ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I
MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2018-2019
A - LÝ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ:
Chương I. CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai
a) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
 x ≥ 0

b) Với a ≥ 0 ta có x = a ⇔ 

 x 2 =

( a)

2

= a

c) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ⇔ a < b
A neu A ≥ 0

2
d) A = A = −A neu A < 0

2) Các công thức biến đổi căn thức
1. A 2 = A

3.

A

(B > 0)
B
B

(

9.

C
C
=
A± B

)

(

Am B
A−B

) (A, B

≥ 0, A ≠

B)
* CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
A. Các bước thực hiên:
 Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)
Quy đồng, gồm các bước:


a = a '
b ≠ b'

(d) // (d') ⇔ 

(d) ∩ (d') ⇔ a ≠ a'
(d) ⊥ (d') ⇔ a.a' = − 1
6) Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:
Khi a > 0 ta có tanα = a
Khi a < 0 ta có tanα’ = a (α’ là góc kề bù với góc
* Các dạng bài tập thường gặp:


- Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai
đường thẳng
song song; cắt nhau; trùng nhau.
Phương pháp: Xem lại lí thuyết
-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay
giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ
giao điểm của hai đường thẳng.
Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng:
Phương pháp:
+Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không
tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S.
-Dạng 3: Tính góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
Xem lí thuyết.

 Hệ thức giữa cạnh và đường cao:Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ a2 = b2 + c2
+ b 2 = a.b , ; c 2 = a.c ,
+ a = b, + c,
+ h 2 = b , .c ,
b 2 b, c 2 c,
+ a.h = b.c
+ 2 = , .; 2 = ,
1
1 1
c
c b
b
+ 2= 2+ 2
h

c
D
K
D
K
Tỷ số lượng giác: Sin = ; Cos = ; Tg = ; Cotg =
H
H
K
D

Tính chất của tỷ số lượng giác:
1/ Nếu α + β = 90 0 Thì:


1. Quan hệ giữa đường kính và dây:
+ Đường kính (hoặc bán kính) ⊥ Dây ⇔ Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau ⇔ Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn ⇔ Dây gần tâm hơn.


 Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn:
+ Đường thẳng không cắt đường tròn ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (d là khoảng
cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn).
+ Đường thẳng cắt đường tròn ⇔ Có 2 điểm chung ⇔ d < R.
+ Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ⇔ Có 1 điểm chung ⇔ d = R.
 Tiếp tuyến của đường tròn:
1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó.
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán
kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của
một đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.
B- BÀI TẬP
Bài 1:
a) Tính: 20 − 45 + 3 80
18. 2 + 81
b) Tìm x để 2 x − 1 có nghĩa?

Bài 2:
a) Tính: ( 12 + 2 27 − 3 3) 3
b) Tính: 20 − 45 + 3 18 + 72
c) GPT: ( 2 x − 1) = 3
2


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A có giá trị bằng 6.


a + a 

a− a 

÷ 2 −
÷
Bài 5: Cho biểu thức: P =  2 +
a + 1 ÷
a − 1 ÷


a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P

c) Với giá trị nào của a thì P có giá trị bằng

2 −1
.
1+ 2

Bài 6:
Cho biểu thức: P =

x x −8
x+2 x +4


trên.
Bài 10: Cho hàm số y = (4 – 2a)x + 3 – a (1)
a) Tìm các giá trị của a để hàm số (1) đồng biến.
b) Tìm a để đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng y = x – 2.
c) Vẽ đồ thị của hàm số (1) khi a = 1
Bài 11: Viết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm M(2;1)
Bài 12: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Bài 13:
a) Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính..
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d1) với trục Ox.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông
trên cạnh huyền
b) Tính AH biết BH = 4cm; HC = 9cm
Bài 15: Giải tam giác vuông ABC, biết góc A = 900; AB = 5cm; góc C = 300.
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 9cm ; AC = 12cm .
a)Tính số đo góc B (làm tròn đến độ) và độ dài BH.
b) Gọi E; F là hình chiếu của H trên AB; AC.Chứng minh: AE.AB = AF.AC.
Bài 17: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ đường tròn tâm K đường
kính OB.
a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau.


b) Vẽ dây BD của đường tròn (O) ( BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn
(K) tại M.Chứng minh: KM // OD
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông ở A có ·ABC = 600 và AB = 8cm .Kẻ đường cao AH

Bài 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)
20 − 45 + 3 80
= 4.5 − 9.5 + 3 16.5
= 2 5 − 3 5 + 3.4 5
= 11 5
18. 2 + 81 = 36 + 81 = 6 + 9 =15

b) 2 x − 1 có nghĩa khi: 2x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
Bài 2

