SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRUNG TÂM GDTX THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH
CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC
Ở TRUNG TÂM GDTX THÀNH PHỐ THANH HÓA

Người thực hiện: Nguyễn Thị Quý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018
1


MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu ……………………………………………………………………….2
1.1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………2
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….2
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….3
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………...3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm …………………………..……………….3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.………………...………………..3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.……………..4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..………………….………...4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .……………………………………..17
3. Kết luận, kiến nghị .……………………………………………...………...18

Có những em chưa thành thạo các phép tính, chưa giải được phương trình bậc
hai. Học theo lớp ngồi, cái gì Giáo viên cũng tìm mọi cách để đơn giản kiến thức
mà dạy. Đối với SỐ PHỨC cũng vậy, bản chất của nó là các phép toán trên đơn
thức, đa thức. Âý vậy mà chúng tôi- những người trực tiếp giảng dạy gặp nhiều
khó khăn: kiến thức mới khó tiếp thu , khó nhớ. Nguyên nhân sâu xa của vấn đề
là:
* Nguyên nhân từ phía gia đình
Gia đình có vai trò quan trọng đối với con cái, do thiếu sự quan tâm và
giáo dục của các bậc phụ huynh ; cũng có nhiều gia đình có hoàn cảnh éo le, bố
mẹ chia tay hoặc bố mất, mẹ mất,...các em sao nhãng việc học. Thêm vào đó là
phần đa phụ huynh nghĩ rằng con họ có học cũng không vào, nên kệ con em
mình. Miễn sao con em mình lên lớp là được.
* Nguyên nhân từ phía người thầy:
Tất cả giáo viên dạy chương trình GDTX đều phải tự soạn, tự nghiên cứu
và tự sưu tầm tài liệu để dạy sao cho hiệu quả . Giáo viên dạy GDTX vẫn phải
hoàn tất công tác giảng dạy như mọi giáo viên, đôi khi còn kiêm nhiệm nhiều
công tác khác…nên không có điều kiện đầu tư thời gian, trí lực cho việc cung
cấp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài cho học sinh.
* Nguyên nhân từ phía học sinh:
Đối tượng học sinh của Trung Tâm GDTX Thành Phố Thanh Hóa thường
tiếp thu chậm, hiểu nội dung mơ hồ, khả năng tư duy Toán chưa tốt,...Do đó các
em không có vốn kiến thức cơ bản tương xứng để học và làm toán .
3


1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Khi học khái niệm mới “Số phức”, học sinh mắc phải một số sai lầm khi:
nhân hai số phức, chia hai số phức hay giải phương trình nghiệm phức… Trong
quá trình học ở trường đại học và dạy ở trung tâm tôi có nguyện vọng được hệ
thống lại “số phức” một cách tường minh và dễ hiểu. Giúp học sinh hiểu và làm

uuu
r của số phức
Độ dài OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là | z |
uuuu
r
Vậy | z |=| OM | hay | z |=| a + bi |= a 2 + b 2

x

y

M

b
0

a

x
4


5. Số phức liên hợp
Cho z = a + bi . Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là
z = a − bi
6. Các phép toán trên tập số phức
a. Phép cộng và phép trừ
Phép cộng:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i .
Phép trừ

Học sinh làm được
trên 70 % bài tập

Học sinh làm được
50 – 70 % bài tập.

Học sinh làm dưới
50% bài tập.

(TB)

(Yếu)

( Khá)
Sốlượng

Tỉ lệ %

Sốlượng

Tỉ lệ %

Sốlượng

Tỉ lệ %

4 bài

11,8%


a. (2 + 3i )(3 − 2i) = 6 − 4i + 9i − 6i 2 = 12 + 5i
b. 6(4 − 3i ) = 24 − 18i
c. (−2 − 3i )5i = −10i − 15i 2 = 15 − 10i
Bài tập 3: Tính
a. (1 + 5i ) 2
b. (1 + 5i )3
Lời giải:
a. (1 + 5i )(1 + 5i ) = −24 + 10i
b. (1 + 5i )3 = (1 + 5i) 2 (1 + 5i ) = (−24 + 10i)(1 + 5i) = −74 − 110i
Bài tập 4: Thực hiện các phép tính
2i
4
2 − 3i
1− i 3
c.
d.
a.
b.
1 − 2i
2−i
1 + 6i
3+i 2
6 − 3i
3 − 4i
e.
f.
i
2
Lời giải:
2 − 3i (2 − 3i )(1 − 6i ) −16 − 15i

i 6 = (i 2 )3 = −1
i n = (−1) n .( −i )
Với n = 2k ta có:
n

i n = i 2 k = (i 2 )k = ( −1) k ⇒ i n = (−1) 2
Với n = 2k + 1 ta có:
(2 k +1)

n
 2 

i =i
= i.(i ) = (−1) .i = (−1) .i
*Mức độ vận dụng cao
Bài tập 6: Tính (1 + i ) 2018 = ?
Lời giải:
n

2 k

k

1009

(1 + i ) 2018 = (1 + i) 2  = (2i )1009 = 21009.i1009 = 21009.(i 2 )504 .i = 21009 (−1)504 .i = 21009 i
Dạng 2: Xác định số phức z và biểu diễn số phức z
*Mức độ Hiểu biết
Bài tập 1: Tìm các số thực x, y biết:
a. (4 x − 3) + (3 y + 2)i = (2 x + 2) − (2 y − 6)i

4
Bài tập 2: Tìm số phức liên hợp của
a. z = 7
b. z = 2i
c. z = 2 − 3i
7


d. z = − 6 − i 8
* Mức độ vận dụng.
Bài tập 3: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z = x + yi thoã mãn:
a. x = −3
d. z = 2
b. y = 4
e. z ≤ 1
c. x ∈ (−2,3)
P2: dạng bài tập này là tìm các tập điểm t/m các điều kiện: hoành độ ( x) -phần
thực
, tung độ ( y ) -phần ảo.
Lời giải:
a. x = −3
Là đường thẳng x = −3

y

y

b. y = 4
Là đường thẳng y = 4

2
2
x 2 + y-22 = 2 ⇔ x + y = 4 là đường tròn có tâm O(0,0) và R = 2
x
8
-2


e. z ≤ 1
Ta có x 2 + y 2 ≤ 1 là mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn x 2 + y 2 = 1 (kể cả
y
điểm thuộc đường tròn
1

1

-1

x

Dạng 3. Giải các phương trình nghiệm phức.
*Mức độ Hiểu biết
Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a. (3 − 2i ) z + 4 + 5i = 7 − 3i

-1

z
+ 2 − 3i = 5 − 2i
4 − 3i


−b + i ∆ −3 + i 47 −3
47
=
=
+
i
2a
14
14 14

−b − i ∆ −3 − i 47 −3
47
=
=
−
i
2a
14
14 14
b. Ta có ∆ = b 2 − 4ac = −2 < 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
z1 =

z1 =

−b + i ∆ − 1 + i 2 1
2
=
= −
i

z2 =

Phương trình đã cho tương đương với
(2 z + 1)( z 2 − 3z + 3 + i ) = 0
10


1
⇒ z = − ; z = 2 − i ; z =1+ i
2
Dạng 4. Mô đun của số phức.
*Mức độ Hiểu biết
Bài tập 1: Tìm z biết
a. z = 1 − i 2
Lời giải:

b. z = 6i

a. z = 1 + (− 2) 2 = 3
b. z = 02 + 62 = 6
* Mức độ vận dụng
Bài tập 2: Tìm số phức z thoã mãn.
z + 1 − 2i = z − 2 + i và z − i = 5
Lời giải:
Giả sử z = x + yi ( x, y là số thực). Từ giả thiết ta có
2
2
2
2
 x + 1 + ( y − 2)i = x − 2 + (1 − y )i

Lời giải:
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thì z = a 2 + b 2 ≤ 1 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 . Ta có
4a 2 + (2b − 1) 2
2 z − 1 2a + (2b − 1)i
=
=
.
2 + iz
(2 − b) + ai
(2 − b) 2 + a 2
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

4a 2 + (2b − 1) 2
(2 − b) 2 + a 2

≤1

⇔ 4a 2 + (2b − 1) 2 ≤ (2 − b) 2 + a 2 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 ⇒ dpcm
11


