BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN LONG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN LONG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60. 46. 01. 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG

Vinh - 2017



2


LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toán
học quan tâm và nghiên cứu. Người ta đã tìm thấy sự ứng dụng đa dạng của lý
thuyết điểm bất động trong toán học và nhiều ngành kỹ thuật khác. Sự phát
triển của lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học
lớn như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani,. . . Kết quả quan trọng đầu tiên
phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không
gian mêtric đầy đủ của Banach (1922). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho
nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau. Một trong những hướng
mở rộng đó là thay đổi điều kiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớp
không gian rộng hơn lớp không gian mêtric. Sau đó, người ta nghiên cứu sự tồn
tại điểm bất động trong lớp các không gian vừa định nghĩa,. . . Năm 2007, các
nhà toán học Trung Quốc: Huang Long Guang và Zhang Xian ([6]) đã thay giả
thiết hàm mêtric nhận giá trị trong tập hợp các số thực không âm bởi nhận giá
trị trong một nón định hướng trong không gian Banach và đưa ra khái niệm
không gian mêtric nón. Sau đó, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được
nhiều kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón. Những
người thu được nhiều kết quả theo hướng này là: J. S. Ume, R. A. Stoltenbeg,
C. S. Wong, H. L. Guang và Z. Xian,. . . Khái niệm không gian b-mêtric được
đưa ra và nghiên cứu bởi S. Czerwik [5]. Trong [7], N. Hussain và các cộng sự
đã mở rộng lớp không gian b-mêtric và mêtric nón bằng cách đưa ra khái niệm
không gian b-mêtric nón và chứng minh một số tính chất tôpô và sự tồn tại
điểm bất động trong lớp không gian này. Năm 2013, M. Kir và H. Kiziltunc
[8] đã chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Kannan
và kiểu Chatterjea trong không gian b-mêtric. Mới đây (2014), Z. Mustaja và

học viên Cao học K23 - Chuyên ngành Toán Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và
động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
4


Nghệ An,tháng 6 năm 2017
Tác giả
Nguyễn Xuân Long

5


Chương 1
Không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian
b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric,
không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,....cần dùng trong luận
văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([1]) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và d : X × X →

Khi đó d là b - mêtric với s = 2.
2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường. Ta xác định hàm
d : X × X → [0, ∞) bởi
d(x, y) = |x − y|2 ,

∀x, y ∈ R.

Khi đó, d là mêtric với s = 2 (theo 1), nhưng d không phải là mêtric trên R vì
d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2).

1.1.5 Định nghĩa. ([5]) Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d).
Dãy {xn } được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí hiệu
bởi xn → x hoặc limn→∞ xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0
sao cho d(xn , x) < ε với mọi n ≥ n0 . Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi
d(xn , x) → 0 khi n → ∞.
Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên
n0 sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi n, m ≥ n0 .
Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều
hội tụ.
7


1.1.6 Định nghĩa. Giả sử E là không gian véc tơ trên trường K = R hoặc
K = C. Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ;
iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E .
Số p(x) được gọi là chuẩn của véctơ x ∈ E . Ta thường kí hiệu chuẩn của x
là x . Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là

ii) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng)
xủa A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng
là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x).
Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A).

1.2

Nón trong không gian Banach

1.2.1 Định nghĩa. ([4]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực
R. Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
(iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông
thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 . Khi đó P thỏa mãn ba
điều kiện
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với (x, y), (u, v) ∈ P và với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ta có
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;

(iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P , ta có (x, y) = (0, 0).
9


Vậy P là một nón trên E .
3) Giả sử C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên
[a, b]. Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn
f = supx∈[a,b] |f (x)|, ∀f ∈ C[a,b] .

c;

(ii) Nếu a ≤ b và b

c thì a

c;
10


(iii) Nếu a

b, c

d thì a + c

b + d;

(iv) α intP ⊂ intP ;
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP , tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ ;
(vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P , tồn tại d ∈ intP sao cho c1
c2
d;
(vii) Với mỗi c1 , c2 ∈ intP , tồn tại e ∈ intP sao cho e

c1 và e

d và

c2 ;

δ
δ
γx ≤ γ x ≤
x ≤ < δ.
n x
n
(vi) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP , trong đó B(0, δ) = {x ∈ E :
x < δ}. Do tính hút của B(0, δ) nên tồn tại m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ),

11


suy ra −c2 ∈ mB(0, δ) và mc1 − c2 ∈ intP . Đặt d = mc1 − c2 . Khi đó, d thỏa
mãn (vi).
(vii) Chọn δ > 0 sao cho c1 +B(0, δ ) ⊂ intP , c2 +B(0, δ ) ⊂ intP trong đó
B(0, δ ) = {x ∈ E : x < δ }. Do tính hút của B(0, δ ) nên tồn tại m > 0 sao
cho c1 ∈ mB(0, δ ), c2 ∈ mB(0, δ ), suy ra −c1 ∈ mB(0, δ ), −c2 ∈ mB(0, δ )
và mc1 − c1 ∈ intP , mc2 − c2 ∈ intP . Đặt e = m1 c1 − c1 + mc2 − c2 . Khi đó,
e thỏa mãn (vii).
x
(viii) Giả sử x ∈ intP . Từ giả thiết suy ra a ≤ với mọi n = 1, 2, ..., do
n
x
x
x
x
đó − a ∈ P với mọi n = 1, 2, ..., Vì
=
→ 0 nên
→ 0. Do đó


Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n ≥ n0 . Do đó, xn

12

c với mọi n ≥ n0 .


1.3

Không gian b-mêtric nón

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không
gian b-mêtric nón.
Từ đây trở về sau, ta luôn giả thiết E là không gian Banach thực, P là
nón của E với intP = ∅, ≤ và
là hai quan hệ thứ tự trên E được xác định
bởi P .
1.3.1 Định nghĩa. ([7]) Giả sử X là tập khác rỗng và hàm d : X × X → E .
Hàm d được gọi là b-mêtric nón trên X nếu tồn tại s ≥ 1 sao cho với mọi
x, y, z ∈ X , ta có
i) d(x, y) ∈ P (tức 0 ≤ d(x, y)) và d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
ii) d(x, y) = d(y, x);
iii) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)].
Tập X cùng với một b-mêtric nón d trên nó được gọi là không gian b-mêtric
nón với tham số s và được kí hiệu bởi (X, d).
1.3.2 Chú ý. 1) Trong định nghĩa 1.3.1, nếu s = 1 thì ta nhận được định
nghĩa mêtric nón và không gian mêtric nón. Nói cách khác, không gian mêtric
nón là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric nón khi s = 1.
2) Tồn tại những không gian b-mêtric nón mà không phải là không gian

⇔ s(|x − z|β , α|x − z|β ) + s((|z − y|β , α|z − y|β ) − ((|x − y|β , α|x − y|β ) ∈ P
⇔ (s|x − z|β + s|z − y|β − |x − y|β , α[s|x − z|β + s|z − y|β − |x − y|β ] ∈ P
⇔ s|x − z|β + s|z − y|β ≥ |x − z|β .
Mặt khác, vì s ≥ 2β nên
|x − y|β ≤ (|x − y| + |y − z|)β
≤ (2 max{|x − y|, |y − z|})β = 2β (max{|x − y|, |y − z|})β )
≤ 2β (|x − z|β + |z − y|β ) ≤ s(|x − z|β + |z − y|β ).

(1.1)

Do đó s|x − z|β + s|z − y|β ≥ |x − y|β . Như vậy, d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)],
với mọi s ≥ 2β > 1.
Vậy (X, d) là không gian b-mêtric nón với tham số s ≥ 2β > 1.
Trong trường hợp s = 1, x = 4, y = 0, z = 1, β = 2 và α = 1, ta có
|4 − 1|2 + |1 − 0|2 < |4 − 0|2 .

Từ đó suy ra d(4, 0) > d(4, 1) + d(0, 1). Do đó (X, d) không phải là không gian
mêtric nón.

14


1.3.4 Định nghĩa. ([7]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric nón, x ∈ X và
{xn } là dãy trong X .
i) Dãy {xn } được gọi là dãy hội tụ tới x và được kí hiệu bởi limn→∞ xn = x
hoặc xn → x nếu với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(x, xn )

c, với mọi n ≥ nc ;


, d(xn , y)
.
2s
2s
Do đó
d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn ), y]

Kết hợp với Bổ đề 1.2.4 suy ra d(x, y) = 0, tức x = y .
iii) Với mỗi y ∈ X , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
15

c.


d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn ), y], n = 1, 2, ...

Từ đó suy ra với mọi n = 1, 2, ..., ta có
1
d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ sd(xn , x) + sd(x, y).
s
Mặt khác, vì xn → x nên với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn , x)

c
s

với mọi n ≥ n0 . Do đó, với với mọi n ≥ n0 , ta có
1
c
1
1

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric f và T : X → X là
hai ánh xạ
1
i) Ánh xạ f được gọi là T -co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0, ) sao cho
s
d(T f x, T f y) ≤ αd(T x, T y), ∀x, y ∈ X .

ii) Ánh xạ f được gọi là T -co suy rộng nếu tồn tại các hằng số α1 , α2 , α3 ,
1
α4 , α5 ∈ [0, ) sao cho
s
d(T f x, T f y) ≤ α1 d(T x, T y) + α2 d(T x, T f y) + α3 d(T y, T f x)
+ α4 d(T x, T f x) + α5 d(T y, T f y), ∀x, y ∈ X.

Ta thấy ánh xạ T -co là trường hợp riêng của ánh xạ T -co suy rộng khi
α2 = α3 = α4 = α5 = 0.
17


Ta kí hiệu

Φ1 = {ϕ : [0, +∞) → [0, +∞)| ϕ liên tục, không giảm và
ϕ(t) = 0 ⇔ t = 0}.

Chứng minh. 1). Lấy x0 ∈ X và xác định dãy {xn } bởi
xn+1 = f xn = f n x0 , ∀n = 0, 1, 2, ...

Đặt yn = T xn , với mọi n = 0, 1, 2, ... Đầu tiên, ta chứng minh d(yn , yn+1 ) → 0
khi n → ∞.

18


Sử dụng điều kiện (2.1), ta có
d(yn+1 , yn ) = d(T f xn , T f xn−1 ) ≤ α1 sd(yn , yn−1 ) + α2 [d(yn , yn ) + d(yn−1 , yn+1 )]
+ α3 s[d(yn , yn+1 ) + d(yn−1 , yn )] − ϕ(d(yn , yn−1 ))
≤ α1 sd(yn , yn−1 ) + α2 s[d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )]
+ α3 s[d(yn , yn+1 ) + d(yn , yn−1 )] − ϕ(d(yn , yn−1 ))
= s(α1 + α2 + α3 )d(yn , yn−1 )
+ s(α2 + α3 )d(yn+1 , yn ) − ϕ(d(yn , yn−1 )),
(2.5)

với mọi n = 1, 2, ...
Từ (2.2), ta có
s(α1 + α2 + α3 )
≤ 1.
1 − s(α2 + α3 )

Do đó
s(α1 + α2 + α3 )
d(yn , yn−1 )
1 − s(α2 + α3 )
≤ d(yn , yn−1 ), ∀n = 1, 2, ...


Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức tam giác và điều kiện (2.1), ta có
d(yn+1 , yn0 ) = d(T f xn , T f xn0 −1 )
≤ sd(T f xn , T f xn0 ) + sd(T f xn0 , T f xn0 −1 )
≤ sd(yn0 +1 , yn0 ) + s2 α1 d(yn , yn0 ) + sα2 [d(yn , yn0 +1 ) + d(yn0 , yn+1 )]
+ s2 α3 [d(yn , yn+1 ) + d(yn0 , yn0 +1 )] − sϕ(d(yn , yn0 ))
≤ s(1 + sα3 )d(yn0 +1 , yn0 ) + s2 α1 d(yn , yn0 )
+ s2 α2 [d(yn , yn0 ) + d(yn0 , yn0 +1 ) + d(yn0 , yn ) + d(yn , yn+1 )]
+ s2 α3 d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(yn , yn0 ))
= s(1 + sα2 + sα3 )d(yn0 , yn0 +1 ) + s2 (α1 + 2α2 )d(yn , yn0 )
+ s2 (α2 + α3 )d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(yn , yn0 ))
≤ (s + 1)d(yn0 , yn0 +1 ) + d(yn , yn0 ) + d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(yn , yn0 )).
(2.7)
ε
. Khi đó, từ (2.6) suy ra
3(s + 1)
ε
ε
ε
d(yn+1 , yn0 ) ≤ +
+
< ε.
3 3(s + 1) 3(s + 1)
ε
≤ d(yn , yn0 ) < ε. Khi đó, từ (2.7) và tính
Trường hợp 2: Giả sử
3(s + 1)
không giảm của ϕ suy ra
s
ε
s

hội tụ nên tồn tại dãy con {f xni } của {f xn } sao cho f xni → x ∈ X , tức
limni →∞ d(f xni , x) = 0.