1
2

a) ( 12 + 2 27 − 3 3) 3 = 6 + 2. 9 – 3.3 = 15
b
20 − 45 + 3 18 + 72
= 4.5 − 9.5 + 3 9.2 + 36.2
= 2 5 −3 5 +9 2 +6 2
= − 5 + 15 2


( 2 x − 1)

2

=3



÷

x +1 ÷
x −1 ÷




x x + 1 
x x −1

÷1 −
= 1+

x + 1 ÷
x −1



(

(

)

)(

)



Bài 5

a) Điều kiện:


{ a a≥−10 ≠ 0 ⇔ { aa ≥≠ 10

a + a 

a− a 

÷ 2 −
÷
b) P =  2 +
a + 1 ÷
a − 1 ÷



a ( a + 1) 
a ( a − 1) 
=  2 +
2
−
÷
÷
a + 1 ÷
a − 1 ÷


1
2P
=
=
−2
=
1− P
1 − (1 − 2 x )
x
x
1
∈Ζ ⇔ x =1
Q∈ Ζ ⇔
x

Q =

Bài 7

a) Rút gọn biểu thức P.
P=

x − 2 x +1  x + x 
.
+ 1÷ , với x ≥ 0 và x ≠ 1
x − 1  x + 1 ÷


( x − 1) 2  x ( x + 1) 
.

⇔
⇔ −1 ≤ x ≤
 2 x − 1 ≤ 0
2
  x ≤ 1

2

  x + 1 ≥ 0
  x ≥ −1

1
Kết hợp điều kiện, suy ra: 0 ≤ x ≤
2

Bài 8
a) Vẽ đồ thị hàm số:
x
y=
-2x+3

0
3

1
2

1,5
0


3

A

3
0

2
1

x
-1

O

1

3

b) Nhìn trên đồ thị ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(1 ; 2)
c) Đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng trên khi nó đi
qua điểm A(1 ; 2).


Ta có:

2 = m.1 + m − 1
3
⇔m=
2

1

B
O
-1

Bài 11 Viết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm
M(2;-1)
Bài 12 Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1
Bài 13 a) Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính..
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d1) với trục Ox.
Bài 14 a) AH2 = BH.CH
b) AH2 = 4.9 = 36 => AH = 6 (cm)
Bài 15 Xét tam giác ABC vuông A ta có:
B
µ = 900 − 300 Þ
B

µ = 600
B
AC = AB.tan600 Þ AC = 5.tan600
Þ AC ≈ 8,660 cm.
AB
Þ BC ≈ 10 cm.
BC =
Sin300


AC 12 4
µ ≈ 530
= = ⇒Β
AB 9 3

b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC
∆ ABH vuông tại H, đường cao HE ⇒ AH2 = AB. AE
∆ ACH vuông tại H, đường cao HF ⇒ AH2 = AC. AF
Vậy: AE.AB = AF.AC
Bài 17
D

M

K

A

B

O

a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau.
Ta có: K là tâm đường tròn đường kính OB
Nên: K là trung điểm của OB
⇒ OK + KB = OB
⇒ OK = OB – KB
Hay: OK = R – r
Vậy: hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc trong tại B

A

AH .BC = AB. AC

⇒ AH =

AB. AC 8.8 3
=
= 16 (cm)
BC
4 3

Bài 19 a) Chứng minh: CD = AC+BD
Ta có:
CM = CA ( CM; CA là 2 tiếp tuyến)
DM = DB ( DM; DB là 2 tiếp tuyến)

y

x

D
M
C
N
A

Cộng theo vế ta được:

O

BD
CM
=
⇒ MN / / BD (định lí đảo Talet)
MD

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
Ta có : Tam giác COD vuông; có OM là đường cao nên:
CM.MD = OM 2 = R 2 ( không đổi)
Mà CA = CM và BD = DM (cmt)
Nên CA.BD = R 2 ( không đổi) khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
C

Bài 20

B

H
O

A
a

Chứng minh:
a) Gọi H là giao điểm của OC và AB
∆ AOB cân tại O ( vì OA = OB = R) có OH là đường cao
⇒ OH là đường phân giác
·
·
⇒ BOC

Bài 21

Chứng minh :

1
1
1
=
+
2
2
ΑΒ
AΕ
ΑF 2


B
F
E
A

C

D
M

Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với AF, đường thẳng này cắt
đường thẳng CD tại M
Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( vì ∠ EAM = ∠ ECM = 900)
⇒ ∠ AME = ∠ ACE = 450 ( ∠ ACE = 450 : Tính chất hình vuông)