Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN THỌ
=========================

TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIU ÔN TP HC K 2
U ÔN TP HC K 2U ÔN TP HC K 2
U ÔN TP HC K 2 VÀ THI T
VÀ THI TVÀ THI T
VÀ THI TT NGHIP THPT 2012
T NGHIP THPT 2012T NGHIP THPT 2012
T NGHIP THPT 2012 MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN



Giáo viên :
Giáo viên : Giáo viên :
Giáo viên : NGUY
NGUYNGUY
NGUYN BÁ TUN
N BÁ TUNN BÁ TUN
N BÁ TUN NĂM HỌC : 2011 – 2012
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 2
PHẦN GIẢI TÍCH
Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Giả sử hàm số
( )
f x
liên tục trên khoảng
( ; )
a b
và
0
( ; )
x a b
∈ .
A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị :
Nếu
( )


là điểm CĐ của
( )
f x
b)
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
< ∀ ∈

⇒

> ∀ ∈

là điểm CT
của
( )
f x

2. ĐL 2 :
a)
0
0
0
'( ) 0

( )
f x

Ví dụ : Tìm cực trị của các hàm số sau :
a)
4 2
2 3
y x x
= + −
b)
1
y x
x
= +
c)
3 2
(1 )
y x x
= − d) sin 2

y x x
= −

Gi
ả
i : a) TX
Đ
: D = R;
3 2
' 4 4 4 ( 1), ' 0 0

ố

Bài tập :
1- Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
3 2
2 3 36 10
y x x x
= + − −
b)
3
( 1) (5 )
y x x
= + −
c)
2
1
8
x
y
x
+

=
nh
ư
ng v
ẫ
n
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó.
3- CMR v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố

đị
nh m
để
hàm s
ố

3 2
2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 
 
có c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
1
x
=
. Khi
đ
ó hàm s
ố



đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1
x
=

Luyện tập :
1- Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
4 2
2 3
y x x
= + −
b)
9

1
n
f x x m
x
= + +
+
đạt cực đại tại điểm
2, ( 2) 2

x f
= − − = −
.
4- Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= − + − +
đạt cực tiểu tại điểm
0
2
x
=

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 3
5- Cho hàm số
2 2
(1)
x mx m

D
M f x
= nếu ( ) ,
f x M x D
≤ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D
∈
sao cho
0
( )
f x M
=

• Số
min ( )
D
m f x
= nếu ( ) ,
f x m x D
≥ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D
∈
sao cho
0
( )
f x M

{
}
min ( ), ( ), ( )
i
f a f x f b

3- Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng
( ; )
a b
:
( )
f x
liên tục trên
( ; )
a b

x

a
0
x

b

x

a
0
x


Ví dụ : Tính GTLN và GTNN của hàm số :
a)
3 2
( ) 2 3 12 10
f x x x x
= − − +
trên đoạn [-3; 3] b)
4 2
( ) 3 2
f x x x
= − +
trên đoạn [2; 5]
c)
2
( ) 25
f x x
= −
trên đoạn [-4; 4] d)
( ) 2sin sin 2
f x x x
= +
trên đoạn
3
0;
2

π
 
 
 

n [-3; -2]
c)
2
( )
4
x
f x
x
=
+
trên kho
ả
ng
( ; )
−∞ +∞
d)
1
( )
sin
f x
x
= trên kho
ả
ng
(0; )
π

2- Trong s
ố
các hình ch

2
4
1
y
x
=
+
b)
3 4
4 3
y x x
= −
5- Tính GTNN c
ủ
a các hàm s
ố
: a)
| |

y x
=
b)
4
( 0)
y x x
x
= + >

Luyện tập :
1- Tìm GTLN và GTNN c

f x x x
= −
d)
3
( ) sin cos2 sin 2
f x x x x
= − + +
.
e)
( ) 2
x
f x
=
trên
đ
o
ạ
n
[
]
1;2
−
f)
ln
( )
x
f x
x
= trên đoạn [1 ; e
2

2- S
ự
bi
ế
n thiên :
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 5
a- Chiều biến thiên
• Tính
'
y

