Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
§1:TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
I/ LÝ THUYẾT:
1/ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG:
ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y=f(x) xđ trên khoảng (a; b) và có đồ thị là (C)
Cát tuyến cắt (C) tại hai điểm M=(x; y) và M
0
=(
0
x
; y
0
)
Nếu khi x
→
0
x
thì M
→
M
0

Khi đó cát tuyến MM
0
→
M
0
T .Thì M
0
T gọi là tiếp

(I)
II/ CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN:
1/ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM
BÀI TOÁN:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểmM(x
0
; y
0
)
∈
(C)
PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
) của (C) là :(d) y = f
/
(x
0
) (x – x
0
) + y
0
BÀI TẬP:
BÀI 1: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau.
1/ Cho hàm số (C) :
23
23
+−= xxy

3
2
1
24
+−= xxy
. (C) :Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
6/ Cho hàm số
1
1
2
+
+
=
x
x
y
(C) :Lập phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
7/ Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
(C) :Lập phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của (C) với trục
hoành.
8/ Cho hàm số
1

+−=
(C) : Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
Chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn đạt giá trị bé nhất của (C) .
39
ϕ
α
ϕ
α
∆x
∆y
f(x
o
)
f(x)
y
(C)
M
T
M
o
0
x
o
x
H
Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
2/ TIẾP TUYẾN ĐỊ QUA MỘT ĐIỂM:
BÀI TOÁN:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(x

∈
(C) khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x
0
; y
0
) của (C) là
d: y = f
/
(x
0
) (x – x
0
) + y
0
;(*)
Gt ta có d đi qua A nên (*)
(**)))((
000
/
yxxxfy
aa
+−=⇔
Giải phương trình (**) tìm x
0
từ đó suy ra y
0
thay vào pt (* ) ta có phương trình tiếp tuyến d.
BÀI TẬP:
BÀI 2: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau
1/ Cho hàm số

1
+
+=
x
xy
(C)
Chứng minh rằng qua điểm
) 1 ; 1 ( −=A
bao giờ cũng kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
5/ Cho hàm số :
x
x
y
1
2
+
=
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
) 0 ; 2- (A
.
Chứng tỏ hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
6/ Cho hàm số :
1
2
−
=
x
x
y

9/ Cho hàm số :
4
4
−
=
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của(C) qua điểm
) 4 ; 1 (A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm.
10/ Cho hàm số :
1
2
+
−
=
x
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của(C) qua điểm
) 0 ; 3- (A
.
Tìm toạ độ tiếp điểm.
40
Tiếp tuyến của đồ thi Giáo viên :TRẦN KHẮC HẢI
BÀI 3: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau.
1/ Cho hàm số:
1
42

( -1 ; 2 )C
.
3/ Cho hàm số :
2
3
3
2
1
24
+−= xxy
(C) .
a/Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0 ;
3
2
)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0 ;
3
2
) .
4/ Cho hàm số :
23
3
+−= xxy
(C) .
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại C(-2;0)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm
)0;1(=A
; C = (-2;0)
5/ Cho hàm số :
226132

(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến
cóhệ số góc k cho trước
PHƯƠNG PHÁP :
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = f
/
(x
0
)(x – x
0
) + y
0
(1) với
)();(
00
CyxM ∈=
Vì tiếp tuyến (d) có hệ số góc k nên ta có : f
/
(x
0
) = k giải tìm được x
0
:(là hoành độ tiếp điểm)
⇒
y
0
= f(x
0
). Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập .
BÀI TOÁN 2:
Cho hàm số :

) + y
0
(1)
Gĩa thiết ta có d song song
1
d
khi: f
/
(x
0
) =
1
a
(*) hay d vuông góc
2
d
khi: f
/
(x
0
) =
2
1
a
−
(**)
Giải phương trình (*) hoặc (**) tìm được x
0
:(là hoành độ tiếp điểm)
⇒

0
= 0.(1)
Mặt khác phương trình đường thẳng d: a.x – y + b = 0 nên ta có:
cos
(*)
1.1
1.
22
++
+
=
ak
ka
ϕ
giải tìm k khi đó ta lại có:
f
/
(x
0
) = k giải tìm được x
0
:(là hoành độ tiếp điểm)
⇒
y
0
= f(x
0
).
Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập .
BÀI TẬP :

2
3
++−= xx
x
y
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
013 =+−∆ xy:)(
.Tìm toạ đôtiếp điểm
4/ Cho hàm số:
2
x 2x 1
y
x 1
+ -
=
-
(C) .Viết phương trình tiếp tuyến của(C) vuông góc với tiệm cận
xiên của hàm số.Tìm toạ độ tiếp điểm.
5/ Cho hàm số :
x
xx
y
−
+−
=
2
96
2
(C).Tìm tất cả các điểm ở trên trục tung sao cho từ đó kẻ tiếp
tuyến với đồ thị (C) song song với đường thẳng:

+
++−
=
4
43
2
(C
m
)Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm
có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng của hàm số .
Chú ý : (Đường thẳng song song Ox có hệ số góc k = 0)
BÀI 5: L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau.
1/ Cho hàm số y=
2 1
2
x
x
−
−
a/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng –3
b/ Viết pt tiếp tuyến của(C)song song với đường thẳng 3x+ 4y – 8 = 0
c/ Viết ptrình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y=3x+1
d/ Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác thứ nhất
2/ Cho hàm số :
2
3
2
+
−+
=

1
23
+++= xxxy
(C) .
a/ Chứng minh rằng trên (C) không có điểm nào mà tiếp tuyến tại đó song song với trục
hoành .
b/ Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất .
7/ Cho hàm số :
2
2
+
−
=
x
x
y
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến song song
với
0=+∆ yx:)(
.
8/ Cho hàmsố:
2
23
+
+
=
x
x
y

.
BÀI 6:L ập phương trình tiếp tuyến của các đồ thị hàm số sau
1/ Cho hàm số :
13
3
+−= xxy
(C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến vuông
góc với
029
=++∆
xy:)(
.
2/ Cho hàm số :
mx
mmmxx
y
+
−+++
=
12
22
(C
m
).Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C
m
) tại x = 0
vuông góc với
x
y
3

M
; y
M
) từ đó kẻ được n tiếp tuyến với đồ thị
hàmsố (C)
PHƯƠNG PHÁP :
Gọi điểm N(x
0
; y
0
) là toạ độ tiếp điểm
⇒
phương trình tiếp tuyến (d) tại N là:
y =f
/
(x
0
) (x – x
0
) + y
0

43