Chuyên đề: Sự t ơng giao giữa đ ờng thẳng và para bol
A. Phơng pháp:
Cho (C) là đồ thị của hàm số
( )
y f x=
và điểm
( )
;
A A
A x y
, ta có:
( )
( )
( )
( )
A A
A A
A y f x y f x
A y f x y f x
= =ẻ
=ẽ ạ
Toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
là nghiệm của hệ:
( )
( )
y f x

Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình:
( ) ( )
f x g x=
(2)
Phơng trình (2) là phơng trình bậc hai. Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung PT (2) vô nghiệm
0<D
.
(D) tiếp xúc với (P) (2) có nghiệm kép
0=D
.
(D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt
0>D
.
B. Một số dạng bài tập:
Dạng 1: Bài toán chứng minh:
Bài 1: Chứng minh rằng đờng thẳng (D):
4 3y x= -
tiếp xúc với parabol (P):
( )
2 2
2 4 2 1 8 3y x m x m= - - + -
.
Bài giải:
Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
( )
2 2
2 2
2 2
2 4 2 1 8 3 4 3

a. Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
( )
( )
2
2
2 4 2
4 2 0 2
x x m m x
x x m
- + + = -
- - =
Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) (2) có nghiệm kép
0 4 2 0m= + =D
2m = -
.
b. (D) cắt (P) tại hai điểm (2) có hai nghiệm phân biệt
0 2m> > -D
.
Khi
3
2
m = -
thị hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của phơng trình:
2 2
2 7
3
4 2. 0 4 3 0
2
2 7
x

2 2
2 3 4 2 3 0x x x b x x b- - = - + + - - =
(4)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với(P) Phơng trình (4) có nghiệm kép
' 0 4 0 4b b= + = = -D
.
Khi đó: Nếu A(x
0
; y
0
) là tiếp điểm của (P) và (d) thì (do A (P) và A (d)) ta có hệ ph-
ơng trình:
2
0
0 0 0
0
0 0
1
2 3
0
4 4
x
y x x
y
y x
ỡ
= -ỡ
= - -
ù
ù

2
y x= - +
.
(D) song song với đờng thẳng 2y + 4x = 5 nên (D) có dạng y = -2x + b (b
5
2
).
Theo cách làm dạng 2 ta tìm đợc
1
4
b =
. Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là (D):
1
2
4
y x= - +
.
GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An
b. Ta có: x - 2y +1 = 0
1 1
2 2
y x= +
.
(D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình là x - 2y +1 = 0
1
. 1 2
2
a a= - = -
.
Suy ra: (D) có phơng trình: y = -2x + b.

Do đó, (P) có dạng: y = ax
2
+ (-4a - 1)x 1.
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D): y = -5x + 15 phơng trình hoành độ điểm chung
giữa (P) và (D) là: ax
2
+ (-4a - 1)x 1 = -5x + 15 có nghiệm kép
phơng trình ax
2
+ (-4a + 4)x 16 = 0 có nghiệm kép

( ) ( )
2 2
2
' 0 4 1 16 0 2 1 4 0 1 0 1a a a a a a a= - + = - + + = + = = -D

Từ đó, suy ra: a = -1; b = 3; c = -1.
Vậy hàm số cần tìm là (P): y = -x
2
+ 3x 1.
b. Vì (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm có toạ độ (0; 2)
c = 2.
Do đó, (P) có dạng: y = ax
2
+ bx + 2.
Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phơng trình:
ax
2
+ bx + 2 = x 1 ax
2

= -
+ =
+ - + =
ù ù ù
ợ
ợ
ù
ợ
.
Vậy, (P) có phơng trình là: y = x
2
3x + 2.
GV Nguyễn Hữu Hạnh Tr ờng THCS Lăng Thành Yên Thành Nghệ An