• Tìm các nghiệm của phương trình
' 0
y
=
và các
điểm tại đó
'
y
không xác định
• Xét dấu
'
y
và suy ra chiều biến thiên của hàm
số.
b- Tìm cực trị
c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +∞,
−∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm

y
x
=

= ⇔

=

;
0
' 0
1
x
y
x
<

> ⇔

>

,
' 0 0 1
y x
< ⇔ < <

Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0)
và (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 1)
• Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại

i vô c
ự
c :
lim ; lim

x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

•

B
ả
ng bi
ế
n thiên :
x
-∞ 0 1 +∞
y’
+ 0 − 0 +

y
-2 +∞

-∞ -3

3)
Đồ
th

hàm s
ố

4 2
2 2
y x x
= − +

TX
Đ
: D = R
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
= − = −

0
' 0
1
x
y
x
=

= ⇔

= ±

x
y
x
+
=
−TX
Đ
: D = R \ {1}
2
4
' 0, 1
( 1)
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
'
y
không xác
đị
nh
khi
1
x
=


+
= = +∞
−

Do
đ
ó,
đ
t
1
x
=
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
3
lim lim 1
1
x x
x
y
x
→±∞ →∞
+
= =
−

C
là đồ thị của hàm số
( )
y g x
=
. Số nghiệm của
phương trình
( ) ( )
f x g x
=
bằng số giao điểm của
1
( )
C
và
2
( )
C
, tọa độ giao điểm là nghiệm của PT
( ) ( )
f x g x
=
.
2- Viết phương trình tiếp tuyến :
Giả sử hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị là
( )

tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm. Nghiệm của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ : Cho hàm số :
4
2
9
2
4 4
x
y x
= − −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số :
2
2
y k x
= −
Giải :
a) TXĐ : D = R;

3
' 4 '( 3) 15, '(3) 15
y x x y y
= − ⇒ − = − =

P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt
là :

15( 3)
y x
= − +
và
15( 3)
y x
= −

c)
4
2 2 4
9
2 2 4 9
4 4
x
x k x x k
− − = − ⇔ = +

Từ đó ta có :
9
:
4

4
k
< −
(C) và (P) không c
ắ
t
nhau
Bài tập :
1 - Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
3 2
9
y x x x
= + +

y
x
− +
=
+

2- a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
:
3
3 1
y x x
= − + +

b) D
ự

2
x
y
x
+
=
+

a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
b) Vi
ế
t ph

ị
là
( )
m
C

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 7
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là
1
x
= −

b) Xác
đị
nh m
để

( )
m
C
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i
2

ố

đ
ã cho.
b) Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2
y x
= +

x
y
x
+
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
5
−
.
4- Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
x x
− +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
5- Cho hàm số
3 2
6 9 6
y x x x
= − + −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
8- Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng 2
y x m
= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng
3
( O là gốc tọa độ).
9- Cho hàm số
3 2
( 4) 4
y x m x x m
= − + − +

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m
b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0

lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm
m
để tổng
1 2
k k
+

đạt giá trị lớn nhất. Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ :
1. Phương trình cơ bản :
( 0, 1)

x
a b a a
= > ≠

Nếu
0:
b
≤
PT vô nghi
ệ
m
N
ế
u
0:

ụ
ng các ph
ươ
ng pháp :
đư
a v
ề

cùng c
ơ
s
ố
,
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
, l
ấ
y lôgarit hai v
ế
(lôgarit hoá)
b) Ph
ươ
ng trình có th
ể
gi
ả
i b


a
x b a a
= > ≠Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a PT :
0
x
>
, PT luôn có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
b
x a
=

2. Phương trình mũ đơn giản :
a) Ph
ươ
ng trình có th

n ph
ụ
, m
ũ
hoá hai v
ế
.
b) Ph
ươ
ng trình có th
ể
gi
ả
i b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp
đồ
th
ị
.
Các ví dụ :
1. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình m
ũ
sau :

−
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

b)
2
8 8 1
64 8 56 0 8 8 56 0 1
8 7 ( )
x
x x x x
x
x
x
VN

= ⇔ =
− − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −


c)
2 2
2 3
3.4 2.6 9 3.2 2.2 3 3 3. 2
3 2
x x
x x x x x x x
   
− = ⇔ − = ⇔ − =

= ⇔ = ⇔ =

 
 

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −



3. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình lôgarit sau :
a)
3 3
log (5 3) log (7 5)
x x
+ = +
,
Đ
K :
3
5
x
> −
. PT
5 3 7 5 1


= −


c)
2
log( 6 7) log( 3)
x x x
− + = −
;
Đ
K :
2
6 7 0
3 2 3 2
3 2
3 0
3
hoaëc
x x
x x
x
x
x


