Phần chung

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo.
Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết
của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc. Chính vì
vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết
sức chú trọng.
1.2. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn
học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho
mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội dung của SGK, nắm vững ph-
ơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà
bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thờng xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng những học sinh có năng
khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán
là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng.
Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp đợc tổ chức thờng xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ
điều đó.
Chơng trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, trong đó
chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những chuyên đề giữ một vai trò
quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại
số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa
thức thành nhân tử, hay việc giải một phơng trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học
sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi
học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề
phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề về
phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
1.3. Cơ sở thực tiễn
Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo

Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).
Nội dung đề tài
1. Nội dung thực hiện
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa
thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử
khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1

của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với

< 0.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + .. + a
n
x
n
, n > 1, a
n


0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn tại
một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a
n
nhng p là ớc của các hệ số còn lại và p
2
không phải là ớc của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.
1.2. Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành tích các đa
thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn
nhiều , và đòi hỏi những kĩ thuật , những thói quen và kĩ năng sơ cấp. Dới đây qua các ví
dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
1.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung

Giải: Ta có: P = (2a
2
3ax)(5y +2b) (6a
2
4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
3ax) (6a
2
4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y 2z ) 15x(y 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y 2z
Do đó : B = 3x
2
(y 2z) 15x(y 2z)
2
= 3x(y 2z)((x 5(y 2z))
=3x(y 2z)(x 5y + 10z)
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a
2
3ax)(5c + 2d) (6a

y 6x
2
y 3xy
3
6xy
2
z xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
2x y
2
2yz z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
2x + 1) (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x 1)
2
(y + z)
2
)
= 3xy((x 1) (y + z))((x 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y z 1)(x + y + z 1)

+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
1.2.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử
Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của
phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng
tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ :
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
xz
2
+ yz
2
yx
2
+ zx
2
zy

) + yz(z y) + x
2
(z y)
= x(y z)(y + z) yz(y z) x
2
(y z)
= (y z)((x(y + z) yz x
2
))
= (y z)((xy x
2
) + (xz yz)
= (y z)(x(y x) + z(x y))
= (y z)(x y)(z x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
3
Giải: Ta có : A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9

2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
2
+ 2x + 1 y
2
Giải: Ta có: B = x
2
+ 2x + 1 y
2
= (x
2
+ 2x + 1) y
2
= (x + 1)
2
y
2
=(x +1 y)(x + 1 + y )
Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2

m + 4
+ x
m + 3
x 1
= x
m + 3
(x + 1) ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y z) + y
2
(z - x) + z
2
(x y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z
Ta có : P = x
2
(y z) + y
2
z xy
2
+ xz
2
yz
2
= x

2
y
2
)
= (y z) (x y)(x + y) - (x y)(z - y)(z + y)
= (y z) (x y)(x + y (z + y))
= (y z) (x y)(x z)
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
4
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a
2
b + ab
2
+ b

2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b
2
c + 2bc
2
4abc
Giải: Ta có : A = 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b
2

2
z
2
(z y) 4z
2
x
2
(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z y) 4z
2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(y
2
(z y) 4x

3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y 2x)(y + 2x) (y + 2x)(y
2
2xy + 4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2
y
2
+ z
3
2xz
3
z
2
y
2
+ 2xyz
2
4x
2
z

hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thờng dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3


A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2
y
2

+ b
4

Giải: Ta có : B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a

+ b
4
) a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2

2
b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) x
2
+ (x
2
x + 1)

+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có: A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2

= (x
2
y
2
z
2
)
2
4y
2
z
2
= (x
2
y
2
z
2
2yz) (x
2
y
2
z
2
+ 2yz)
= (x
2
(y + z)
2
)( x

2
y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
(x + y)(x y) + (x y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
y
2
))
= 2x(x
2

3
+ 3(x z)(z y)((x z) + (z y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z x)(y z)(x y)
= 3(z x)(y z)(x y)
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) (a
3
+ b
3
+ c
3
)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c) (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c)

2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
8
2
8

6
Giải: Ta có : P = x
8
2
8

= (x
4
+ 2
4
) (x
4
- 2
4
)
= (x
4

+ 2
2
)(x 2)(x + 2)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (x
3
1) + (5x
2
5) + (3x 3)
Giải: Ta có: Q = (x
3
1) + (5x
2
5) + (3x 3)
= (x 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x 1) (x + 1) + 3(x 1)
= (x 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x 1)( x
2
+ 6x + 9)
= (x 1)(x + 3)
2

1.2.4. Phơng pháp thực hiện phép chia:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x a).g(x) ,g(x) là một
đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:
g(x) = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2
+ 1)
= (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để
thực hiện phép chia đợc nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) nh sau :

+ 2x + 2)
Chia x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 cho (x + 2) nh sau :
1 2 2 2
-2 1 0 1 0
Vậy x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
2x
3
11x
2
+ 12x + 36
7