Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9

Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức:
cbacba
111111
222
++=++
HD.






++






+++++=++=
cabcabcabcab
cbacba
VT
111
2
111
2
111111




++=






++






++=
111111
2
111
2
111
222
Bài tập 2: Chứng minh rằng số:
532
++
là số vô tỉ.
HD.Giả sử:
a

2

==++
(hiển nhiên a # 0 ),
30

là số hữu tỉ,vô lí . Vậy
532
++
là số vô tỉ.
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:
( )
2
2
1
11
1
+
++=
a
a
A
với a # 0;
b)Tính giá trị tổng:
22
2
1
1
1
1

+++++
=
+
++++
=
+
++=
22
2222
22
2222
22
2
)1(
12)1(
)1(
)1()1(
)1(
11
1
aa
aaaaa
aa
aaaa
aa
A
[ ]
22
2
22

aaaa
aa
aaaa
2
2
)1(
1






+
++
=
aa
aa
; Với a > 0 nên A > 0 và
)1(
1
2
+
++
=
aa
aa
A
.
b) Từ câu a suy ra:

aa
aa
a
a
A
.
Do đó:
=






+++






++






++


100
1
99
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
99
==






++++=
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
a) A =
nn
+
++

+
c) C =
10099
1
...
43
1
32
1
21
1

+

+



Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức:
1
12
12
12
12
1
21
1

=

11...342312
=++++=
nnn
.
b)
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
=
B
=
)99100(99100
1
...
)34(34
1
)23(23

...
)34(34
)34(
)23(23
)23(
)12(12
)12(


++


+


+


=
99100
)99100(
...
34
)34(
23
)23(
12
)12(

++

Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )
+
+
++
=
2
22
1
11
x
zy
xA
( )( )
+
+
++
2
22
1
11
y
xz
y
( )( )
2
22
1
11

+
+
++

=
2
22
3
33
3
x
zy
x
yz
B
( )( )
+
+
++

2
22
3
33
3
y
xz
y
zx
( )( )

= ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3.
Bài tập 7. Cho ba số thực a, b, c # 0 và
cbcaba
+++=+
. Chứng minh rằng:
0
111
=++
cba
.
HD.
cbcacbcabacbcabacbcaba
++++++=++++=++++=+
.2)()(
22
22222
)).(().()(.22 ccbcacabcbcaccbcaccbcac
=+++++=++=++=
0
22
=++=+++
bcacabccbcacab
, chia hai vế cho abc ta đợc:
0
111
=++
cba
.
Bài tập 8. Cho

=

+
;
b)Nếu
0,0

ba
thì
0
=+=+
abbaba
;
c)
( )
0
333
=++=+
baabbaba
HD.a)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n


ba
bình phơng hai vế ta đợc:
0022
==++=+
abababbaba
.
c) Lập phơng hai vế ta đợc:
( )
00)(333
22
=+=++++=+
baabbaababbababa
Bài tập 10: Chứng minh nếu
3333
cbacba
++=++
thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có:
nnnn
cbacba
++=++
.
Bài tập 11.Cho
byaxzczaxyczbyx
+=+=+=
,,
và
zyx
++
# 0.

x
zyx
a
y
zyx
b
2
1
2
1
++
=+
++
=+
; thay vào B ta đợc:
24
)(4444
2
2
2
2
2
2
==
++
++
=
++
+
++

xy
1
11
+
=
+
=
+
thì
tyx
==
, x. y. t = 1.
HD. Ta có:
x
t
t
y
y
x
x
xt
t
yt
y
xy
1111
11
+=+=+=
+
=

Nhân vế với vế ta đợc:
yx
yx
xt
xt
ty
ty
xttyyx



=
.))()((
;

( )( )
1..
)(
))()((
=

=
tyx
xyt
yxxtty
xttyyx
hoặc
tyxxttyyx
=====
0;0;0

( )
0222222
222222222
2
=++++=+++++++=++
cabcabcbacabcabcbacbacba
bcabcacaabbccabcabcabcab
====++
,,0
, thay vào P ta đợc:
cabcabc
c
bcabacb
b
caabbca
a
abc
c
acb
b
bca
a
P
+
+
+
+
+
=
+

+

=
))(())(())(())(())(())((
222222
cacb
c
cbba
b
baca
a
cacb
c
bcba
b
baca
a

+



=

+

+

=
))()((

))()((
)()()(
22222222
cbbaca
bcaccbabcba
cbbaca
bacacbcba
[ ]
1
))()((
))()((
))()((
)()()(
))()((
))((
))()((
)())(()(
))()((
)(
2
222222
=


=


=

+

bac
c
acb
b
cba
a
A

+

+

=
là số nguyên.
HD.
( )
[ ]
(*),22)(0
222222
2
2
bccbabccbacbacbacba
=++==+==++
;
Biến đổi tơng tự ta có đợc:
*);*(*,2(**),,2
222222
abbaccaacb
==
Thay (*),(**),(***) và A ta đợc:

A
++
=++=++=
Ta lại có:
( )
[ ]
)33()(0
22333
3
3
bccbcbacbacbacba
+++==+==++
)(3)(3)33(
33333322333
abccbacbbccbabccbcba
=+++=+++=++
*)***(*,3
333
abccba
=++
Thay (*****) vào (****) ta đợc:
39
3.3)(3
333
===
++
=
abc
abc
abc

z
b
y
a
x
M
++=
.
HD. Ta có
122211
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++++=






++=++
ca
zx
bc
yz

2
2
2






++
=






++=++=






+++++
abc
zxbyzaxyc
ca
zx
bc

z
c
y
b
x
a
;
Thay (*), (**) vào (***) ta đợc:
1
0
21
2
2
2
2
2
2
==++=
abc
c
z
b
y
a
x
M
Bài tập 16. Cho các số dơng a, b, c và
cba

,,


+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

222

+



+

+




bcccbbcbacaacccaabbbaaba
0)()()(
222
=



+



+




bccbaccaabba
bccbaccaabbabccbaccaabba


c
c
a
a
b
b
a
a

=

=



=

=

=


;;
.
Bài tập 17:
a)Cho
( )
1198
1
...

A
. Hãy so sánh A > 1,999.
HD. áp dụng BĐT:
ba
ab
abba
+
+
21
2
. Ta có:
a)
=

++
++
++
+
+
+
+
+

1198
1
....
11998
2
....
19963

xyyxzzyxzzyxyxzzyx 2.2)()(
22
++=+++++=++
xyzzyx 2.2
=+
, BPHV ta đợc:
0).(
2
=+=+
xyzyzxzxyzzyx
zyxyzzxyzzxzxyzxz
======
,,0)).((0)()(
.
Bài tập 19. Cho
(
)
(
)
20062006.2006
22
=++++
bbaa
, hãy tính tổng a + b.
HD :
(
)
(
)
(

Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc:
( )
02
=+
ba
vậy
0
=+
ba
.
Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu
0
=+
zyx
thì
0
111
=
+
+
+
+
+
zyxyxzxzy
.
HD.
xyzyxzxyyxzyxzyx 22)(0
2
2
=+=++=+=+

zxy
y
xyz
x
xyzxyz
zyxyxzxzy
Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức
( )( ) ( )( ) ( )( )
xyzyxzxzyzyxM
++=
444444
với x,y,z > 0
thoả mãn
4
=+++
xyzzyx
.
Bài tập 22. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là:
b
ac
a
cb
c
ba
+
=
+
=
+
.