− + >
< − > +

⇔ ⇔ > +

log( 5) log5 log
2 5
x x x
x
+ − = + ;
Đ
K :
21 1
2
x
−
>
PT
2 2 2
2
log( 5) 0 5 1 6 0 2
3 ( loaïi)
x
x x x x x x x
x
=

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −


b)
4 8
2

=
b)
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 
 
c)
1
7 2
x x
−
=

d)
4 2 1
2 2 5 3.5
x x x x
+ + +
+ = + e)
4.9 12 3.16 0

+ = + b)
5 3
3
log ( 2).log 2log ( 2)
x x x
− = −
c)
log9 log
9 6
x
x
+ =

d)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
x x+
+ + =
e)
2 5
1 2log 5 log ( 2)
x
x
+
+ = +

3. CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm
1
x

x x x
a b a b a b
≥ < ≤
với
0, 1
a a
> ≠
.
Xét BPT
x
a b
>
:
• Nếu
0
b
≤
, tập nghiệm của BPT là
ℝ

• Nếu
0
b
>
và : (BPT
log
a
b
x
a a⇔ > )

với
0, 1
a a
> ≠
.
Xét BPT log
a
x b
>
:
+
1:
a
>
log
b
a
x b x a
> ⇔ >

+
0 1:
a
< <
log 0
b
a
x b x a
> ⇔ < <


Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 10
c)
2
2 1 0
4 3.2 2 0 2 3.2 2 0
1
2 2
x
x x x x
x
x
x

< <

− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔


>
>



2. Gi
ả
i các BPT lôgarit sau :
a)
8

2
2
3
2 3 0
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >

− − >


c)
2
3 3
3
0
0
log 5log 6 0 9 27
2 log 3
9 27
x
x
x x x
x

4
4
4 3
x
x x
<
−
c)
| 2|
3 9
x−
<
d)
16 4 6 0
x x
− − ≤

2. Giải các BPT lôgarit sau :
a)
1
3
log ( 1) 2
x
− ≥
b)
2
1
2
log ( 2 8) 4
x x

u
>
1
m
b) CMR :
+ >
m m m
a b c
, n
ế
u
< <
0 1
m

HD
: S
ử
d
ụ
ng tính ch
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
m
ũ
:
x

m m
m m m
a b
a b c
c c

Do :
1, 1
a b
c c
< <
. Suy ra : n
ế
u
1
m
>
thì
1
1
m
a a a
m
c c c
   
> ⇔ < =
   
   
và
m

1
2
a a a
A
a
a a a
 
+ − +
 
= −
 
−
 
+
 
2/
3 3 32 2 2 2
3 3
3
3 3
3 2
3
2
:
a a a b a b a b ab
B a
a b
a ab
 
− + −


Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/
5
4 1024
x
=
2/
1 3
1
8
32
x−
=
3/
2
5 6
3
1
2
x x− +
 
=
 
 
4/
3 7 7 3
9 7
49 3
x x

Bài 3 : Tính
1/
5 27
1
log .log 9
25
A
= 2/
3
2
log 2
log 3
4 9
B
= + 3/
9 8
log 2 log 27
27 4C = + 4/
3 8 6
log 6.log 9.log 2
D =
Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi :
1/ Cho
25 2
log 7 , log 5

a b
= =
. Tính
5

y x e
−
= + 3/
cos
2
x x
y e
= 4/
3
1
x
y
x
=
+

5/
2
ln(2 3)
y x x
= + +
6/
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +
7/
ln(2 1)
2 1
x

= 3/
1 3
( 2) ( 2)
x x
x x
− −
+ = +
4/
( ) ( )
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
− + +
+ = +

Bài 8 : Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ) :
1/
9 5.3 6 0
x x
− + =
2/
2
2.2 15.2 8 0
x x
+ − =
3/
1 2

x x x
+ − =

Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
3
log (2 1) 2
x
− = −
2/
2 2
log ( 2) log ( 2) 2
x x
+ − − =
3/
2
2 2
5
log log ( 25) 0
5
x
x
x
−
+ − =
+

4/
2
log (9 2 ) 3

3/
3 9
3
4
(2 log ).log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−

Bài 12 : Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
1/
3 6
2 1
x
−
>
2/
5
log (3 1) 1
x
− <