Vì T liên tục nên T f xni → T x.
Mặt khác, T f xn → y và {f xni } là dãy con của {f xn } nên từ Bổ đề (1.3.5)
suy ra T x = y .
Ta chứng minh x là điểm bất động của f . Sử dụng điều kiện (2.1), ta có
d(T f x, T x) ≤ sd(T f x, T f xn ) + sd(T f xn , T x)
≤ sd(yn+1 , y) + s2 α1 d(yn , y) + sα2 [d(yn , yn+1 ) + d(yn , T f x)]
+ s2 α3 [d(y, T f x) + d(yn , yn+1 )] − sϕ(d(y, yn )
≤ s(1 + sα2 )d(yn+1 , y) + s2 α1 d(y, yn ) + s2 α2 [d(yn , y) + d(y, T f x)]
+ s2 α3 [d(y, T f x) + d(yn , yn+1 )] − sϕ(d(y, yn ))
= s(1 + α2 )d(yn+1 , y) + s2 (α1 + α2 )d(y, yn ) + s2 (α2 + α3 )d(y, T f x)
+ s2 α3 d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(y, yn ), ∀n = 1, 2, ...

Cho n → ∞, ta được
d(y, T f x) ≤ s2 (α2 + α3 )d(y, T f x).

Kết hợp với điều kiện (2.3) suy ra d(y, T f x) = 0, tức y = T f x hay T x = T f x.
Vì T đơn ánh nên x = f x. Vậy x là điểm bất động của f .
Bây giờ, ta chứng minh x là điểm bất động duy nhất của f .
Giả sử x cũng là điểm bất động của f . Khi đó,
d(T x, T x ) = d(T f x, T f x )
≤ α1 sd(T x, T x ) + α2 [d(T x, T x ) + d(T x, T x )]
+ α3 s[d(T x, T x) + d(T x , T x )] − ϕ(d(T x, T x ))
= (sα1 + 2α2 )d(T x, T x ) − ϕ(d(T x, T x ))

21



α2 + α3 < 2 ,
s
1
α1 + 2α2 ≤ 2 .
s

Khi đó,
22

(2.9)
(2.10)
(2.11)


1) Với mỗi x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ;
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới
điểm bất động của f .
Chứng minh. Ta xác định hàm ϕ1 : [0, ∞) → [0, ∞) bởi
ϕ1 (t) = ϕ(λt), ∀t ∈ [0, ∞).

Vì λ > 0 nên dễ dàng kiểm tra được ϕ1 ∈ Φ1 . Do đó sử dụng (2.8) và tính
chất của ϕ, ta có
d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(λd(T x, T y))
= α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ1 (d(T x, T y)), ∀x, y ∈ X.

Vì ϕ1 ∈ Φ1 nên các khẳng định của Hệ quả được suy ra từ Định lí 2.1.2.
2.1.5 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số

điểm bất động của f .
Chứng minh. Từ các điều kiện (2.12), (2.13), (2.14) suy ra tồn tại các hằng
số không âm α1 ,α2 , α3 , sao cho βi < αi với i = 1, 2, 3 và các bất đẳng thức
(2.2), (2.3), (2.4) được thỏa mãn. Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) bởi
ϕ(t) = t, ∀t ∈ [0, ∞).

Khi đó, ϕ ∈ Φ1 . Sử dụng (2.15), ta có
d(T f x, T f y) ≤ β1 sd(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ β3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)]
= α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ((α1 − β1 )sd(T x, T y)
+ (β2 − α2 )[d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ (β3 − α3 )s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)]
≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)]
− ϕ((α1 − β1 )sd(T x, T y), ∀x, y ∈ X.

Kết hợp với (α1 − β1 )s > 0, ta thấy các điều kiện của Hệ quả 2.1.4 được thỏa
mãn. Do đó điều cần chứng minh được suy ra từ việc áp dụng Hệ quả 2.1.4.

2.1.6 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số
s ≥ 1, f và T : X → X là hai ánh xạ. Khi đó, nếu T đơn ánh, liên tục và
hội tụ dãy con, còn f là ánh xạ T -co thì f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Trong Hệ quả 2.1.5, nếu ta đặt α = β1 s và lấy β2 = β3 = 0 thì
điều kiện (2.15) trở thành
d(T f x, T f y) ≤ αd(T x, T y), ∀x, y ∈ X ,
24