SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2018-2019
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

1

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số y 

 x2  7 x  6

1  1  2x
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số y  x 2  2mx  3m và hàm số y  2 x  3 . Tìm m để hai đồ
thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB  4 5 .
Câu 3 (2,0 điểm). Tìm m để phương trình

2 x 2  2 x  m  x  1 có nghiệm.

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tham số m để bất phương trình

x 1
 1 có tập nghiệm là  .
mx  4 x  m  3
2

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình 2 x 2  6 x 1  4 x  5

của S  a 2 

1
b2

 b2 

1
c2

 c2 

1
a2

3
. Tìm giá trị nhỏ nhất
2

.

------Hết-----Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh…………………


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

 x 2  7 x  6  0 

  x  6
1 1 2 x  0


1  1 2 x  1

0,5

 x  1

  x  6  0  x  1

0  x  1

0,5

Vậy tập xác định của hàm số là: D  0;1
2

0,5

(2,0 điểm). Cho hàm số y  x 2  2mx  3m và hàm số y  2 x  3 . Tìm m để hai
đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB  4 5 .
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x 2  2mx  3m  2 x  3
 x 2  2 m  1 x  3m  3  0 (*)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt
 m  1
.


(2,0 điểm). Tìm m để phương trình
Ta có

2 x 2  2 x  m  x  1 có nghiệm.

 x  1
2x2  2x  m  x  1   2
 x  4 x  m  1  0(*)

0,5


(*)  x 2  4 x  1  m . Xét y  x 2  4 x và y  1  m
x
y

0,5
1

2

+∞
+∞

-3

0,5
-4


Bpt  x  1  mx 2  4 x  m  3  mx 2  5 x  m  4  0 (1)

Bpt có tập nghiệm    (1)

Mà m  1  m 


4  41
m 
2
 0  4m 2  16m  25  0  

4  41
m 

2

0,5

4  41
2

Với m  4 . Khi đó ta có mx 2  4 x  m  3  0 với x  
Bpt  x  1  mx 2  4 x  m  3  mx 2  5 x  m  4  0 (2)

Bpt có tập nghiệm    (2)

Mà m  4  m 

KL: m 

4
Điều kiện: x   .
5

0,5

Đặt t  4 x  5  t  0

t 2 5
Ta có x 
thay vào ta được phương trình sau:
4
t 4 10t 2  25 6 2
2.
 t  5 1  t  t 4  22t 2  8t  77  0
16
4
2
2
 t  2t  7t  2t 11  0
t  1 2 2
1

 x  1 2
t2  1  2 2 t0 t  1  2 2



 
t  1  2 3

  24 a  b 2  2ab  144
 6
3


a b  4
a8






a  b  12
b  4
a  b  4





a ,b0
a  8








16
Giải hệ trên ta được x  ; y  .
3
3
(2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các

7

0,5

0,5

0,5
0,5

cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho
AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a.
A
P
N

0,5
B

C

M








a2 
2x 2 1 2  2 x 

a  a     AB. AC  0  AB. AC  a 2 cos 600 

3
9
2 
9 3

2x 2 1 2  2 x  a2
2x 1  2 x  1
4
a  a   
0
     0  x 
3
9
3 9 9 32
15
9 3 2
2

4  1 
 4  1  
Khi đó PN   AB  AC  PN 2    AB  AC 

0,5

và A  3;1 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của

tam giác.
B

A

C

M

0,5

Đặt AB  a  a  0 
Ta có: AC 

AB 2  AC 2  2 AB. ACcos1200  a 7

AB 2  BC 2 AC 2
a 2 4 a 2 7 a 2 a 3
 BM 




2
4
2


0,5

Gọi M  m; 2  m  . BM 









(2,0 điểm). Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC , biết
9

IG  IC . Chứng minh rằng

a bc
2ab

(Với AB  c, BC  a, CA  b ).
3
a b


C

N
I

b
1  

 GI  CI  CG  
  CA  
  CB
 abc 3
 abc 3



 






0,5



  
Khi đó   2a  b  c  CA   2b  a  c  CB  aCA  bCB  0
 
 ab  CA.CB b  2a  b  c   a  2b  a  c    0
 
Do ab  CA.CB  ab  ab cos C  ab 1  cos C   0



a  b  c 2ab

3
ab

0,5

3
. Tìm giá trị nhỏ
2

.

Ta thấy

S  a2 

1

1
1
1
1
1
2
2

...



16 32

16 b



16

1717

a2
16 32

16 b



1717

16

a2

0,5

16 32

16 b




3



Vậy MinS 

0,5

1
3 17
. Dấu “=” xảy ra  a  b  c  .
2
2

0,5

0,5