3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0
x x x
− + + − ≥
Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I- Nguyên hàm :
1. Phương pháp đổi biến số :
[ ( )]. ( ) [ ( )]
f u x u x dx F u x C
′
= +
∫

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
udv uv vdu
= −
∫ ∫

II- Tích phân :
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
∫
b
b
a
a

a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫III. Diện tích hình phẳng :
1. Giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành :
b
a
S f x dx
( )
=
∫2. Giới hạn bởi hai đường cong :
b
a
S f x f x dx
1 2
( ) ( )
= −
∫Nếu trên [
α
;

1- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a)
2
( ) 3
2
x
f x x
= +
b)
1
3
( )
f x x
=
c)
2
( ) cos
f x x
=
d)
2
( ) 10
x
f x
=
e)
3 2
2
3 3 1
( )

2
4sin
xdx
∫
e)
2
2 1
3 2
x
dx
x x
+
+ +
∫

3- Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của :
a)
2
3
9
( )
1
x
f x
x
=
−
b)
1
( )

f x x x
=
c)
e
( )
x
f x x
=
d)
3
( ) ln(2 )
f x x x
=

Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1- a)
2
( ) 3 7 3
f x x x
= −
b)
( ) cos(3 4)
f x x
= +
c)
2
1
( )
cos (3 2)
f x

3
( )
x
f x x
=
d)
e
3 9
( )
x
f x
−
=

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 13
3- a)
2
( ) cos2
f x x x
= b)
( ) ln
f x x x
= c)
4
( ) sin cos
f x x x
= d)
2

−
∫

e)
2 2
( 0)
dx
a
x a
≠
−
∫
f)
2
cos
cos 1 sin
dx xdx
x x
 
=
 
−
 
∫ ∫
g)
sin
dx
x
∫
h)

0
( 1)
x
e dx
+
∫

1
1
( )
x x
e e dx
−
−
−
∫

1
2
1
2 1
1
x
dx
x x
−
+
+ +
∫


−
∫

3
2
0
4
1
x
dx
x +
∫

2- Tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n :
1
ln
e
x xdx
∫

( ln , )
u x dv xdx
= =

2
0


1
cos
x
e xdx
π
∫

2
0
sin cos
x x xdx
π
∫

2
0
2 sin
x xdx
π
∫3- Tính các tích phân sau :

dx
x x
1
2
0

0
x
x
dx
e
∫

2
3
ln
e
e
dx
x x
∫

5
1 2
2 1
x x dx
−
∫

2
2
0
( cos )sin
x x xdx
π
+

(1 cos )
x x dx
π
+
∫

1
0
(2 )
x
x xe dx
+
∫

5- Tính các tích phân:

dx
x x
2
1
2
1
( 1)
+
∫

x x dx
2
2
0

x
e x
dx
xe
1
0
(1 )
1
+
+
∫

a
dx
a x
2
2 2
0
1
−
∫

x xdx
2
0
( 1)sin
π
+
∫



64
3
1
1+
∫
x
dx
x

2
2 3
0
∫
x
x e dx

0
1 sin2
π
+
∫
xdx

2
2
0
cos2 sin
π
∫

∫

1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫

1
3
2 ln
e
x xdx
x
 
−
 
 
∫DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

π
π
= − = = =
2- Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
2
2 2
y x x
= − +
, ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i nó t
ạ
i
đ
i
ể

b)
4 2
4
x
y
x
−
=
−
và hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
4- Tính hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau:
a)
3 2
1

ỗ
i hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau
đ
ây
khi nó quay xung quanh tr
ụ
c
Ox
:
a)
2
0; 2
y y x x
= = −
b) sin ; 0; 0;
4
y x y x x
π
= = = =
c)

.
3- Tính th
ể
tích các kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o thành khi quay hình ph
ẳ
ng xác
đị
nh b
ở
i :
a)
2 3
2 ,
y x y x
= =
quanh tr
ụ
c
Ox
b)
2
2 , 0
y x x y
= − + =
quanh tr
ụ

ụ
c Ox. Chủ đề 7 :
SỐ PHỨC

1- Tìm các s
ố
th
ự
c
x, y
tho
ả
:
a)
iyxiyx
)5()1()12()23(
−
−
+
=
+
+
−
b)
iyix )31(53)21( −+=−−
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam

−
=
1
1
d)
i
i
z
−
−
=
3
31

e)
i
i
z
−
+
+
=
1
1
1
1
f)
2012
3
1 3

c
a)
31
4
i
z
+
= b)
26
1
i
z
+
= c)
( )
4
3
31
)1(
i
i
z
+
+
=
4- Tìm s
ố
ph
ứ
c z tho

izz 43+=+

d)
(
)
(
)
0124
2
2
2
=−+++ zzzz6- Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a) iizi 37)54()23(
+
=
+
+
−
b) ziizi )2()52()31(
+
=
+
−

t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
, tìm t
ậ
p h
ợ
p
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ề

•

Th
ể
tích V c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ
có di
ệ
n tích
đ
áy B và chi
ề
u cao h là :
V Bh
=

•

Th
ể
tích c
ủ
a kh
ố

ằ
ng tích ba kích th
ướ
c c
ủ
a nó.
•
Chú ý
:
a) T
ỷ
s
ố
th
ể
tích c
ủ
a hai kh
ố
i
đ
a di
ệ
n
đồ
ng d
ạ
ng b
ằ
ng l

n
l
ượ
t l
ấ
y ba
đ
i
ể
m A’, B’, C’ khác v
ớ
i S. Khi
đ
ó :
. ' ' '
.
' ' '
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
= ⋅ ⋅
Ví dụ :
1) Cho kh
ố
i chóp tam giác
đề
u S.ABC có
đ

ọ
ng tâm c
ủ
a ∆ABC.
3
2
a
CI = ,
2 3
3 3
a
CH CI= =

0 0
3
60 .tan60 3
3
a
SCI SH CH a
= ⇒ = = ⋅ =

Th
ể
tích kh
ố
i chóp là :
3
1 1 3 3
3 2 2 12
a a

s
ố
th
ể
tích c
ủ
a hai kh
ố
i chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
b- Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AB’C’D’
Gi
ả
i :
a) G
ọ
i SH là
đườ
ng cao c
ủ
a hình chóp S.ABCD. Mp(P) c
ắ
t hình
chóp theo thi
ế
t di
ệ

1 1
3 3 3
SC SE SC EC
SE SE SE
−
− = − ⇔ = ⇔ =

Do
đ
ó :
2 2
' 3 ' 2 ' '
3 3
SC SE EC EC CC
= = ⋅ = =
V
ậ
y C’ là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC và SC⊥(AB’C’D’)
Ta có :
. ' ' . ' ' '
. .
2 2 4 2 2 1 2
,
3 3 9 3 3 2 9

AC a a a
SH V a V= = ⇒ = ⋅ = ⇒ =
Bài tập :
1) Cho hình h
ộ
p ABCD.A’B’C’D’. Tính t
ỷ
s
ố
th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i h
ộ
p
đ
ó và th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n

3) Cho kh
ố
i chóp S.ABC có
đ
áy là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a và các m
ặ
t bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy
m
ộ
t góc 60
0
. Hãy tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
đ
ó.
4) Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đ
áy là tam giác vuông
ở
B. SA vuông góc v
ớ

ớ
i
đ
áy và AB=a, AD=b,
SA=c. L
ấ
y các
đ
i
ể
m B’, D’ theo th
ứ
t
ự
thu
ộ
c SB và SD sao cho AB’⊥ SB, AD’⊥ SD. Mp(AB’D’)
c
ắ
t SC t
ạ
i C’. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AB’C’D’.
6) Cho hình h
ộ
p ABCD.A’B’C’D’. G
ọ

ủ
a hai kh
ố
i
đ
a di
ệ
n
đ
ó.
7) Cho hình chóp S.ABC có m
ặ
t bên SBC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy. Bi
ế
t

t ph
ẳ
ng (SBD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy b
ằ
ng 60
o
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
theo a. (TN 2010)
9)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3
a
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM (ĐH Khối A 2010)

10) Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’. G

đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (A’BD).
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC’ vuông góc v
ớ
i mp(A’BD).
11) M
ộ
t hình l
ă
ng tr
ụ
ABC.A’B’C’ có
đ
áy là tam giác
đề
u c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên BB’ = a, chân
đườ
ng

ụ
.
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t bên AA’C’C là hình vuông.
12) Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy là tam giác ABC vuông cân t
ạ
i A, có c
ạ
nh
góc vuông b
ằ
ng a. M
ặ
t bên (SBC) vuông góc v
ớ
i
đ
áy, m
ỗ
i m
ặ
t bên còn l
ạ

b. Tính th
ể
tích c
ủ
a hình chóp.
HD : K
ẻ

( )
SI BC SI ABC
⊥ ⇒ ⊥
. T
ừ I kẻ ,
IE AB IF AC
⊥ ⊥



0
45
SEI SFI IE IF I
⇒ = = ⇒ = ⇒
là trung điểm của BC
13) Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC). Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng
3
a
. Cạnh bên SB tạo
với đáy một góc bằng 60
0

i
ể
m c
ủ
a SA và tính th
ể
tích
kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n SMBC theo a. (
Đ
H D 2010)
16) Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u có c
ạ
nh bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ

ạ
i B. Bi
ế
t BB’=AB=h và góc c
ủ
a
B’C làm v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc
α
.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :


'
BCA B CB
=
và tính th
ể
tích hình l

ớ
i
đ
áy và
b
ằ
ng a.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các m
ặ
t bên c
ủ
a hình chóp là nh
ữ
ng tam giác vuông.
b. T
ừ
A d
ự
ng AM
⊥
SB, AN
⊥
SD . Ch
ứ
ng minh r
ằ

EM u
=
. Tính thể tích khối lăng trụ theo
u
.
20)
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thang vuông t
ạ
i
A
và
D
v
ớ
i
AD = CD = a, AB =
3
a.
C
ạ
nh bên
SA
vuông góc v
ớ


Chủ đề 2 : MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

1- Mặt nón
:
•
Diện tích xung quanh :
xq
S rl
π
= Diện tích đáy :
2
d
S r
π
= -
• Diện tích toàn phần :
tp xq d
S S S
= +
Thể tích :
2
1 1
3 3
V Bh r h
π
= =
Bài tập
:
1- Thi

ố
i nón t
ươ
ng
ứ
ng.
c) M
ộ
t thi
ế
t di
ệ
n qua
đỉ
nh và t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc
0
60
. Tính di
ện tích của thiết diện này.
2- Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều
cạnh
2

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 19
5- Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có các c
ạ
nh bên b
ằ
ng a và góc gi
ữ
a các m
ặ
t bên và m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy là
0
45
. Tính di
ện tích xung quanh và thể tích hình chóp đỉnh
S
và đáy là hình tròn nội
tiếp tam giác
ABC

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
2- Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
R 3
. A và B là hai điểm trên đường tròn đáy sao
cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
3- Cho hình lăng trụ đứng .
EFG MNK
có đáy là tam giác
EFG
vuông tại
E
. Biết
2
FG u
=
, cạnh
bên
2
EM u
=
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại
tiếp của ,
EFG MNK
∆ ∆

S

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần đó.

3- Mặt cầu :
a- Giao của mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu
( ; )
S O r
và mặt phẳng
( )
P
.
( ,( ))
h OH d O P
= =

•

h r
>
:
( )
P
không cắt
( ; )
S O r

•


S O r
và đường thẳng
∆
.
( , )
h OH d O
= = ∆

•

h r
>
:
∆
không cắt
( ; )
S O r

•

h r
=
:
∆
tiếp xúc
( ; )
S O r
tại
H


ứ
giác
đề
u .
S ABCD
có t
ấ
t c
ả
các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng a. Hãy xác
đị
nh tâm và bán kính
m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp
đ
ó.
2- Cho hình h

ủ
a
đườ
ng tròn là giao tuy
ế
n c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u trên.
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 20
3- Cho tứ diện
SABC
có
, ,
SA SB SC
đôi một vuông góc nhau và , ,

SA a SB b SC c
= = =

đ
ã cho. Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u
đ
ó.
5- Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp tam giác
đề
u có c
ạ

i ti
ế
p
đượ
c trong m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u và tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u này. Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 21
Chủ đề 3 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng
Định lí. Trong không gian Oxyz, cho :
a a a a b b b b
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )

ab a b ab
a b
a a a b b b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
.
+ +
=
+ + + +



•

a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
0
⊥ ⇔ + + =

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trong K.gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình:
x a y b z c r
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
− + − + − =


( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ; ;
n a b a b a b a b a b a b a b
 
= = − − −
 
  
gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ
a

và
b

.
•

a

và
b

cùng phương 
, 0
a b
 
=
 
  

a m
ặ
t ph
ẳ
ng.
Nhận xét :
N
ế
u m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t Ox, Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) v
ớ
i
0
≠
abc thì m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

