SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN
------------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG
NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH
CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC

Người thực hiện: Lê Văn Hùng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong dạy học ở trường phổ thông nói chung và dạy học môn Toán nói
riêng không chỉ trang bị cho học sinh các khái niệm, định lý, quy tắc mà còn cần
trang bị cho các em các kỹ năng và phương pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó
không chỉ bó hẹp trong bài lý thuyết mà nó còn có trong bài tập tương ứng, nó
cũng không bó hẹp trong một chương mà nó còn kết hợp kiến thức nhiều
chương với nhau. Các bài toán là phương tiện hiệu quả không thể thay thế được

thực tế; phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
3


1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
- Thay đổi để một số đẳng thức để mang tính thời sự hơn
- Kết hợp thêm cấp số nhân và một số kỹ năng biến đổi để thêm các dạng
bài tập phong phú hơn
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản
a. Giai thừa:

n
n
n∈¥
n > 1.
Định nghĩa: Với
và
Tích của số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến
n
n!
được gọi là - giai thừa. Ký hiệu:
n! = 1.2...n
Ta có :
0! = 1
1! = 1
* Quy ước :
và
b. Hoán vị:

X
tử sắp thứ tự của tập hợp
được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử
Ank
n
k
X
của . Ký hiệu số chỉnh hợp chập của phần tử là , ta có công thức:
Định nghĩa: Cho tập hợp

X

Ank =

n!
(n − k )!

d. Tổ hợp

4


k ( 0 ≤ k ≤ n)

n

X

Định nghĩa: Cho tập hợp
gồm phần tử. Mỗi tập con gồm

2
n

n-2 2

n 0 n
n

k=0

1.1.2. Một vài lưu ý khác
a. Tổ hợp có hai tính chất quan trọng sau đây:
+)
+)

Cnk = Cnn-k

với mọi

k+1
Cnk + Cnk+1 = Cn+1

với mọi

k = 0,1,..., n
k = 0,1,..., n − 1

b. Một số trường hợp đặc biệt của công thức khai triển nhị thức Newton:

(1+ x)

= C − C x + C x − ... + ( −1) C x = ∑ ( −1) Cin x i

c. Công thức tính tổng
( q ≠ 0; q ≠ 1) .

0
n

n

1
n

2
n

2

n

n
n

n

i

i =0

số hạng đầu của cấp số nhân có công bội

lượng

Từ 5 đến 8
Tỷ lệ

Số
lượng


n

( 1 − x)

n

= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n
= Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − ... + ( −1) Cnn x n

(1)

n

Bằng việc khéo léo chọn
Từ đẳng thức (1) ta chọn

x

và
x =1

Bài toán 1. Chứng minh:

(2)

n

ta được rất nhiều đẳng thức cần chứng minh.
n = 2019
và


Lời giải: Ta có:
Với

x =1

ta có:

( 1+ x)

2019

0
1
2
2019 2019
= C2019
+ C2019
x + C2019
x 2 + ... + C2019
x

0
1
2019
C2019
+ C2019
+ ... + C2019
= 22019


+ C2019
+ ... + C2019

Suy ra:

0
1
1009
C2019
+ C2019
+ ... + C2019
= 22018

Bình luận: Từ đẳng thức (1) chúng ta khéo léo chọn
thức khác nhau. Như:
- Với
- Với

x=2
x=3

ta được đẳng thức:
ta được đẳng thức:

x

thì sẽ được nhiều đẳng

3n = Cn0 + 2Cn1 + 2 2 Cn2 + ... + 2 n Cnn
4n = Cn0 + 3Cn1 + 32 Cn2 + ... + 3n Cnn


n

= Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − ... + ( −1) Cnn x n
n

Cn0 − 2Cn1 + 22 Cn2 − ... + ( −1) .2 n Cnn = ( −1)
n

ta được

n

Bình luận:
- Qua bài toán này ta thấy vai trò quan trọng của hai đẳng thức (1) và (2) trong
Cnk .
các bài toán chứng minh các đẳng thức có chứa có số có dạng
k,n
- Bằng việc khéo léo chọn
ta được các đẳng thức khác nhau
- Qua đây học sinh sẽ tự tạo được cho mình nhiều bài toán tương tự.
n
2n
* Từ (2) nếu ta thay bởi
ta được khai triển như sau:
7