3
Bài tập 2: Cho số phức z khác không thoả mãn điều kiện z +

minh rằng: z +

1
≤ 2. Chứng
z3


+
+
3
z
+
⇒
z
+
≤
z
+
+
3
z
+
≤
2
+
3
z
+

÷

÷
z
z3
z
z
z3

d. (2 + 3i ) 2
1+ i
e. (2 − 3i ) 2
b.
1− i
2 + i + (1 + i )(4 − 3i )
f.
4
c. (2 − i )
3 + 2i
Bài 3: Tính
a. 1 + i + i 2 + i 3 + ... + i 2018
b. (1 − i) 2018
Bài 4: Giải các phương trình sau trên trường số phức
2+i
−1 + 3i
c. (1 − i ) z + 2 − i = 2 z + i
z=
a.
1− i
2+i
d. (iz − 1)( z + 3i )( z − 2 + 3i ) = 0
b. 2iz + 1 − i = 0
12


k. (3 − 2i ) z + (6 − 4i ) = 5 − i
l. (3 + 4i ) z + (1 − 3i ) = 2 + 5i
1 
1

a. S = 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + ...
b. S = Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + ...
1 n
nπ
3
6
Bài tập 3: Chứng minh rằng 1 + Cn + Cn + ... = (2 + 2cos )
3
3
IV.Câu hỏi trắc nghiệm Số phức
*Mức độ hiểu biết và vận dụng
Câu 1: Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z2 − 2z + 5 = 0 . Tính P = z14 + z24
A. –14
B. 14
C. -14i
D. 14i
Câu 2: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 + 2z + 3 = 0 . Tọa độ
điểm M biểu diễn số phức z1 là:
A. M(−1; 2) B. M(−1; −2)

C. M(−1; − 2)

D. M(−1; − 2i)

Câu 3: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z2 − 3z + 5 = 0 . Tìm mô đun của
sốphức: ω = 2z − 3+ 14
A. 4

B. 17



3 2
− i
13 13

B.

3 2
+ i
13 13

1
là số phức nào dưới đây?
3+ 2i
3 2
3 2
C. − − i
D. − + i
13 13
13 13

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là sai, khi nói về số phức?
A. z + z là số thực B. z + z' = z + z'

C.

1
1
+
là số thực.

A. z∈ R .
B. z là số thuần ảo.
C. Mô đun của z bằng 1
D. z có phần thực và phần ảo đều bằng 0.
(2 − 3i)(4 − i)
Câu 11: Điểm biểu diễn số phức z =
có tọa độ là
3+ 2i

Câu 10:Cho số phức z =

A. (1;-4)
B. (-1;-4)
C. (1;4)
D. (-1;4)
Câu 12: Tập hợp nghiệm của phương trình i.z+ 2017− i = 0 là:
A. {1+ 2017i}
B. {1− 2017i}
C. {−2017+ i}
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình (3− i).z − 5 = 0 là :
A. {

3 1
+ i
2 2

}

B.


Câu 14: Tìm hai số phức có tổng và tích lần lượt là -6 và 10.
A. -3-i và -3+i
B. -3+2i và -3+8i C. -5 +2i và -1-5i D. 4+4i và 4-4i
Câu 15: Cho số phức z = 3+ 4i và z là số phức liên hợp của z . Phương trình bậc hai
nhận z và z làm nghiệm là:
A. z2 − 6z + 25 = 0

B. z2 + 6z − 25 = 0

3
2

C. z2 − 6z + i = 0

1
2

D. z2 − 6z + = 0

z
có phần thực là:
z'
aa'+ bb'
aa'+ bb'
a + a'
2bb'
A. 2 2
B. 2
C. 2 2
D. 2 2

Câu 18: Trong £ , cho phương trình bậc hai az + bz + c = 0 (*) (a ≠ 0).

A.

Gọi ∆ = b2 – 4ac. Ta xét các mệnh đề:
1) Nếu ∆ là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
2) Néu ∆≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt
3) Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép
Trong các mệnh đề trên:
A. Không có mệnh đề nào đúng B. Có một mệnh đề đúng
C. Có hai mệnh đề đúng
D. Cả ba mệnh đề đều đúng
Câu 19: Điểm biểu diễn của số phức z =
A. ( 2; − 3)

 2 3
; ÷
 13 13

1
là:
2 − 3i

C. ( 3; − 2)

B. 

D. ( 4; − 1)

Câu 20: Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - 3i là:

21 61
23 63
15 55
+ i
+ i
+ i
A. z =
B. z =
C. z =
26 26
26 26
26 26
1
z − z là:
Câu 23 : Cho số phức z = a + bi. Khi đó số
2i

A. z−1 =

(

D. z−1 = -1 + 3i

D.

9 23
− i
25 25

D. z =


 b bÊt k×vµ a =0

B. 

2
2
b = a

C. b = 3a

D. b2 = 5a2

Câu 26: Cho số phức z = a + bi. Để z3 là một số thuần ảo, điều kiện của a và b là:

15


B. b2 = 3a2

A. ab = 0

a = 0 vµ b ≠ 0

 a ≠ 0 vµ b =0

C. 

D. 


C.

+ y2

( x − 1)

2

+ y2

D.

( x − 1)

2

+ y2

Câu 28: Trong C, phương trình z2 + 4 = 0 có nghiệm là:
 z = 2i
 z = −2i

A. 

 z = 1+ 2i

Câu 29: Trong C, phương trình
A. z = 2 - i

 z = 1+ i

2
Câu 31: Cho phương trình z + az + bz + c = 0. Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm
của phương trình thì a, b, c bằng (a,b,c là số thực):
a = −4

A. b = 6
c = −4


a = 2

B.  b = 1
c = 4


a = 4

C. b = 5
c = 1


a = 0

D. b = −1
c = 2


Câu 32:Cho số phức z = a + bi ≠ 0. Số phức z-1 có phần thực là:
a
−b

5 5
3+ 4i
Câu 35: Điểm M biểu diễn số phức z = 2019 có tọa độ là :
i

A. a + b

B. a - b

C.

A.M(4;-3)
B(3;-4)
C. (3;4)
Câu 36: Số phức nào sau đây là số thực:

2

D(4;3)

16


1− 2i 1+ 2i
+
3− 4i 3− 4i
1− 2i 1+ 2i
−
C. z =
3− 4i 3+ 4i

1
1
1
=
−
Câu 39: Tìm số phức z biết rằng
z 1− 2i (1+ 2i)2

A.

18 13
− i
7 7

B.

18 13
− i
17 17

C.

D.

18 13
+ i
17 17

10 35
8 14

D. Là đường tròn có phương trình x2 − 2x + y2 − 1= 0, nhưng không chứa M, N.
1
z

Câu 42 : Gọi z1 và z2 là các nghiệm của PT z + = −1. Giá trị của P = z13 + z23 là:
A. P = 0

B. P = 1

C. P = 2

D. P = 3

1
z

2016
Câu 43 : Biết số phức z thỏa phương trình z + = 1. Giá trị của P = z +

A. P = 0
B. P = 1
C. P = 2
4
Câu 44: Tập nghiệm của phương trình z − 2z2 − 8 = 0 là:

{

}

A. ± 2; ± 2i

C. 8
D. 4
Câu 46: Tập nghiệm của phương trình : (z2 + 9)(z2 − z + 1) = 0 là:


A. ±3;


1
3i 
+

2 2 



B. ±3;


1
3i 
−

2 2 



C. ±3;



Câu49: Biểu diễn về dạng z = a + bi của số phức z =
A.

3 4
−3 4
+ i B.
+ i
25 25
25 25

C.

i 2016
là số phức nào?
(1+ 2i)2

3 4
− i
25 25

D.

−3 4
− i
25 25

i 2008 + i 2009 + i 2010 + i 2011 + i 2012
Câu 50: Phần thực và phần ảo của z = 2013 2014 2015 2016 2017 là;
i
+i


Sốlượng

Tỉ lệ %

Sốlượng

Tỉ lệ %

10 bài

29,4 %

17 bài

50 %

7 bài

20,6 %

3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
18


Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Một số phương pháp giải
nhanh các dạng bài tập số phức ở Trung tâm GDTX thành phố Thanh Hóa” mà
tôi đã đúc rút. Qua việc thực nghiệm trên đối tượng học sinh trung tâm, tôi thấy
hiệu quả tích cực của các sáng kiến mà tôi đề xuất.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
19


1. Sách giáo khoa Giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam.
2. Sách giáo khoa Bài tập Giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam.
3. Phương pháp giải các chủ đề căn bản Giải tích 12, Nxb ĐHQG Hà nội.
4. Phương pháp giải nhanh Toán trắc nghiệm Giải tích và Số phức, Nxb ĐHQG
Hà nội.

20