SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
TT
I

Mục

Trang

MỞ ĐẦU

2

1.1

Lý do chọn đề tài


3

2.2

Thực trạng

3

2.3

Cơ sở lý thuyết
Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

3
5

2.6

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tính diện tích,
tính thể tích
Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế

13

2.7

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

20


Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phải phục vụ cuộc sống. Do vậy
các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà
các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho
phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến
đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống: có rất
nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất
như phải tính toán như thể nào để làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợi
nhuận đạt được là cao nhất , các bài toán tính toán về vận tốc,và các bài toán
về kinh tế...Chính vì lẽ đó mà tôi viết sáng kiến:
“ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI
TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”. Trong phạm vi sáng
kiến của mình, tôi đề cập tới áp dụng của đạo hàm vào các bài toán thực tiễn,
cụ thể là dùng công cụ đạo hàm để xét tính tối ưu của các bài toán về vận tốc,
diện tích, thể tích, về khoảng cách, góc và bài toán kinh tế.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng đạo
hàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học
sinh.
- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán thực tế
- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 tại
trường THPT Nguyễn Trãi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,
các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, các chuyên đề có liên
quan.
Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo
trong tổ bộ môn.

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta diễn tả bài toán“dưới
dạng ngôn ngữ Toán học”
Đặt biến , biểu diễn các đại lượng trong bài theo biến, tìm các điều kiện tồn
tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Trong mục 2.3.1: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1,2.
4


Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế trong kinh tế, đời
sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập
hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến.
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết
quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa .
2.4. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động
2.4.1 Một số ví dụ:
Bài 1: Một đoàn tàu chuyển
động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng
( m)
đường (theo đơn vị (mét
) đi được của đoàn tàus là
s)
= 6một
t 2 −hàm
t 3 . số của thời gian
t (theo đơn vị giâyv ( m/s)) cho bởi phương trình là
Tìm thời điểm t
mà tại đó vận tốc
của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất ?
Bài giải

5


Ta có:
x = 0
G ' ( x ) = 0, 024x 2 ( 30 − x )  ' = 1, 44x − 0, 072x 2 ⇒ G ' ( x ) = 0 ⇔ 1, 44x − 0, 072x 2 = 0 ⇔ 
 x = 20

Suy ra

G ( 0 ) = 0

G ( 20 ) = 96 ⇒ max G ( x ) = G ( 20 ) = 96

G ( 30 ) = 0

Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều
nhất là: 20 mg
Trong mục 2.4.1: Bài1,2 được tham khảo từ TLTK số 5.

2.4.2. Một số bài vận dụng.

s = 9t 2 − t 3

Bài 1: Một vật chuyển động theo quy luật
với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di
chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể
từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?
A. 27 m/s

t = 1s
2
s
=
−
t
+9
t
,
A.
B.
C.
D.
3
Bài 4: Một vật chuyển động theo quy luật
với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi

6


được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu
chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).
C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
Bài 5: Có một cái hố rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên chạy phối hợp
với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy
và bơi. Sau khi chạy được bao xã (quảng đường x) thì nên chạy xuống bơi để

a
2

2

0< x

0 < x < 20

.

8


V = x.( 40 - 2x) .

Thể tích khối hộp c hữ nhật:

f ( x) = 3x - 120x + 1200x
3

Xét hàm số:

60 - 3x
= 3x3 - 120x2 + 1200x
2

2

trên khoảng

éx = 20 ( l )
ê
f '( x) = 9x - 240x + 1200 = 0 Û ê 20
êx = ( n)
ê
3

không thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng
các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, biết chuyển sang bài toán tìm GTLN,NN.

Bài 3: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là
mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh
tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC;
P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao
bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:
A

Q

B

P

M

N

C

Bài giải
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN

9


Đặt MN = x (

3
3
x
⇒ VT = π ( ) 2
(90 − x) =
(− x 3 + 90 x 2 )
2π
2π
2
8π

0 < x < 90

với
13500. 3
max f ( x ) =
π
x∈(0;90)

.

khi x= 60.
13500. 3
π
Vậy thể tích lớn nhất đạt được là:
ABCD

5dm

Bài 4: Từ một tấm bìa hình vuông


O N

P khảo từ TLTK số 8
Trong mục 2.5.1: Bài 4 được tham
D
C N

Đặt

S

B

(

MQ = x dm 0 < x < 5 2

)

Q
I

O

M

.
10


SO = SI − OI = 
− ÷ =
÷
÷
2  2
2

2

2

.

Thể tích của khối chóp:
1
1
50 − 10 x 2 1 50 x 4 − 10 x 5 2
V = S MNPQ .SO = .x 2 .
= .
3
3
2
3
2

Xét hàm số
y′ =

Ta có


y

Hàm số

.

đạt giá trị lớn nhất khi

x=2 2

Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi

)
.

.

x=2 2

.

Bài 5: Một sợi dây có chiều dài 6m, được chia thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất
được uốn thành một tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông.
Hỏi độ dài của cạnh tam giác đều là bao nhiêu để tổng diện tích tam giác và
hình vuông đó nhỏ nhất?
Bài giải
Gọi x là độ dài tam giác đều,

Cạnh của hình vuông là


8

0

18
4 3+9
2

18
4 3+9

S'

-

S

S'=0⇔ x=

0

+

9
4

3

Smin



Ta có

)

2

MP 40
=
= 20 2 ( cm )
2
2

.

.

+ 4 xy = 800 + 4 xy

(1).

2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2

.
12


Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8
⇒ 0 < x < 20 − 10 2


f ( x ) = 800 x 2 − 80 x3 2 − 4 x 4

(

x ∈ 0; 20 − 10 2

, với

(

f ′ ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2

(

Ta có

)

(
(

)

)

)

có.

