dao
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển
động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25
N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn
2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.

(cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên.
Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
kl = mg
l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ =
===
5105
1,0
25
m
k

Ta có: -2 = 4sin (5t +
6
5

)
sin (5t +
6
5

) =
2
1

5t +
6
5

=
6
7

t =
15
1
(s)
l
l
0
0(VTCB)
)

2
2
1
2
2
1

=+
mvkx
(J)
Ta có phơng trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1

=+
k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2
=

t25sin(2

+
(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt
=> k > 153,8 N/m
L
1
L
2
M
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
đợc gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo
tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang.
Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x

11
kk
F
k
F
k
F
Mặt khác F = - kx
kkk
111
21
=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
mx
''
= - k.x hay x
''
= - x
2
với
2
=
)(
.
21
21
kkm
kk
m

0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm)
Vậy phơng trình dao động là
x = 10sin (10t +
2

) (cm)
2. Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx

Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3
cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên. Bỏ
qua ma sát (g = 10m/s
2
;

2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1. Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống gốc 0 tại
VTCB

=
FF2
dh
mg - 2k(l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
x
''
=
x
m
k2

x = Asin (t + ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)
Ta có hệ 3 = A sin ; sin > 0
- 40
2
= 10
2
Acos ; cos < 0
Biên độ A =

2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10
2
t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi nh một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
l
0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối
vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L
1
, L
2
có độ cứng k

lò xo L
2
dãn l
2
Khi đó vật để L
1
dãn l = 2cm ; L
2
khi nén k dãn
thì l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở
VTCB.
l = l
1
+ l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+=+++

FFFFNP
Hay + K
1
l
1
- k
2
l
2

+ x) + k
2
(l
2
- x) = mx''
- (k
1
+ k
2
) x = mx''
x'' =
2
21
.

=
+

x
m
kk
với 2 =
m
kk
21
+

Vậy x = Asin (t + ) (cm) vật DĐĐH
b) =


= 8cm
60l
1
+ 40l
2
= 0 l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin = A
v
0
= Acos = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t +
2

) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==




(s)
Năng lợng
E =

bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lợt là

21
, FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
=
2

F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (

21
, FF
cùng chiều dơng)
Các em có thể sử dụng phơng pháp rời trục toạ độ để giải
Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các hình
vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng
có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối
lợng của r
2
và lò xo dây treo k dãn. Khối lợng
k đáng kể.

l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T
0
+ mg = 0
-kl + 2T
0
= 0
T
0
= mg = 1 (N)
l = 10 (cm)
2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn l kl - mg = 0
a
b

P

0
F
+
x

0
T

0
T

k
x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l
2
1
kl - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn l +
2
x
mg - T = F
2T - k(l +
2
x
) = 0
F = mg -
2
1
kl -
x
k
4
F =
x
k
4

Hay
x
k
4

Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a =
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
=
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g
2
A < g A<
2
g


m
1
m
+ =
m

o
v
, biết rằng sau khi va chạm
m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu của chuyển
động tròn đều của 1 chất điểm nh hình vẽ. Khoảng thời
gian vật đi từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời
gian vật chuyển động tròn đều theo cung M
1
M
2
t =



3
=
a
với =
2,0
50
=

0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc

'
=
05,02,0
50
0
+
=
+
mM
k
= 10
2
(Rad/s)
M
k
o
v
m
0
M

m
vmM
= 200
2
(cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lợng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm
2
đợc treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn
4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox nh hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có
chiều cao h
0
, lò xo bị dãn 1 đoạn l
0

Phơng trình lực : mg- F

Kéo vật xuống dới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
x
max
= 4(cm) <
2
h
luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
A0
F
dh0
F
0
+x
P
dhA
FFPF ++=

F
= mg - S(h
0
+ x) Dg - k(l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- kl
0


KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật đợc gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200 N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'
==
Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc
theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s
2
).
1. Tìm chiều dài quãng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3. Tính thời gian dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại ở

lớn A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đờng A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2
2
= àmg (A
1
+ A
2
) A
1
- A
2
=
k
mg.2
à
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A

con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tơng ứng là
T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con
lắc có chiều dài l
1
+ l
2
, chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T
1
, T
2

2
=
g
l
.2
2

l
1
=
g.
4
T
2
2
2

(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T
3
= 2.
g
ll
21
+
l

1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=

=

(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2
42,1
10
51,0

con lắc tại VT li giác bất kì bằng thế năng của con lắc
tại VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
Với h
0
= l(1 - cos) h = l(1 - cos)
v
2
= 2gl (cos - cos
0
) Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0


gl
0

+ áp dụng số: | v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=

(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc
+ Định luật 2 N
maTPF
=+=
Chiều lên phơng dây treo
I

h
0
- h
F
th
= -mg.cos +T = m
aht
Ta có T = mgcos + m.
l
v
2
= m (gcos +

01,11
90
1
1
150
6
2
=+=








+







(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
, vật ở VT biên
T
min




(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lợng m.
Khi con lắc đơn đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật
nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc .
Xét trờng hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tơng ứng với li góc
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác
Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1
=+
v
2
= v
2
0

Thay số | v
max
| = 1m/s
I

h
l
T
l
0
v
P
l
+ Vận tốc cực tiểu khi =
0
v
0
=
0

gk
v
min
= 0
* Lực căng dây
amTPF
=+=
= mgcos + T = m
aht
T = mgcos + m


= 1 -
2
2

T = mg
)
2
3
1
gl
v
(
2
2
0
+
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, con lắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
(con lắc ở VTCB)
v
0

0
2
0
=+
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2
=
T
min
= 0,1 . 10
)
1.10.2
1
1(
2

= 0,95 (N)
Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh
chậm thế nào khi đa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và
TPHCM lần lợt là 9,7926 m/s
2
9,7867 m/s
2

T
T
2
1
2
1
==
T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)
+ Vì T
2
>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy
chậm là:
t = 24.60.60.
26
T
TT
1
21
=

(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
T
'
2
= 2

l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lợng là
l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4
T.g

nên l = 0,0006.
2
2
11
4
T.g

Thay số
l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=

(m) = 0,6 mm

= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrờng đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP
=
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trờng
+ Coi con lắc dao động trong trờng trọng lực hiệu dụng g
'
d
'
EPP
+=
= m
'
g
Khi CB dây treo con lắc có phơng của
'
P
và chu kì dao động nhỏ đợc tính theo công thức:
T
'
= 2
'
g
1

qE
g
1
2
g
1
.
'
+
=






VTCB
Thay số T
'
= 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34

+
= 1,8 (s)
b) Trờng hợp E nằm ngang
+)

T
'
= 2
'
g
l

Từ hình vẽ:
P
'
=
g
cos
g
g
cos
P
'
>

=

Do đó: T

= 2
=


cosT
g

Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3 lực
tác dụng.
+ Trọng lực
gmP
=
+

T
d
F
'
P
P
+

F
'
P
P
0
a
0
v
+ Lực căng dây T
+ Lực quán tính
0
amF
=
Khi con lắc ở VTCB
0FTP

180

~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP
=+=
(Coi con lắc dao động trong trờng gia tốc ghd = g
'
)
Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>

'
0
Vậy T = T
0

cos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lợng
m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc
0
= 6
0
rồi thả nhẹ cho
dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi nh
không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là = 3
0
coi chu kỳ dao
động của con lắc nh khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lợng không
đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma
sát tối thiểu là len. (g = 10m/s
2
,
2
= 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lợng không đổi
+ Lúc đầu, li giác cực đại là
0

0
mgl
2
1

E
0
- E
1
=
mgl
2
1
(
2
0
-
2
1
)
+ Sau nửa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại
2
, cơ năng của con lắc
là:
E
2
=
mgl
2
1

1
(
2
0
-
2
2
)
E =
mgl
2
1
(
0
-
2
)(
0
+
2
) = mgl
0
.
+ Công của lực cản:
A
C
= (S
0
+ 2S
1

g
l
.
=
= 2 (s)
+ Độ giảm năng lợng trong N chu kì là
E =
mgl
2
1

2
0
-
mgl
2
1

2
=
mgl
2
1
(
2
0
-
2
)
E =

trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ nh 1 con lắc đơn
thanh treo con lắc có hệ số nở dài = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t
0
là 6
0
C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ.
Giải thích hiện tợng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nớc biển. Coi trái
đất là hình cầu có bán kính R = 6400 km.
Lời giải
1. Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ
Giả sử đồng hồ chạy đúng ở t
0
C với chu kì
T = 2
g
)t1(l
2
g
l
10
+
=
ở t
1
= 100

1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh T
1
<T t
1
< t
+ Độ l
0
t chu kì theo t
0
T
1
= T
1
- T ~
)tt(
2
T
1

Thời gian mà đồng hồ chạy sai trong 1 ngày đêm là
t = 24.60.60.
)tt(.43200
T
T
1
1

Theo biên độ t = 6,48 (s) t ~ 17,5

h
g
g
T
T
h
n
+==
1
t
h
= t
h
- T = T
R
h
lại có T
t
=
2
T
t
h

(t
h
- t) (t
1
: độ biến thiên theo nhiệt độ)
Vì con lắc đồng hồ chạy đúng nên t

).
1. Tính lực căng T khi A ở VTCB.
2. Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phơng trình
quỹ đạo chuyển động của nó sau đó.
3. Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.
Lời giải
1. Lực căng dây
Định luật bảo toàn cơ nang mgh +
2
1
mv
2
= mgh
0
v
2
= 2g(h
0
- h) = 2gl(cos - cos
0
)
Định luật 2 N:
amTPF
=+=
T = mgcos = ma
ht
T = m (gcos +
l
v
2

t =
t10
(1)
phơng oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0
y =
2
1
gt
2
= 5t
2
(2)
l
0
v
G
m
A

0
H
y
M
x
Từ (1) t=
10
x
thay vào (2) y =
2
1

=+
(m/s)
Bài 20:
Con lắc đơn gồm 1 quả cầu khối lợng
m
1
= 100g và sợi dây không giãn chiều dài l =
1m. Con lắc lò xo gồm 1 lò xo có khối lợng
không đáng kể độ cứng k = 25 (N/m) và 1
quả cầu khối lợng m
2
= m
1
= m = 100g
1. Tìm chu kì dao động riêng của mỗi con lắc.
2. Bố trí hai con lắc sao cho khi hệ CB... (hình vẽ) kéo m
1
lệnh khỏi VTCB 1
góc = 0,1 (Rad) rồi buông tay.
a) Tìm vận tốc quả cầu m
1
ngay trớc lúc va chạm vào quả cầu (<<).
b) Tìm vận tốc của quả cầu m
2
sau khi va chạm với m
1
và độ nén cực đại của
lò xo ngay sau khi va chạm.
c) Tìm chu kì dao động của hệ
Coi va chạm là đàn hồi ** bỏ qua ma sát.

gh = m
1
gl(1 - cos) =
2
1
m
1
v
2
0
k m
2
m
1
l
góc nhỏ 1 - cos = 2sin
2
22
2

=

V
0
=
101,0gl
=
= 0,316 (m/s)
b) Tìm vận tốc v
2

1
m
1
v
2
0
=
2
1
m
1
v
1
2
+
2
1
m
2
v
2
2
(2)
VT m
1
= m
2
nên từ (1) (2) ta có v
0
= v

1
v
2
So sánh với (4) suy ra: v
1
= 0; v
2
=v
0
~ 0,316 (m/s)
+ Nh vậy, sau va chạm, quả cầu m
1
đứng yên, quả cầu m
2
chuyển động với vận tốc bằng vận
tốc của quả cầu m
1
trớc khi va chạm.
+ Độ nén cực đại của lò xo
2
1
kl
2
=
2
1
m
2
v
2

L = 0,2 H
1) Xác định chu kì dao động của mạch.