=
n A B C

và
2 2 2 2
( ; ; )
=
n A B C

lần lượt là vectơ pháp truyến của
1
( )
P
và
2
( )
P
, ta có:

•

1 2
( ) ( )

P P
1 2
1 2

=



1
( )
P
cắt
2
( )
P
1 2
n kn
⇔ ≠
 

b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc :
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) . 0 0
P P n n n n A A B B C C
⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
   3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Cho (P):
0
Ax By Cz D
+ + + =
và điểm
0 0 0 0
( ; ; )

) và có VTCP
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=

có
dạng:

0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

, trong đó t là tham số.
Chú ý: Nếu a
1
, a
2
, a
3

M x y z d
∈
. Đặt
, '
n a a
 
=
 
  
, ta có các điều kiện sau:

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
d // d
′

⇔

0

≠


′
∉


n
M d
 
d

=


′

=

 



' . ' 0
d d a a
⊥ ⇔ =
 

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau :
d chéo d’
n.MM' 0
⇔ ≠
 V. VTTĐ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
Cho (P):
+ + + =
0
Ax By Cz D
, có vtpt
( ; ; )

. 0
//( )
( )
a n
d P
M P

=

• ⇔

∉


 

. 0
( )
( )
a n
d P
M P

=

• ⊂ ⇔


(2;1; 2)
D
−

a) CM bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ
từ A
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
2- Trong Kg Oxyz cho bốn điểm
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)
A B C và
( 2;1; 2)
D
− −

a) CMR ABCD là một tứ diện b) Tính góc giữa các đường thẳng là các cạnh đối của tứ diện
đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A
3- Lập phương trình mặt cầu:
a) Có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3). b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3;
1).
c) Đi qua ba điểm
(0;8;0), (4;6;2), (0;12;4)
A B C và có tâm nằm trên
( )
mp Oyz

d) Có tâm
(1;2;3)
I và tiếp xúc với
( )

ế
t ph
ươ
ng trình mp(Q)
đ
i qua A, B và vuông góc v
ớ
i mp(P).
6- Cho mp
( ): 2 3 4 0
P x y z
− − + =
và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2
( ): 6 2 2 3 0
S x y z x y z
+ + + − − − =
. L
ậ
p ph
ươ
ng
trình
( )
mp
α

α
) qua A và vuông góc v
ớ
i d
b) Tìm to
ạ

độ
giao
đ
i
ể
m M c
ủ
a (
α
) v
ớ
i tr
ụ
c Ox.
c) Vi
ế
t pt tham s
ố
c
ủ
a giao tuy
ế
n d’ c

( ): 2 5 0
mp x y z
α
+ + − =9- Tìm to
ạ

độ
M
’

đ
x
ứ
ng v
ớ
i M( 2, -1, 3) qua
đ
t d :
2
1 2
1
x t
y t
z
=



2 4 1
3 1 2
x y z
− − −
= =
− −

Vi
ế
t pt
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d
2
.
11- Cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng : d
1
:
1 2
x t
y t
z t
=

và d
1
chéo d
2
.
b) Vi
ế
t pt
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d
2
.
12- Cho M(2; -1; 1) và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 1
:
2 1 2
x y z
− +
∆ = =
−

a) Tìm t

ng v
ớ
i M qua ∆.
13- Cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ): 2 3 4 5 0
P x y z
− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2
( ): 3 4 5 6 0
S x y z x y z
+ + + + − + =

a) Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm I và bán kính r c
ủ
a m

ọa độ Oxyz cho ba điểm A( −1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).

a) Ch
ứ
ng minh tam giác ABC vuông. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
b) G
ọ
i M là
đ
i
ể
m sao cho
2
MB MC
= −
 
. Vi
ế

ẳ
ng (
α
) : x + 2y – 2z + 6 = 0.
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm là g
ố
c to
ạ

độ
O và ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng(
α
).
b) Vi

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz cho hai
đ
i
ể
m E(-1; 0; 1), F(3; 4; 5)
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 24
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng EF.
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn EF.
18- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ):( 2) ( 1) 16
S x y z
− + + + =
và mặt phẳng
( ): 2 2 0
P x y z m
− + + =
( với m là tham số).
a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với giá trị m vừa tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp
điểm của mp(P) và mặt cầu (S).