Vũ Ngọc Thành Latex hóa

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019
MÔN THI: TOÁN 12-BẢNG B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ
2x + 1
có đồ thị (H ) và đường thẳng d : y = (m2 + 1) x − 2 (với m là
x−1
tham số). Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2

Câu 1. Cho hàm số y =

sao cho biểu thức P = 12( x1 + x2 ) + 11 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d là
2x + 1
= ( m2 + 1) x − 2 ⇔ ( m2 + 1) x2 − ( m2 + 5) x + 1 = 0
x−1

(do x = 1 không là nghiệm phương trình)
Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt
2

2

⇔ ( m2 + 5) − 4( m2 + 1) > 0 ⇔ ( m2 + 3) + 12 > 0

Suy ra ∀m ∈ R thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.

Lời giải
2

1. x4 − 6 x3 + 6 x2 + 9 x = 2 x2 − 3 x ⇔ ( x2 − 3 x) − 3( x2 − 3 x) − 2 x2 − 3 x = 0
Đặt t = x2 − 3 x , t ≥ 0 , phương trình trở thành t4 − 3 t2 − 2 t = 0 ⇔ t = 0; t = 2; t = −1 (loại)
Với t = 0 suy ra x = 0, x = 3
Với t = 2 suy ra x = −1, x = 4
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x = 0, x = 3 , x = −1, x = 4
1


Vũ Ngọc Thành Latex hóa
1
6

2. Điều kiện x > − . Đặt y = log7 (6 x + 1) , khi đó 7 y = 6 x + 1 .
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ

7x = 6 y + 1
7 y = 6x + 1

.

Suy ra 7 x − 7 y = 6 y − 6 x ⇔ 7x + 6 x = 7 y + 6 y (1). Xét hàm số f ( t) = 7t + 6 t .
Ta có f ( t) = 7t ln 7 + 6 > 0, ∀ t ∈ R nên hàm số f đồng biến trên R .
Do đó (1) ⇔ f ( x) = f ( y) ⇔ x = y . Suy ra 7x − 6 x − 1 = 0 (*)
1
6

Xét hàm số g( x) = 7x − 6 x − 1 trên khoảng − ; +∞ .

2
+ · · · + C 2n
= 512 ⇔
+ C 2n
C 2n
+ C 2n

⇔
⇔
5

(1 + x + x2 ) = [1 + x(1 + x)]5 =

5

C 5k x k (1 + x)k =

Hệ số cần tìm là

5

k

k=0 i =0

k=0

Vì số hạng chứa x5 nên

1 0

;

i=2
k=3

= 51

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ
Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, C A = b , h a là độ dài đường cao xuất phát
a
từ đỉnh A và b + c = + h a 3 . Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
2

Lời giải

2


Vũ Ngọc Thành Latex hóa
Ta có
b+c =

a
+ ha. 3 ⇒
2
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒

3
3
π
π
cos B −
= cos C −
=1
3
3
π
B=C=
3
b+c =

Vậy tam giác ABC đều.

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYÊN ĐỀ
Câu 5. Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18m . Sau mỗi lần chạm đất, quả
bóng lại nảy lên cao bằng

3
độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng khi rơi và
4

nảy đều theo phương thẳng đứng. Tính tổng độ dài đoạn đường quả bóng đã di chuyển
từ lúc được thả đến lúc quả bóng không nảy nữa.

Lời giải
3
4

x − y − 1 = 0 . Biết rằng hai điểm A và I cách đều đường thẳng BC và điểm A có hoành độ
dương. Tính diện tích tam giác ABC .

3


Vũ Ngọc Thành Latex hóa
Lời giải

Ta có I (1; −1) . Tọa độ giao điểm của đường phân giác trong góc A và (I) là nghiệm của hệ
phương trình
( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 5

x− y−1 = 0

⇔

x = 2; y = 1
x = −1; y = −2

Suy ra có hai giao điểm A (2; 1), A (−1; −2)
Đường thẳng BC vuông góc A’I nên phương trình BC có dạng: 2 x + y + m = 0 (BC ⊥ A I )
d ( A ; BC ) = d ( I ; BC ) ⇔

|4 + 1 + m |

5
Phương trình BC: 2 x + y − 3 = 0

=

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , chiều cao h không
đổi. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh BC, CD sao cho góc M AN = 450 .
Đặt BM = x . Tìm x theo a sao cho thể tích của khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

4


Vũ Ngọc Thành Latex hóa
1
h 2
.AM.AN
3
12
Đặt M AB = α ,00 ≤ α ≤ 450 , N AD = 450 − α
a2 2
AB
AD
2 a2 2
=
AM.AN =
.
=
cosα cos(450 − α) cosα( cosα + sin α) 1 + 2 sin(2α + 450 )
Vs.AMN nhỏ nhất ⇔ AM.AN nhỏ nhất ⇔ 1 + 2 sin(2α + 450 ) lớn nhất ⇔ α = 22, 50

Ta có Vs.AMN = .h.S AMN =

Vậy với x = a. tan 22, 50 = a( 2 − 1) thì thể tích của khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ nhất.



+
b

5
1+

c
a

c
1
1
2
Ta có bất đẳng thức
+
≥
, (∀ x, y > 0, x y ≥ 1)
1+ x 1+ y 1+ xy
1
1
2
2
Thật vậy
+
≥
⇔ x − y ( x y − 1) ≥ 0, đúng ∀ x, y > 0, x y ≥ 1 .
1+ x 1+ y 1+ xy
2

5