0
;y
0
) được gọi là nghiệm của pt (2) nếu chúng nghiệm đúng pt (2).
2. Hệ hai pt bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c

=


+ =


+ + =

(pp Gausse)
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm điều kiện của pt sau:
2
2
2
2
2
1 1
1 3 3
2 1
2
4 2
1 2 3 3 1 3 2
1
2
3 5 4
2 1 2
9
3 6 11
x x
a) x b) x c) x

3 1
1 2 3 3 4 3 4
2
3 1 4
1 3 1 5 2 5
1 1
3 4 3 2 4 3
4 3 2 2 3
1 1
4 3 2
x
a) x x x b) x x x c)
x x
x
d) x x x e) x f) x x x
x
x
g) x x x h) x x x i)
x x
x x x x x
l) x m) x n) x
x x
x x
− + = − + + = − = − + =
− −
+
− − = − + = − − − = + −
− +
+
+ + = + + − − = + − =

x x x
g) h) x x i)
x x x x
x
x
l) x
x
+ − +
+ = + + = + =
− − + + − −
− − − − + +
= − = − =
− − − −
+
= = + + =
+ + − +
+
+
= +
−
Bài 4: Cho pt (x + 1)
2
= 0 (1) và pt chứa tham số a: ax
2
– (2a + 1)x + a = 0 (2).
Tìm giá trò của a sao cho pt (1) tương đương pt (2).
Bài 5: Xác đònh m để mỗi cặp pt sau tương đương.
a) 3x – 2 = 0 và (m + 3)x – m + 4 = 0
b) x + 2 = 0 và m(x
2

2
mx
m
x
+
+ − =
−
g) x
2
+ 3x – 4 = 0 và mx
2
– 4x – m + 4 = 0
Bài 6: Giải các pt sau:
2
2
2
2 2
2
2 2
1 2 1 1 2 3
3 3 2 0
1 1 2 2
1 4 3
1 2 0 2 1
2 2 1 1
3 2 1 2 6 3 5 3
2 3 1
1 1 2 2 2 3 2 3
4 2 3 2 2
1

l)
x x x
− +
− = +
− + −
Bài 7: Giải các pt sau:
2
2
2 2 1 1 2 1
1 2 2 1 2 2 2 1
2
2
1 1 1 1 2 2
1
1
3 2 1 2 3 2
2 2
3 2 2 3 2 1 5 2 2 5 5 1
5 6 6 2 5 2 3 2 1
4
a) x x b) x x c) x x
d) x x e) x x f) x x
x x x
x x x
g) h) i)
x x x x x x
x
x
j) l) x x m) x x
x x

+ 2)x – 2m = x – 3 i)
m(x – m) = x + m – 2 j) m
2
(x – 1) + m = x(3m – 2)
k)
2 3
2 1
1
(m )x
m
x
− +
= −
+
l)
2 1
1
( m )x m
x m
x
+ −
= +
−
m)
3 2 5
3
( m )x
x m
− −
= −

+ (m
2
- 3)x + m = 0.
a) Xác đònh m để pt có nghiệm kep. Tìm nghiệm kép đó.
b) Với m nào thì pt có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả:
1 2
13
4
x x+ =
Bài 12: Cho pt: (m + 2)x
2
+ (2m + 1)x + 2 = 0.
a) Xác đònh m để pt có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.
b) Với m nào thì pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 13: Cho pt: 9x
2
+ 2(m
2
-1)x + 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng với m > 2 pt có 2 nghiệm phân biệt âm.
b) Với m nào thì pt có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả:
1 2

1
, x
2
mà
1 2
3x x+ =
.
Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Bài 18: Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả
ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mổi rổ lúc ban đầu là
bao nhiêu ?
Bài 19: Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây. Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800. Lan
mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt , quả cam.
Bài 20: Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai
do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây
chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo.
Bài 21: Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người
thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì
chỉ còn lại 1/18 bức tưòng chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn
xong bức tường.
Bài 22: Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân
số thứ hai bằng phân số thứ ba. Còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ
ba. Tìm các phân số đó.
Bài 23: Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất đònh. Vì phân xưởng
tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với đònh mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì
phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì
khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm.
Bài 24: Hai người quét san. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét 1 mình thì
người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy
giờ.

x y
x y z
x y z
x y z
d) y z e) x y z f) x y z
x y z x y z
z
x y z
g) x y z
x y z

+ =

− = + =
 

  
+ = − =
 

− =



+ − = −
 + + =

+ + =



1. Bất đẳng thức có dạng: A > B, A < B,
A B,A B≥ ≤
.
2. Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề
A B C D
< ⇒ <
đúng thì ta nói bđt C < D là bđt hệ quả của bđt A
< B.
3. Bất đẳng thức tương đương: Nếu bđt A < B là hệ quả của bđt C < D và ngược lại thì ta nói hai bđt
tương đương nhau. Kí hiệu:
A B C D< ⇔ <
.
4. Các tính chất:
a) Tính chất bắc cầu:
A B<
và
B C<

A C⇒ <
.
b) Cộng hai vế của bđt với một số:
A B A C B C
< ⇔ + < +
c) Nhân hoặc chia hai vế bđt với một số:
A B A.C B.C< ⇔ <
với C > 0 (Nhân hoặc chia với số âm thì bđt đổi chiều)
A B A.C B.C< ⇔ >
với C < 0 (Nhân hoặc chia với số dương thì bđt không đổi chiều)
d) Cộng hai bđt cùng chiều:
A B

0
n n
A B A B< < ⇔ < (n là số nguyên dương)
g) Khai căn hai vế của một bđt:
3 3
A B A B< ⇔ <
0 A B A B< < ⇔ <
5. Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a và b không âm: ta có
2a b ab+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
6. Các hệ quả:
1
2 0i) a , a
a
+ ≥ ∀ >
ii) Cho hai số x > 0, y > 0. Nếu x + y không đổi thì x.y lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
iii) Cho hai số x > 0, y > 0. Nếu x.y không đổi thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
7. Bất đẳng thức chứa giá trò tuyệt đối:
0
0
0
i) x , x x, x x
ii) x a a x a, a
iii) x a x a x a, a
iv) a b a b a b
≥ ≥ ≥ −
≤ ⇔ − ≤ ≤ ∀ >
≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ∀ >
− ≤ + ≤ +
8. Các phương pháp chứng minh bđt:
i) Dùng đònh nghóa: Muốn chứng minh A > B thì ta cần chứng minh: A – B > 0.