CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

2
3 2 4 2
3x 2 x 2x + 3
a)y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c) y d) y
x 1 x 1
+ −
= − + = =
+ +
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3
2
2 2
x x x
a) y 25 x b) y c) y d) y
x 100
16 x x 6

khoảng
( )
5;+∞
.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
[ ]
5
a) y x sin x, x 0;2 b) y x 2cosx, x ;
6 6
π π
 
= − ∈ π = + ∈
 ÷
 
Bài 4. Chứng minh rằng:
a)
( )
f x cos2x 2x 3= − +
nghịch biến trên R.
b)
( )
2
f x x cos x= +
đồng biến trên R.
Giải:
a) Ta có:
f '(x) 2(sin 2x 1) 0, x R= − + ≤ ∀ ∈
và
f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z
4

π π
 
− + π − + + π ∈
 
 
.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x;
f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z
4
π
= ⇔ = ⇔ = + π ∈
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn
( )
k ; k 1
4 4
π π
 
+ π + + π
 
 
và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi
( )
x k ; k 1 , k Z
4 4
π π
 
∈ + π + + π ∈
 ÷
 

0
>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤


a 0
f (x) 0, x R
0
<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các
bước sau:
 B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
 B2. Lý luận:
Hàm số đồng biến trên K
f '(x,m) 0, x K⇔ ≥ ∀ ∈

( )
m g(x), x K m g(x)⇔ ≥ ∀ ∈ ≤
 B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 1
Với giá trị nào của a, hàm số
( )

= − + − +
nghịch biến trên R ?
Giải:
TXĐ: R
Ta có:
2
f '(x) 3mx 6x m 2
= − + −
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
2
f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R
= − + − ≤ ∀ ∈
• m = 0, khi đó f’(x) =
1
6x 2 0 x
3
− − ≤ ⇔ ≥ −
: không thỏa
x R
∀ ∈
.
•
m 0≠
, khi đó
m 0
f '(x) 0, x R
9 3m(m 2) 0
<

≤ ∀ ∈ ⇔

f x
2x 1
− + −
=
−
nghịch biến trên từng khoảng xác định
của nó.
Giải:
TXĐ:
1
D R \
2
 
=
 
 
Đạo hàm:
( )
2
2
6x 6x 4 m
f '(x)
2x 1
− + + −
=
−
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
1
f '(x) 0, x
2

. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi
2
y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1> ∀ ≠ − ⇔ − > ⇔ < − >
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
Bài 5
Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= − − + − +
đồng biến trên
[
)
2;
+∞
.
Giải:
Ta có:
( ) ( )
2
y' mx 2 m 1 x 3 m 2
= − − + −
Hàm số đồng trên
[

2
2
2
2
2x 12x 6
f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6
x 2x 3
− +
= = ⇔ − + = ⇔ = ±
− +
BBT:
x
2
3 6
+

+∞
f’(x) 0
f(x)
2
3
0
Ta cần có:
[
)
2;
2
max f (x) m m
3
+∞

)
2
1; y' 0, x 1 mx 4mx 14 0, x 1
+∞ ⇔ ≤ ∀ ≥ ⇔ + + ≤ ∀ ≥
( )
2
2
14
m x 4x 14, x 1 m , 1
x 4x
−
⇔ + ≤ − ∀ ≥ ⇔ ≤ ∀ ≥
+
Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số
( )
2
14
f x m, x 1
x 4x
−
= ≤ ∀ ≥
+
Ta có:
( )
2
2
14(2x 4)
f '(x) 0, x 1
x 4x
+

Bài tập tự giải:
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
( )
3 2
1
f x x ax 4x + 3
3
= + +
đồng biến trên R
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số
m
y x 2
x 1
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3. Định a để hàm số
( )
( )
2 3 2
1
y a 1 x a 1 x 3x 5
3
= − + + + +
luôn đồng biến trên R ?
ĐS:
a 1 v a 2
≤ − ≥
Bài 4. Cho hàm số
( )

4
m
9
≥
.
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx
3
– 6x
2
+ (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).
ĐS:
9
m
10
≥
.
Bài 8. Cho hàm số
2
x 2mx m 2
y
x m
− + +
=
−
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;
+∞

0;
2
π
 
÷

 
.
b) Chứng minh rằng:
2sin x tan x 3x, x 0;
2
π
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
.
Giải:
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
và có
( ) ( )
2
2 2

a) Chứng minh rằng hàm số
( )
f x tan x x
= −
đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
.
b) Chứng minh rằng
3
x
tan x x , x 0;
3 2
π
 
> + ∀ ∈
 ÷
 
.
Giải:
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2
π
 

   
∀ ∈ ⇔ > ∀ ∈
 ÷  ÷
   
.
Xét hàm số
3
x
g(x) tan x x
3
= − −
trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
. Hàm số này liên tục trên nửa
khoảng
0;
2
π
 
÷

 
và có đạo hàm
2 2 2

 
nên g(x) > g(0) = 0
x 0;
2
π
 
∀ ∈
 ÷
 
3
x
tan x x , x 0;
3 2
π
 
⇔ > + ∀ ∈
 ÷
 
(đpcm).
Bài 3
Chứng minh rằng :
2(x 1)
ln x
x 1
−
>
+
, với mọi x > 1.
Giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

( )
0;
+∞
nên cũng đồng biến trên khoảng
( )
1;
+∞
. Vậy ta
luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1. Đó cũng là điều phải chứng minh.
Bài tập tự giải:
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin x x, x 0
< ∀ >
và
sin x 0, x 0
< ∀ <
b)
2
x
cosx 1 , x 0
2
> − ∀ ≠
c)
3
x
sin x x , x 0
6
> − ∀ >
và

Bài 2. Cho hàm số
( )
4
f x x tan x, x 0;
4
π
 
= − ∈
 
π
 
.
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn
0;
4
π
 
 
 
.
b) Từ đó suy ra rằng:
tan x x, x 0;
4 4
π π
 
≤ ∀ ∈
 
 
.
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh