Chuyên đề 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI
Tiết 13: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Đònh nghóa: Cho hai số tự nhiên a và b (b
0≠
).

.a b q a b= ⇔ ⇔M
a là bội của b
⇔
b là ước của a.
2) Tính chất: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu
a b b c a c⇒M M Mvà
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a
M
m và b
M
m thì
a b m a b m+ −M Mvà
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia
hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia
hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu
,a m b n ab mn⇒M M M

Ví dụ 2: Tìm n
∈
N để:
a) n + 4
M
n b) 3n + 7
M
n
Giải:
a) n + 4
M
n , n
M
n => 4
M
n => n
∈
Ư(4) =
{ }
1; 2;4
b) 3n + 7
M
n; 3n
M
n => 7
M
n => n
∈
Ư(7) =
{ }

b
≤
9, a,b
∈
N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số:
abba

1000 100 10
1001 110 7.11.13 11.10 11
: 11
abba a b b a
a b a b
abba
= + + +
= + = + M
MVậy
3)
27abcM
0 27
1000 0 27
999 0 27
27.37 27
27 ( 27.37 27)
abc
a bc
a a bc
a bca
bca Do a
⇒

5) Cho
deg 37. deg 37abc Cmr abc+ M M
6) Cho 10
k
– 1
M
19 với k > 1 CMR: 10
2k
– 1
M
19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu
2 67ab cd abcd= ⇒ M
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)
M
3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3
M
3
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4
còn 7 không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên
liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.

M
n + 2 => 4
M
n + 2 => n + 2
{ }
1; 2;4∈
=> n
{ }
0;2∈
- 3 -
c) 2n + 3
M
n – 2 => 2(n – 2) + 7
M
n -2 => 7
M
n - 2 => n – 2
{ }
1;7∈
=> n
{ }
3;9
∈
d
*
) 3n + 1
M
11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)
M
11 – 2n => 35

có
Vậy
6) Ta có: 10
2k
– 1 = 10
2k
– 10
k
+ 10
k
-1 = 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
Do 10
k
- 1
M
19 nên 10
k
(10
k
– 1) + (10
k
– 1)
M
19

Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có
100abcd ab cd= +
Mà:
2ab cd=
- 4 -
Suy ra:
2 200 201 3.67 67abcd cdcd cd cd cd cd= = + = = M
Vậy:
67abcd M

Tiết 15: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
A/ LÝ THUYẾT:
1 2 1 0
0 0
1 0 1 0
2 1 0 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
... :
2 2, 5 5
4 4, 25 25
8 8, 125 125
3 ... 3
9 ... 9
n
n n
n n
a a a a
A a A a

M
9 => * = 6. Thử lại 6975 không chia hết cho 27.
Khi: n =
*970
M
9 => (* + 9 + 7 + 0)
M
9 => * = 2. Thử lại 2970 chia hết cho 27.
Vây số 2970 là số phải tìm.
Ví dụ 2: Cho số tự nhiên
ab
bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) CMR: b chia hết cho a.
b) Giả sử b = ka (k
∈
N) CM: k là ước của 10.
Giải: a) Theo đề bài ta có:
ab
= 3ab
=> 10a + b = 3ab (1)
=> 10a + b
M
a
=> b
M
a
b) Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có:
- 5 -