CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2014
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
---------------------------------------a b c
x y z
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn + + = 0 và + + = 1 Chứng
x y z
a b c
2
2
2
x
y
z
minh rằng 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x3 = 3
Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
2.6.10....(4n − 2)
an = 1 +

Ngày thi 6/6/2014
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn

a b c
x y z
+ + = 0 và + + = 1 Chứng
x y z
a b c

x2 y 2 z 2
minh rằng 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
Hướng dẫn
2
x y z
x2 y2 z 2
x y z
 xy yz xz 
+ + = 1 ⇔  + + ÷ = 1 ⇔ 2 + 2 + 2 + 2  + + ÷= 1
a b c
a
b
c
a b c
 ab bc ac 
2
2
2

x 1 − y2 + y 2 − z 2 + z 3 − x2 ≤
+
+
=3
2
2
2
Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi
x = 1− y2
 x2 + y 2 = 1

 2 2
 y = 2 − z 2
y + z = 2
⇔ 2

2
 z = 3 − x2
z + x = 3


2
2
2
2
2
2
 x 1 − y + y 2 − z + z 3 − x = 3  x 1 − y + y 2 − z + z 3 − x = 3
 x2 = 1
x = 1

an = (n 2 + 5n + 5) 2
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
1
1
1
3
+
+
≤
ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 4
Hướng dẫn
x
y
z
Đặt a = , b = ; c =
y
z
x
1
1
1
yz
zx
xy
P=
+
+
=
+
+

A B C
ABC

Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:
1 1 1
9
1 1 1
( A + B + C )  + + ÷≥ 9 ⇒ + + ≥
A B C A+ B+C
A B C
9
9
9 3
= ⇔ P ≤ 3− =
Khi đó Ta có 3 − P ≥ ( xy + yz + xz )
4 xy + 4 yz + 4 xz 4
4 4
 xy + yz + 2 xz = xy + 2 yz + xz = 2 xy + yz + xz
⇔ x = y = z =1
Dấu “=” xảy ra khi 
 xyz = 1
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao
cho MN//AP.Chứng minh rằng

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
1. Đăt AB = a ta có AC = a 2 Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy ra

=
(1) ta có. Giả sử MP cắt AN tại I . K I cắt MN tại H Áp
QN
BN KA AD
QN KA
KP KA
HM HN
=
(2)
dụng định lí ta lét
PK
KA
HM QM
=
Từ (1) và (2) Suy ra
Q trùng H, vậy BD, PM, AN đồng quy
HN QN
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
y2
∈A
phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì :
x− y
Hướng dẫn
Với mỗi tập A là tập con của S = {1;2;3;...;2014} thỏa mãn đề bài, gọi a và b lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn
nhất của A (a, b ∈ S, a < b)
Ta chứng minh b ≤ 2a, thật vậy, giả sử b > 2a
a2
a2
a2
Theo giả thiết c =

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />