Các dạng bài tập cơ bản về biến đổi vectơ
Dạng I:Chứng minh hai vectơ cùng phơng, hai vectơ bằng nhau.
a)- Hai vectơ đợc gọi là cùng phơng nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- Vectơ
b
cùng phơng với vectơ
a
(
a

O
) khi và chỉ khi co số k sao cho
b
=k
a
b)Hai vectơ bằng nhau:
a
=
b

a
,
b
cùng hớng và
a
=
b
-Chứng tỏ hai vectơ cùng hớng
-Độ dài hai vectơ bằng nhau
VD1:
Cho tam giác ABC Gọi M,N lần lợt là trung điểm hai cạnh AB và AC.


BC,
NF

BC.CMR:
ME
=
NF
VD4:
Cho tam giác ABC cân tại A,trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho D không trùng với
A và B ,trên tia đối của tia CA lấy một điểm E sao cho BD= CE ,DE cắt BC tại F. CMR:
DF
=
FE
Dạng II:Chứng minh hai điểm trùng nhau.
C1: A

B

AB
=
O
C2: A

B


IA
=
IB

O
.
HD:
- Gọi G và G lần lợt là trọng tâm của tam giac ABC và ABC ta có:

'AA
+
'BB
+
'CC
=
AG
+
'GG
+
'' AG
+
BG
+
'GG
+
'' BG
+
CG
+
'GG
+
''CG
=3
'GG

=
O
.
VD2:
Cho tam giác ABC .Gọi A là điểm đối xứng với A qua B,B là điểm đối xứng với B
qua C,C là điểm đối xứng với C qua A.CMR: Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng
tâm G.
HD:
- Gọi G và G lần lợt là trọng tâm của tam giac ABC và ABC ta có:

'AA
+
'BB
+
'CC
=
AG
+
'GG
+
'' AG
+
BG
+
'GG
+
'' BG
+
CG
+

- Các cách thờng sử dụng: Biến đổi tơng đơng,biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản
,biến đổi bắc cầu...
- Kiến thức liên quan:
+Sử dụng quy tắc ba điểm:
Với ba điểm M,N,P bất kì ta có
MN
+
NP
=
MP
+Sử dụng quy tắc hình bình hành:
Nếu OABC là Hình bình hành thì ta có
OA
+
OC
=
OB
+ Sử dụng quy tắc về hiệu vectơ:Nếu
AB
là một vectơ đã cho thì ta có
AB
=
OB
-
OA
+Sử dụng tính chất trung điểm:
. M là trung điểm đoạn thẳng AB

MA
+

(Với O là điểm tuỳ ý)
VD1:
Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì ;I,J lần lợt là trung điểm của AB và CD .
a)CMR:
AC
+
BD
= 2
IJ
b)Gọi O là trung điểm của IJ .CMR:
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O
c)M là điểm bất kì.CMR:
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=4
MO
HD:

,
OC
+
OD
=2
OJ


OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O
(Vì O là trung điểm IJ)
c)
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O

MA

a)Tứ giác HBDC là hình bình hành. b)
HA
+
HB
+
HC
= 2
HO

c)
OA
+
OB
+
OC
=
OH
d) O,G.H thẳng hàng.

HD:
a)DC

AC,BH

AC

DC//BH;DB

AB,CH


HC
= 2
HO

OA
-
OH
+
OB
-
OH
+
OC
-
OH
=-2
OH


OA
+
OB
+
OC
=
OH
VD3: Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G .
a)CMR:
AH
=


AH
+
AB
=2
AG

AH
=2
AG
-
AB
=
3
2
AC
-
3
1
AB
(1)
Vì
AG
=
3
1
AB
+
3
1

AH
-
AB
+
CH
)=
6
1

AC
-
6
5
AB
Dạng IV:Biểu thị một véctơ qua hai vectơ không cùng phơng.Chứng minh ba điểm thẳng
hàng.
- Cho
a
và
b
là hai véc tơ không cùng phơng. Với mọi vectơ
x
ta có
x
=m
a
+n
b
(m,n


+
PB
=
O
.
a)Biểu diễn các vectơ
AP
,
NA
,
AM
theo các vectơ
AB
và
AC
b) Biểu diễn các vectơ
MP
,
MN
theo các vectơ
AB
và
AC
c)CMR:M,N,P thẳng hàng.
HD:
a)
PA
+
PB
=

2
1
AB
b)
MP
=
AP
-
AM
=
AB
-
2
3
AC
(1) ;
MN
=
NA
-
AM
=
2
1
AB
-
4
3
AC
(2)


IB
=3
IC

AB
-
AI
=3(
AC
-
AI
)

AI
=-
2
1
AB
+
2
3
AC
(1)
b) gt

AJ
=
3
2

AI
-24
JK
VD3: Cho tam giác ABC.Gọi I,J là hai điểm xác định bởi
IA
= 2
IB
, 3
JA
+2
JC
=
O
a)Tính
IJ
theo
AB
và
AC
.
b)CMR:
GB
=
3
2
AB
-
3
1
AC

(1)
b)Gọi M là trung điểm của AC

BM
=
2
1
(
BA
+
BC
)

GB
=-
3
1
(
BA
+
BC
)=
3
2
AB
-
3
1
AC
c)


I,J,G thẳng hàng

IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Dạng V: Xác định một điểm thoả mãn một hệ thức về vectơ.
Cho:O,
a
khi đo tồn tại duy nhất một diểm M sao cho
OM
=k
a
(k không đổi)
VD1:Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì.CMR:
a
=
MA
+
MB
- 2
MC
không phụ
thuộc vào vị chí điểm M.Dựng điểm D sao cho
CD
=
a
.
HD:
+
a
=

MB
-
MC
=
AD
; b)
NC
+
ND
-
NA
=
AB
+
AD
-
AC
;
HD:
a)
MA
-
MB
-
MC
=
AD

CM
=

N là đỉnh thứ t của hbh DACN.
Dạng VI:Tìm quỹ tích.
+
OM
=
a
với O có định và
a
không đổi thì tập hợp điểm M là đờng tròn
tâm O bán kính
a
.
+
MA
=
MB
với A,B cố định thì tập hợp điểm M là đờng trung trực của AB.
+
OM
=k
a
với O cố định ,
a
không đổi ,k

R thì tập hợp điểm M là đờng thẳng đi
qua O và có phơng cùng phơng với vectơ
a
.
+

MC
);k

R
HD:
a)
MA
+
MB
=
MA
-
MB


2
MI
=
BA
(với I là trung điểm của AB)

MI=
2
1
AB.Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I bkán kính
2
1
AB.
b)
MA

. Vậy tập hợp điểm M là đờng thẳng đi qua
I và song song với BC
VD2:
Cho tứ giác ABCD.
a)Xác định điểm O sao cho :
OB
+4
OC
=2
OD
.
b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức
MB
+ 4
MC
-2
MD
= 3
MA
HD:
a)
OB
+4
OC
=2
OD

3
OB
=2

MD
= 3
MA

3
MO
+
OB
+4
OC
-2
OD
= 3
MA

3
MO
= 3
MA

MO=MA.
Vậy tập hợp điểm M là đờng trung trực của đoạn OA.
Bài tập làm thêm
A.Tự luận:
1. Cho bốn điểm M,N,P,Q bất kì .CM các đẳng thức sau:
a)
PQ
+
NP
+

CD

b)
AB
+
CD
=
AD
+
CB
3. Cho tứ giác ABCD .Gọi I,J lần lợt là trung điểm của AB,CD;O là trung điểm của IJ.
CMR:
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O
4.Cho tứ giác ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD.