XOAY QUANH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài toán : Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE. Chứng
minh rằng nếu Đ BAD = Đ CAE thì tam giác ABC là tam giác cân.
Cách 1 : (Vũ Cao Ân)
Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB ta chứng minh được DF/EG = AC/AB (1) ; ΔADF
đồng dạng với ΔAEG (g. g) => DF/EG = AD/AE (2)
Từ (1) và (2) có AC/AB = AD/AE => ΔADC đồng dạng với ΔAEB (c. g. c). => Đ ABC =
Đ ACB.
Cách 2 : (Trương Sơn Ca)
Giả sử Đ B > Đ C => AC > AB => AC/AB > 1. Vẽ M thuộc AD sao cho Đ ABM = Đ
ACE.
Có Đ M
1
= góc E
1
=> Đ M
2
= Đ E
2
; góc D
1
> Đ E
2
= Đ M
2
. => BM > BD => BD/BM <
1 . (1)
ΔABM đồng dạng với ΔACE => AB/AC = BM/EC
=> EC/BM = BD/BM = AC/AB > 1 . (2)
(1) và (2) mâu thuẫn. Từ đó ta có đpcm.
Cách 3 : (Nguyễn Quang Hùng)

ΔADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD
ΔABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC
Do đó có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) và (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM
=> AB
2
/AC
2
= 1 => AB = AC.
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY
Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác :
Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ;
Định lí 2 : Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm ;
Định lí 3 : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm ;
Định lí 4 : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
SGK Toán 7 tập 2 đã sử dụng cùng một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng
quy để chứng minh định lí 2, định lí 3.
Phương pháp chứng minh này có thể mô tả khái quát như sau :
Ba đường thẳng a, b, c đồng quy nếu :
- Mọi điểm thuộc c đều có tính chất C và ngược lại.
- Chứng tỏ giao điểm của a và b thỏa mãn tính chất C.
Các bạn cần lưu ý, quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất C chính là đường thẳng c.
Như vậy mấu chốt của phương pháp này chính là việc phát hiện ra tính chất C.
Nếu ta phát hiện ra nhiều tính chất của đường thẳng c thì cũng có nghĩa là sẽ có nhiều cách
chứng minh a, b, c đồng quy.
Ta sẽ áp dụng phương pháp này để chứng minh các định lí trên.
* Chứng minh định lí 1 :
Cách 1 : - Bổ đề 1 : Trong một tam giác, quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai điểm
lần lượt nằm trên hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba là trung tuyến thuộc cạnh
thứ ba đó.
- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Qua G dựng DE

IF/IR = BC/AC ; IQ/IP = AB/BC ;
Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác IFP, RIE, QDI đôi một đồng dạng
=> ID/IE = ID/FP . FP/IE = IQ/IP . IF/IR = AB/BC . BC/AC = AB/AC.
=> ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3).
Vậy AA
1
, BB
1
, CC
1
đồng quy tại I. Định lí 2 được chứng minh.
* Chứng minh định lí 4 :
- Bổ đề 4 : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ và K thuộc đường cao CC’ sao cho DE //
BC (D Є AB, E Є AC). Quỹ tích điểm H thuộc DE sao cho HD/DE = BK
2
/CN
2
là đường
cao AA’.
Hướng dẫn : (hình 3)
Hai tam giác vuông ANC và AKB có NB’ ∩ AC ; KC’ ∩ AB
=> AN
2
= AB’.AC ; AK
2
= AC’.AB (1).
Hai tam giác vuông AB’B và AC’C đồng dạng vì có chung ∠ BAC => AB’.AC = AC’.AB
(2).
Từ (1) và (2) => AN = AK.
Gọi M Є AA’ sao cho ∠ BMC = 90

2
/AN
2

Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác HFP, RHE, QDH đôi một đồng dạng nên :
HD/HE = HD/FP . FP/HE = HQ/HF . HF/HR = AK
2
/CM
2
. BM
2
/AN
2

=> HD/HE = BM
2
/CM
2
(Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4).
Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H.
Định lí 4 được chứng minh.
* Đề nghị bạn đọc chứng minh các bổ đề 1 ; 2 ; 3 và làm bài tập sau.
Bài tập : Trong một tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường
phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của đỉnh đó. Chứng
minh rằng trong tam giác, ba đường đối trung đồng quy.
Như vậy thông qua hai chứng minh định lí của SGK, ta đã rút ra được một phương pháp
chứng minh ba đường thẳng đồng quy rất hiệu quả. Tôi hi vọng các bạn sẽ thành công
trong nhiều trường hợp khác.
TẬP "LỘI NGƯỢC" ... KHI GIẢI TOÁN
“Lội ngược dòng” là một cụm từ quen thuộc trong thể thao, dùng để chỉ những cố gắng

= S
CPQA
; S
BMH’H
= S
AEFB
hay a.b’ = b
2
; a.c’ = c
2
(**).
Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng với ∆HBA
suy ra :
AB/HB = BC/AB => AB
2
= HB.BC => c
2
= a.c'.
Tương tự ta có b
2
= ab’.
Định lí được chứng minh và nếu biết trước (**) thì ta cũng không cần vẽ thêm các hình
vuông phụ.
Hướng 2 : Ta có :
a
2
= b
2
+ c
2

= S
ADEF

<=> S
BCIK
+ 4.S
ABC
= S
ADEF

<=> a
2
+ 4. 1/2 bc = (b + c)
2

<=> a
2
= b
2
+ c
2
.
Hướng 3 : Thay đổi cách nhìn một chút so với cách 2, ta thấy :
(*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a
2
+ 2. 1/2bc , trong đó vế trái là diện tích của hình thang có
hai đáy là b, c và có đường cao là b + c.
Cách 3 : Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa mặt
phẳng có bờ AE, chứa điểm B, DE ⊥ AE, DE = b (hình 3).
Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b +

2
+ c
2
= (b - c)
2
+ 2bc <=> a
2
= (b -
c)
2
+ 4. 1/2bc.
Cách 4 : Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng hình chữ nhật ABA’C ; hình vuông
BCED (chứa A’) ; trên BA’ lấy điểm B’ sao cho BB’ = c ; trên DB’ lấy điểm C’ sao cho
DC’ = c ; CA’ ∩ EC’ = D’ (hình 4).
Ta chứng minh được những kết quả sau :
∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC và A’B’C’D’ là hình vuông có cạnh là b -
c.
=> S
BCED
= S
A’B’C’D’
+ S
A’BC
+ S
B’BD
+ S
C’DE
+ S
D’EC


≤ 1/2.AC.BD.
Bài tập 2 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó.
Chứng minh rằng :
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI
Trong chương trình môn Toán THCS, các bạn đã được học và làm quen với phương trình
chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Bài viết giúp các bạn có một số phương pháp cơ bản để
xét phương trình loại này.
Phương pháp 1 :1 Phương pháp chia khoảng trên trục số.
Ta xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Thí dụ 1 : Giải phương trình :
|2x - 1| + |2x - 5| = 4. (1)
Lời giải : Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối :
Từ đó ta xét 3 trường hợp sau : - Xét x< 1/2 : (1) trở thành - 4x + 6 = 4 <=> x < 1/2 không
phụ thuộc khoảng đang xét. - Xét :
(1) trở thành 4 = 4 đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là
- Xét
(1) trở thành 4x - 6 = 4 <=> x = 5/2 thuộc khoảng đang xét.
Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là
Phương pháp 2 :
Phương pháp biến đổi tương đương. Ta áp dụng hai phép biến đổi cơ bản sau :
Thí dụ 2 : Giải phương trình :
|x - 1| = |3x - 5| (2)
Lời giải : áp dụng phép biến đổi thứ hai ta có :
Kết luận : Phương trình (2) có hai nghiệm : x
1
= 2 ; x
2
= 3/2
Nhận xét : Ta có thể sử dụng phương pháp 1 để giải phương trình (2).