( 1− x)
Nếu thay

= C20n − C21n x + C22n x 2 − ... + C22nn x 2 n

ta có:

Từ đó suy ra:

( 1 − 1)

2n

= C20n − C21n + C22n − C23n + ... − C 22 nn−1 + C22nn

C20n + C22n + ... + C22nn = C21n + C21n + ... + C22nn−1

Bình luận: - Khi giải xong bài toán này giáo viên gợi cho học sinh kết hợp bài
toán 1 và bài toán 2 với nhau thì sẽ được kết quả như thế nào?
- Bây giờ ta lại quay lại với hai nhị thức:

( 1− x)

2n

( 1+ x)

2n

= C20n − C21n x + C22n x 2 − ... + C22nn x 2 n
= C20n + C21n x + C22n x 2 + ... + C22nn x 2 n

(3)


2n

+ (1+ x)
2

2n

(5)

ta được bài toán

Bài toán 4: Chứng minh đẳng thức sau:

C21n + C23n + ... + C22nn−1 = 2 2n −1

8


Lời giải: Theo bài toán 2 ta có:
Mà
Với

( 1 + x)
x =1

Vậy:

2n


2n

2n

2n
2n

2 n −1

= C + C + ... + 3
1
2n

3
2n

2 n −1
2n

C

52 n + 32 n
=
2

- Qua bài này có thể yêu cầu học sinh tính tổng các số hạng có chứa số

Cnk

như sau:


(1+ x)

n

và kết hợp với một số phép toán khác.
Cnk .

- Khi giảng dạy bài toán này giáo viên cần chỉ rõ ý nghĩa của từng số hạng
Cnp+ m
xp
Cần đặt ngay câu hỏi là: "Liệu
có phải là hệ số của
trong khai triển nhị

9


thức hay không?"; trong khi đó bên vế trái trong mỗi số hạng đều chứa các số có
i+ j=k
Cni .Cmj
dạng
với
.

( 1 + x) ( 1 + x)
n

- Từ đây giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức
xp

m

= Cm0 + Cm1 x + Cm2 x 2 + ... + Cmm x m

Vậy :

( 1 + x) (1 + x)
n

Hệ số của

xp

= ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n ) ( Cm0 + Cm1 x + Cm2 x 2 + ... + Cmm x m )

m

ở vế trái là:

Cn0 .Cmp + Cn1.Cmp −1 + ... + Cnp .Cm0

Khai triển vế phải ta có:

( 1+ x)
Hệ số của

xp

n+m



hai vế ta được đẳng thức sau:

+ ... + ( Cnn ) = C2nn
2

và

p =8

ta được:

1
C200 .C108 + C20
.C107 + ... + C208 .C100 = C308

10


- Nếu cho

n = m = 10, p = 10

(C ) +(C )
0 2
10

1 2
10


C2018
− 2C2018
+ 22 C2018
− ... + 22018 C2018
= −1
0
2
2018
C2018
+ 32 C2018
+ ... + 32018 C2018
= 22017 ( 22018 + 1)
10
1
10
10
C150 .C10
+ C15
.C109 + ... + C15
.C100 = C35

(C ) +(C )
0 2
15

1 2
15

15
+ ... + ( C1515 ) = C30

+ a2 C11
− ... − a11C11

.

Tính

tổng

.

Phân tích bài toán: Đây là một bài toán mà rất nhiều học sinh khi gặp đều rất
lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu; biến đổi như thế nào? Nhưng nếu bình
tĩnh thì có thể thấy vế trái của giả thiết là tổng của một cấp số nhân, từ đó gợi ý
cho học sinh khai thác triệt để giả thiết này và tiếp tục gợi ý để học sinh tìm ra
hướng giải quyết bài toán.
Lời giải

Ta có

1 + x + x 2 + ... + x10

là tổng của một cấp số nhân có

q = x

u1 = 1

11



11

(a

0

(1+ x + x

2

+ ... + x10 )

11

+ a1 x + a2 x 2 + ... + a110 x110 ) , ( 1)

:

+ a1 x + a2 x 2 + ... + a110 x110 )

= a0 ( x − 1) + a1 x ( x − 1) + a2 x 2 ( x − 1) ... + a11 x11 ( x − 1) + ... + a110 x110 ( x − 1)
11

11

S

Ta dễ nhận thấy tổng


10
9
0
S = a0C11
− a1C11
+ a2 C11
− ... − a11C11

11

Số hạng chứa

x

Mà số hệ số chứa

của vế trái của

x11

( 1)

là:

C111 ( −1)

10

(x )


1
1 9
+ 2 + 2 + ... + 2 =
2
C2 C3 C4
Cn 5

ở hai

. Tính

3
n+ 2

.
12


Phân tích bài toán: Đây là một bài toán khá lạ lẫm, yêu cầu khá cao đối với học
sinh lớp 11. Để giải quyết được bài toán cần phải có kiến thức thật sâu sắc về
toán học
Lời giải

Ta có

1
1
1
1 9
+ 2 + 2 + ... + 2 = ⇔ 0!2! + 1!2! + 2!2! + ... + ( n − 2 ) !2! = 9

1
1 9
 1 1 1 1 1
⇔ 2!1 − + − + − + ... +
− ÷=
n −1 n  5
 2 2 3 3 4
1 1
 1 9
⇔ 2! 1 − ÷ = ⇔ = ⇔ n = 10
n 10
 n 5

Vậy

C105 + C103 + 2 59
P=
=
( 10 − 4) ! 90

.

.

Bình luận: Qua bài toán này ta thấy cần phải có kỹ năng biến đổi tốt mới có
thể giải quyết được nó
1.1.5. Áp dụng đạo hàm
a. Đạo hàm cấp 1.
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ
kCnk

x

(7)

bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.

Bài toán 8: Chứng minh:

Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + ( −1)

n −1

nCnn = 0

13


Cn0

Phân tích bài toán: Trong bài toán này ta thấy thiếu một số hạng có chứa
và
hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần, qua đó đã gợi ý cho ta là lấy đạo hàm rồi chọn
x
cho phù hợp
Lời giải: Ta có

( 1 + x)

n


1
2013
x 2013 + C2013
x 2012 + ... + C2013
( x + 1) = C2013
đạo hàm là điều dễ hiểu:
0
2013C2013
x 2012

Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì số hạng đầu tiên chỉ được
trong
x
2014
khi đó đề đến
do đó ta phải nhân thêm với vào đẳng thức trên rồi mới
dùng đạo hàm:

x ( x + 1)
⇔ ( x + 1)
Thay

x =1

2013

2012

0
1

1
2013
= C2013
x 2013 + C2013
x 2012 + ... + C2013

ta được:
0
1
2013
= C2013
x 2014 + C2013
x 2013 + ... + C2013

Lấy đạo hàm hai vế ta được

( x + 1)
Chọn

x =1

2012

0
1
2013
x 2013 + 2013C2013
x 2012 + ... + C2013
( 2014 x + 1) = 2014C2013


(không kể dấu) tức có dạng
hay tổng quát hơn
k n−k k
k ( k − 1) Cn a b
thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính.
Xét đa thức:

( 1+ x)

n

= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 ... + Cnnb n x n

Khi đó đạo hàm hai vế theo

n( 1 + x)

n −1

x

ta được:

= Cn1 + 2Cn2 x... + nCnn x n−1

Đạo hàm lần nữa:

n ( n − 1) ( 1 + x )

n−2


f ′′ ( x ) = n ( 1 + x )

n −1

⇒ f ′′ ( x ) = n ( n − 1) ( 1 + x )

n−2

⇒ f ′′ ( 1) = n ( n − 2 ) .2n−2
15


b. Ta có

( 1 + x)

⇔ n( 1+ x)

n −1

n

= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n

= Cn1 + 2Cn2 x + ... + nCnn x n−1

⇔ n ( n − 1) ( 1 + x )
Chọn


Nhân 2 vế với

x≠0

ta được:

n( 1 + x)

n −1

nx ( 1 + x )

= Cn1 + 2 xCn2 + 3x 2Cn3 + ... + nx n−1Cnn

n −1

= xCn1 + 2 x 2Cn2 + 3x 3Cn3 + ... + nx nCnn

Lấy đạo hàm hai vế lần nữa ta được:

n( 1+ x)
Thay

x =1

n −1

+ n ( n − 1) x.( 1 + x )

n−2

Cho

x =1

ta được điều phải chứng minh.

Bình luận:
- Qua bài toán này giáo viên gợi ý cho học sinh một bào toán cụ thể như sau:
n = 2019
Với
thì ta được:
1
2
2019
2.1.C2019
+ 3.2.C2019
+ ... + 2020.2019.C2019
= 2019.2022.2 2017.

Chỉ là trường hợp đặc biệt nhưng ta cũng thấy bài toán khá cồng kềnh.
- Như vậy chỉ một bài toán nhưng trình tự thực hiện khác nhau cũng cho ta các
kết quả khác nhau. Phụ thuộc vào sự khéo léo của người làm toán.
Có thể nhân, chia ẩn x cho cả hai vế và tiến hành đạo hàm nhiều lần, cho
x = ?, a = ?, b = ? 
ta có các bài toán sau:
Bài tập tự luyện:
Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n−1 , ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1

a.
2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + 4.3.Cn4 + ... + n.(n + 1).Cnn = n(n − 1).2 n−2 , ∀n ∈ ¥ , n ≥ 2.

Lớp

Tổng
số

>8
Số
lượng

Từ 5 đến 8
Tỷ lệ

Số
lượng



Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bước đầu có thể thấy hiệu quả của SKKN đã rèn
luyện cho học sinh các thao tác tư duy trong giải toán Nhị thức Newton
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết quả nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm
1. Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả sử dụng nhị thức Newton để
chứng minh các đồng nhất thức
2. Đã làm phần nào làm sáng tỏ một số con đường để tập luyện cho học
sinh khả năng phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hóa ... trong làm
toán.
3. Thiết kế cách thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
4. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi, tính hiệu
quả của những định hướng sư phạm được đề xuất.
5. Qua đây cho thấy để giải quyết được một bào toán khó yêu cầu học
sinh cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản đã học, biết tổng quát hóa một bài toán
đơn giản, biết kết hợp nhiều kiến thức đã học với nhau, biết tương tẹ hóa để phát
triển một bài toán, biết đặc biệt hóa để được bài toán hay hơn ...
Như vậy có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành được
mục đích nghiên cứu và có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên.
3.2. Kiến nghị đề xuất.
1. Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường.
18


- Các tổ chuyên môn nên tăng cường và nâng cao các buổi sinh hoạt
chuyên môn thông qua nghiên cứu bài học vàcác buổi ngoại khóa. Qua đó để tạo
điều kiện cho giáo viên trình bày những ý tưởng về dạy các tiết dạy cụ thể, cách
phát triển một bài toán nào đó để được một chuyên đề.

1.
2.

Tên đề tài SKKN

Vận dụng lượng giác vào giải
các bài toán đại số
Hướng dẫn học sinh lớp 11 vận
dụng nhị thức Newton để chứng
minh các đồng nhất thức

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Ngành GD
cấp tỉnh

C