Soạn:
Giảng: Chuyên đề:
Phép chia hết và phép chia có d
trên tập số nguyên Z
I/ kiến thức cơ bản:
1/ Phép chia hết và phép chia còn d
Cho hai số nguyên a và b ( b>0) .Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a
không chia hết cho b.
*/ a chia hết cho b hay a là bội của b ; Ký hiệu a

b.
Ta cũng nói b chia hết a hay b là ớc của a ; Ký hiệu b a .
a

b.( hay b a ) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq
*/ a không chia hết cho b : khi chia a cho b ta đợc thơng gần đúng là q và số
d là r , ta có a= bq + r với 0 < r < b
Khi chia một số nguyên a cho một số nguyên b > 0 thì số d là một trong b
số từ 0 đến b 1( Số d r lớn nhất chỉ bằng b-1)
VD: Chia một số cho 2 thì số d là một trong hai số 0 hoặc 1
Chia một số cho 3 thì số d là một trong ba số 0 ; 1 hoặc 2
Chia một số cho 5 thì số d là một trong năm số 0; 1;2;3 hoặc 4
Lu ý: Trong trờng hợp a không chia hết cho b ( số d r

0), thay vì lấy r > 0
( từ 1 đến b 1) để tiện lợi trong c/m và giải toán nhiều khi ngời ta cũng lấy số d là
số âm r với r = r b ( do đó
'r
< b)
VD1: Chia 23 cho 3 đợc d là 2.Ta viết
23 = 3.7 + 2 => ta gọi 7 là thơng gần đúng thiếu, vì 3.7 = 21 < 23 và d là2

[ ]
ba,
Một số m là bội chung của a và b <=> m là bội của BCNN (a,b)
m

a và m

b

m

[ ]
ba,
Hai số a và b đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau

(a,b) =1
Cách tìm ƯCLN(a,b) và BCNN( a,b)
(a,b)
[ ]
ba,
+Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+Chọn ra các thừa số nguyên tố
Chung Chung và riêng
+ Lập tích các thừa số nguyên tố chung
mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của
nó
Lập tích các thừa số nguyên tố chung và
riêng mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất
của nó
Ta có

1
+ r
1
; 0 < r
1
< r => ( b,r ) = ( r, r
1
)
Ta lại chia r cho r
1
, nếu phép chia có d ta có
r = r
1
q
2
+ r
2
; 0 < r
2
< r
1
=> ( r, r
1
) = ( r
1
, r
2
)
Nếu phép chia còn d ta cứ tiếp tục làm nh vậy. Vì dãy các số b,r,r
1

84 36 1
36 12 2
0 3
- Nếu thực hiện thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số mà đến lúc nào đó ta có
số d là 1 thì hai số đã cho là nguyên tố cùng nhau.
VD: Tìm ( 87, 25) Ta có 87 = 25 . 3 + 12 => ( 87, 25) = ( 25, 12)
25 = 12. 2 + 1 => ( 25, 12) = ( 12, 1)
Vậy ( 87, 25) = 1
Ap dụng: Chứng tỏ rằng phân số
314
421
+
+
n
n
với n

N là PS tối giản
Trớc hết ta có NX:
Phân số
314
421
+
+
n
n
với n

N là PS tối giản <=> ( 21n+4, 14n+3) =1
áp dụng thuật toán Euclide dể tìm ƯCLN của hai số 21n + 4 và 14n + 3 , ta có:

với c là ớc chung của a và b.
b, Định lý 2: */ a.c

b và ( a,b) = 1 => c

b
c, Định lý 3 : */ c

a và c

b mà (a,b) =1 Thì c

a.b
4.Các bài toán về chia hêt và ph ơng h ớng tìm lời giải
a/ Để c/m biểu thức A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trờng
hợp về số d khi chia n cho p ( 0,
2
1
,...2,1


p
)
VD1: C/m rằng A(n) = n. ( n
2
+ 1) .( n
2
+ 4)

5 với mọi số nguyên n

20k + 4 => n
2
+ 1

5
Nh vậy A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết
cho 5 => A(n)

5

n
b/ Để c/m biểu thức A(n) chia hết cho một hợp số m ta thờng phân tích m ra thừa
số . Giả sử m = p.q
* Nếu p và q là số nguyên tố hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách
c/m A(n)

p và A(n)

q, từ đó suy ra A(n)

p.q = m
VD: CMR tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
Giải: Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n+1 và n+2. Tích của chúng là
A(n) = n. (n+1) .(n+2)
Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố), nh vậy ta cần c/m A(n)

2 và A(n)

3
+/ Trong hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n)


2
A(n) = 2n. ( 2n+2) = 2n. 2.( n+1) = 4.n.( n+1)
Dễ thấy 4

4 ; n.(n+1)

2 ( tích của hai số nguyên liên tiếp)
Vậy A(n) = 4.n.(n+1)

4.2 = 8 #
c/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của
nhiều số hạng và c/m mỗi số hạng chia hết cho m
VD: CMR lập phơng của một số nguyên n bất kỳ ( n >1) trừ đi 13 lần số
nguyên đó thì luôn chia hết cho 6
Giải:
Theo bài ra ta cần c/m A(n) = n
3
13n

6
Ta biến dổi A(n) nh sau:
A(n) = n
3
13n = n
3
- n 12n mà 12n

6 => A(n)


+ 4.( 2k +1) + 5
= ( 4k
2
+ 4k + 1) + ( 8k + 4) + 5 = (4k
2
+ 4k ) +( 8k + 8) + 2
= 4k. ( k +1) + 8.(k +1) + 2
Dễ thấy 4k.(k+1)

8 ; 8.( k+1)

8 và 2 không chia hết cho 8
Vậy n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 #
e/ Nếu số d khi chia a cho b ( b>0) là r ( 0 < r < b) thì số d khi chia a
n
( n>1) cho b
là số d khi chia r
n
cho b ( Số d này bằng r
n
nếu r
n
< b)
VD: CMR nếu n không chia hết cho 7 thì n
3
+1 hoặc n
3
- 1 chia hết cho 7

= 7r

27 = 7( r

4)

1
Trong mọi trờng hợp n
3
+1 hoặc n
3
- 1 là bội của 7 #
Ngoài ra để c/m chia hết hay không chia hết ta còn sử dụng các hằng đẳng thức,
các hằng đẳng thức mở rộng , p
2
quy nạp, đồng d .v.v...
II/ Bài tập
A/ CC DNG TON CHNG MINH CHIA HT
Dng 1: S dng tớnh cht
Trong n s nguyờn liờn tip cú mt v ch mt s chia ht cho n, n

1
Bi 1 : CMR
a/ Tớch ba s nguyờn liờn tip chia ht cho 6
b/ Tớch bn s nguyờn liờn tip chia ht cho 24
c/ Tớch nm s nguyờn liờn tip chia ht cho 120
d/ Tớch ba s chn liờn tip chia ht cho 48
e/ Tớch sỏu s nguyờn liờn tip chia ht cho 720
Gi i
a/ Ta cú 6 = 2.3 v ( 2,3) =1