Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học
11/04/2007
Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy rằng, kết cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng
phụ thuộc vào việc sử dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó. Ngày nay, chúng ta đã có đầy đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký
hiệu toán học không những chỉ là phương tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói chung và toán học nói riêng, mà chúng còn có một giá trị
nhận thức luận to lớn. Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nội dung khách quan của chúng quy định.
Như chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khi người ấn Độ đưa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ được hệ thống tính từng
cấp và phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt của nó trong tính toán đã được hàng trăm triệu người trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng ngày. Đồng thời,
khi nhà khoa học nổi tiếng người Đức là Lépnít đưa ra ký hiệu vi phân và tích phân thì toán học đã thực sự đổi mới. Thật vậy, nếu như trước đây lời giải của nhiều bài
toán về tính diện tích, thể tích, cơ học, thiên văn học… đòi hỏi những nỗ lực to lớn mà chỉ những nhà toán học lỗi lạc mới có thể giải được, thì khi các ký hiệu của
Lépnít xuất hiện, nhìn chung chúng đã được giải quyết, mặc dù đó là sự giải quyết một cách máy móc. Như vậy, với những ký hiệu toán học, chúng ta có thể giải quyết
được những nhiệm vụ gắn liền với thực tiễn. Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan đích thực. Ở đây, vấn đề là ở chỗ, nội dung ấy được thể hiện như thế nào
trong quá trình nghiên cứu khoa học của chúng ta.
Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tư duy của con người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan. Song, trên thực tế họ lại
luôn minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của mình bằng cách sử dụng hệ thống ký hiệu và công thức toán học do các nhà toán học đưa ra. Giải thích việc sử dụng
hệ thống này, các nhà triết học duy tâm cho rằng, đối tượng của toán học mang tính trừu tượng cao, trong khi quy luật phát triển của toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ
ký hiệu thì ngày càng được sử dụng nhiều trong toán học, nên các chân lý toán học không có tính khách quan. Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã
được lựa chọn từ trước một cách thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết của mình. Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ
quá trình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm về đối tượng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa của các
ký hiệu toán học.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Chẳng hạn, trong số học các số tự
nhiên, các ký hiệu 1, 2, 3… biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối tượng chứa một, hai, ba… đối tượng. Các ký hiệu >, = , < biểu diễn những sự tương quan, chẳng
hạn 1<2 (1 bé hơn 2). Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như: +, - , x, : để biểu thị những mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên. Tất cả
các ký hiệu nói trên cho phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các số tự nhiên. Ví dụ, ký hiệu (3 x 5) -7 = 4 x 2 biểu diễn một mệnh
đề số học.
Trong đại số học, người ta thường dùng các ký hiệu là các chữ như a, b, c,..., x, y, z... để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên. Chẳng hạn, trong phương
trình ax
2
+ bx + c = 0, mỗi hệ số a, b, c có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, còn ẩn số x cần tìm là thuộc tập hợp các số phức. Việc sử dụng các ký hiệu về đại lượng biến
thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng quát các quy luật của đại số và cả các quy luật của các lý thuyết toán học khác. Ví dụ:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

diễn tả bằng tiếng nói của ký hiệu đều có thể diễn tả bằng tiếng nói thông thường. Nhưng điều ngược lại thì không đúng, mọi mệnh đề được diễn tả bằng tiếng nói thông
thường không phải lúc nào cũng có thể diễn tả bằng tiếng nói của các ký hiệu toán học. Tiếng nói của các ký hiệu toán học chỉ là một công cụ bổ sung cho tiếng nói
thông thường, nó được sử dụng trong toán học và một phần trong các ngành khoa học khác mà ở đó, có ứng dụng toán học. Việc ký hiệu hoá toán học không đơn thuần
là một vấn đề hình thức, một cách viết tắt thuận lợi, mặc dù không bao giờ được xem thường khía cạnh đó. Ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà
nếu diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường sẽ rất dài đòng, phức tạp. Ở đây, chúng ta có thể nhận thấy tính ưu việt của việc sử dụng các ký hiệu toán học, nếu so sánh công
thức của bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
(a
2
+ a
2
+ ... + a
2
).(b
2
+ b
2
+ … + b
2
) > (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+… +a
n
b
n

tâm, chẳng hạn như Alembécxơ, coi các số gia đó như những cái đã tồn tại từ trước, bất luận sự biến đổi nào của các biến số, thì Mác, trái lại, coi chúng như là kết quả
biến đổi của các biến số.
Mác coi việc khử các số gia là công đoạn diễn ra do kết quả biến đổi ngược của các biến số x và y, còn việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán bao gồm cả công
đoạn tính và khử các số gia hữu hạn. Mác viết: "Lúc đầu là việc tính các số gia và sau đó là việc khử chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có gì hết. Tất cả những khó khăn
trong việc hiểu phép vi phân (cũng như trong việc hiểu phủ định của phủ định nói chung) chính là ở chỗ, làm sao thấy được ở điểm nào, nó khác với thủ tục đơn giản
như thế và vì vậy, nó dẫn đến kết quả thực tế nào".
Như vậy, hệ số vi phân bằng ký hiệu xuất hiện không phải như điểm xuất phát, mà như sự phản ánh của việc tìm ra đạo hàm trong một quá trình đại số đích thực nào đó,
không chứa một ký hiệu đặc trưng cho phép tính vi phân nào. Mác viết: "Sự bất hạnh tiên thiên hay các ký hiệu không còn mang tính chất khủng khiếp vì giờ đây, nó chỉ
xuất hiện như là biểu hiện của một quá trình mà nội dung thực tế đã được hiểu rõ".
Nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của phép tính vi phân, Mác đã áp đụng quan điểm toàn diện trong việc phân tích và lặp lại phép biện chứng của các đại
lượng biến đổi và qua đó, đã chứng minh tính hiệu quả của phép biện chứng duy vật trong sự phát triển của nhận thức toán học. ông viết: "Hệ số vi phân bằng ký hiệu
như thế trở thành điểm xuất phát độc lập mà ta chỉ cần tìm cái tương đương thực tế của nó. Như vậy, sự mở đầu được chuyển từ một cực là đại số sang cực kia là ký
hiệu và do đó, phép tính vi phân cũng xuất hiện như một phép tính đặc thù nào đó, như một thao tác độc lập trên một mảnh đất riêng".
Trong quan điểm của Mác, một vấn đề nổi lên là phương pháp đã có sự đổi hướng, bản thân phương pháp đại số đã biến thành phương pháp vi phân đối lập với nó. Nếu
như trước đây, chúng ta đi từ quá trình toán học thực tế về việc tính đạo hàm đến biểu thức bằng ký hiệu của nó (tức là từ đối tượng đến cái bóng của nó) thì giờ đây,
xuất phát từ ký hiệu đã cho, chúng ta tìm hệ thức thực tế phù hợp với nó (tức là chúng ta đi từ cái bóng đến đối tượng như Mác nói). Và, theo Mác, bước ngoặt đó trong
phương pháp là không thể tránh khỏi, là tiến bộ. Trong lịch sử toán học, đã có nhiều nhà khoa học, chẳng hạn, Lagơrăng, trong khi cố gắng phát triển phép tính vi phân
từ các hệ thức đại số thông thường đã không tới được phép tính vi phân, bởi họ đã không đổi ngược quan hệ giữa đại số và phép tính vi phân.
Tư tưởng của Mác về cuộc cách mạng trong phương pháp có một ý nghĩa phương pháp luận to lớn đó là chỉ ra biện pháp loại bỏ sự thần bí gắn với các ký hiệu. Điều đó
có ý nghĩa quyết định trong giai đoạn nhận thức hiện nay và cho phép chúng ta hiểu rõ cội nguồn của tất cả những bế tắc mà thực chứng luận hiện đại và quan niệm đề
cao ngôn ngữ toán học một cách thái quá đã mắc phải. Đồng thời, những tư tưởng đó còn chỉ rõ tính tất yếu và tính chất tiến bộ của một thực tế là, khi nhà nghiên cứu
sử đụng toán học, điểm xuất phát không phải là đi từ các dữ kiện thực tế đến ký hiệu của chúng, mà đi từ các hình thức ký hiệu đến cái tương đương thực tế của chúng.
Với những thành tựu của cuộc cách mạng trong phương pháp, vai trò của các ký hiệu đã thay đổi một cách cơ bản: Từ biện pháp ghi lại các hiện tượng đã biết, ký hiệu
biến thành biện pháp để tìm ra cái chưa tìm được. Đồng thời, chính nhờ điều đó mà tính chất "tác chiến" của ký hiệu toán học đã tìm thấy vai trò to lớn của nó. Vì vậy,
có thể nói, quan điểm coi vi phân như một ký hiệu "tác chiến" của Mác có ý nghĩa rất quan trọng trong nhận thức toán học. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra một ký hiệu
"tác chiến" mới là dy = f '(x)dx để diễn đạt hình thức ký hiệu chung của phép lấy vi phân.
Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta nhận thấy rằng, trong toán học, người ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu chính là do đặc
điểm về đối tượng nghiên cứu của nó. Cụ thể là, toán học nghiên cứu những hình dạng và quan hệ của các đối tượng trong thế giới hiện thực mà trong những giới hạn đã
biết, chúng không phụ thuộc vào nội dung thực tế của đối tượng. Ngày nay, trong toán học, nhất thiết chúng ta phải dùng đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có
thể ghi lại một cách ngắn gọn và rõ ràng các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toán họe. Đồng thời, việc sử dụng các ký hiệu còn cho phép phát triển được cả

gồm có bảng kê những ký hiệu cơ sở, các quy tắc cấu tạo (quy định kết hợp các ký hiệu như thế nào). Các quy tắc biến đổi (quy định các biểu thức như thế nào để được
một kết luận logic) và các quy tắc giải đoán (quy định gán những nghĩa nào cho các biểu thức hình thành theo quy tắc cấu tạo).
Ở đây, một vấn đề có ý nghĩa lớn là, những ký hiệu được đưa vào ngôn ngữ toán học nhân tạo thường có tính chất quốc tế và giúp cho việc khắc phục trở ngại về ngôn
ngữ, bởi những tài liệu được công bố bằng tiếng nước ngoài thường khó hiểu đó bất đồng ngôn ngữ. Song, như chúng ta đã biết, nhờ có ngôn ngữ của các ký hiệu mà từ
lâu, việc không phiên dịch các thông báo khoa học do các nhà khoa học của nhiều nước trình bày trong các cuộc hội thảo khoa học đã trở thành truyền thống của các hội
nghị toán học quốc tế. Như vậy, chính ngôn ngữ của các ký hiệu, công thức và phương trình đã liên kết các nhà khoa học toàn thế giới.
Nếu xét trên bình diện nghiên cứu khoa học, những đặc điểm của ngôn ngữ tự nhiên đôi khi đã tạo nên những yếu tố chủ quan trong quá trình nhận thức. Việc ứng dụng
toán họe vào các khoa học khác đã nâng cao giá trị khách quan của các nguyên lý khoa học, vì khi đó, người ta có thể loại trừ được những mối liên hệ đa dạng với chủ
thể, cái mà luôn tồn tại trong ngôn ngữ tự nhiên. Có thể nói rằng, ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ chung, là sự trang bị cho ngôn ngữ chung những công cụ
thuận tiện để phản ánh những mối liên hệ phụ thuộc mà nếu diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, sẽ không chính xác hoặc phức tạp.
Ngôn ngữ tự nhiên nảy sinh trên cơ sở vận dụng những đối tượng mà chúng ta bắt gặp trong kinh nghiệm hàng ngày còn khoa học hiện đại lại sử dụng những khái niệm
liên quan một cách gián tiếp với những cái thấy được hàng ngày. Bức tranh vật lý của thế giới khác xa với kinh nghiệm thông thường. Đó chính là nguyên nhân chủ yếu
của việc cần đến ngôn ngữ toán học trừu tượng, thứ ngôn ngữ tỏ ra là một công cụ không thể thay thế được khi đi vào lĩnh vực các hiện tượng vật lý nằm rất xa ngoài
các giới hạn của kinh nghiệm hàng ngày.