.

vuông
từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau.
AB = tam
x ( 0

.

.

120 x
14400 − 360 x
=
14400 − 240 x
14400 − 240 x

;.

.

Bảng biến thiên:
.

Vậy

S max ⇔ f ( x ) max ⇔ x = 40

Vậy tam giác

ABC

.

có diện tích lớn nhất khi


x=

πR 6
3

Bài 2: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính
R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là

A.

R=

2S
2S
;h = 4
3π
3π .

B.

R=

S
1 S
;h =
2π
2 2π .
14



2 ( cm
) đáy là: 20 ( cm )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới
mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là
một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như
hình vẽ. Theo
R = 3 3cm.
dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
Tìm thể
tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn
nhất (với mục đích thu hút khách hàng).
Trong mục 2.5.2: Bài 1,2,3,4 được tham khảo từ TLTK số 5,6.

A.

108π cm3

.

B.

54π cm3


là số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhất

Khi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức
f ( x ) = ( 50 − 5 x ) ( 50 x + 40 ) − 30 ( 50 x + 40 )

Ta có

 16 
f ( x ) = ( 20 − 5 x ) ( 50 x + 40 ) = 50 ( 4 − x ) ( 3x + 4 ) = 50 ( 16 + 16 x − 5 x 2 ) ⇒ max f ( x ) = f  ÷
 10 

50 − 5 x = 50 − 5.

Vậy giá bán của mỗi quả bưởi là

16
= 42
10

nghìn đồng

20

Bài 2: Ông Bình có tất cả
căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn
2
hộ với giá triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ
200
1

) ( 2.000.000
( - x2 +10x + 200)

max f ( x ) = f (5)

x = 5.

'' = ''

Dấu
xảy ra khi và khi
Vậy ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng khi ông tăng giá
3
lên mức mỗi căn triệu đồng một tháng.
Bài 3: Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, 3
220500 cm
không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được
nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích
đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Bài giải
Gọi
nhật

a , b, h

lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ

Theo bài ra, ta có

h

+
= 7350
a
a
a
a
a

⇔ 6a 2 =

257250
⇔ a = 35 → b = 60
a

S = a.b = 2100 cm 2

. Vậy
Dấu “=” xảy ra
500m2
Bài 4: Ông An có một
dùng để nuôi cá. Vụ cá năm nay
20cái ao diện tíchm2
ông nuôi với mật độ
con trên một
thì tổng
khối lượng cá thu được là 15
m2
tấn. 0,5kg
Biết rằng cứ thả giảm 4 con trên một
thì khối lượng mỗi con cá tăng

thành xung quanh thùng là
. Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng
đựng gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
Bài giải:

Gọi cạnh đáy và cạnh bên của thùng tôn là

a

và

b

(điều kiện:

a>0

và

b>0

).
17


V =a b=8

b=

2

2

.
=

1600000
+ 100000a 2
a

.

.

. Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

ymin ⇔ a = 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có
.
2m
Vậy người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy
Bài 6: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng
khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km khoảng cách từ khách sạn A đến
điểm B trên bờ gần đảo C là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi
đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ). Biết kinh phí đi đường thủy là
5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một
khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km)

Bài giải: Giả sử người đó phải đi đường bộ một khoảng x (km) với 0
để chi phí là nhỏ nhất.

Lời giải
Gọi
Đặt

AD

là quảng qđường cô An đi đường bộ.

DB = x ( km ) ( 0 ≤ x ≤ 50 ) ⇒ AD = 50 − x ( km )

Chi phí của cô An:
f ( x)

liên tục trên

f ( x ) = ( 50 − x ) 3 + x 2 + 102 .5

[ 0;50]

f ′ ( x ) = −3 + 5.

Ta có

.

( USD )

.

25
x

)
f ′ ( x ) = 0 ⇔ −3 x + 100 + 5 x = 0
 (
16


2

Ta có

.

 15 
f ( 0 ) = 200; f ( 50 ) = 50 26; f  ÷ = 190
2

19


x=

Để chi phí ít nhất thì

15
2

. Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng:

đi
đến
bằng
cách
đi
thẳng
từ
đến
cửa
30 km /hthuộc đoạn
MN
15km /h
C
X
với vận tốc
rồi đi thẳng từ Cđến với vận tốc
(hình vẽ).
A
Thời gian ít nhất để người ấy đi từ đến là mấy giờ?
A

M

x

25 km

B

15 km /h


với

2

0 ≤ x ≤ 25

thời gian tương ứng
+ 10

2

thời gian tương ứng

x + 100
x − 50 x + 725
+
15
30
2

x 2 + 100
( h)
15

x 2 − 50 x + 725
( h)
30

2

Trong mục 2.6.1.a: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 8.
4 + 29
1 + 29
f ( 0) =
≈ 1, 56 f ( 25 ) =
≈ 2,13
6
3

Tính các giá trị

Vậy hàm số đạt GTNN bằng

,

2 5
3

tại

f ( 5) =

,

2 5
≈ 1, 49
3

x=5



A. 32.000 VNĐ.
B. 30.000 VNĐ. C. 39.000 VNĐ. D.37.000 VNĐ
Bài 2: Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách.
Hiện tại giá vé là 50000 VNĐ một khách và có 10000 khách trong một tháng.
Nhưng nếu tăng giá vé thêm 1000 VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm đi
50 người một tháng. Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với một khách
để có lợi nhuận lớn nhất?
A. 50.000 VNĐ.
B. 15.000 VNĐ. C. 35.000 VNĐ. D.75.000 VNĐ.
Bài 3: Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi
tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá
mỗi phòng trọ thêm 200.000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ
kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao
nhất?
A.2.400.000
B.2.500.000
C.3.000.000 D. 3.200.000 3
72m .
Bài 4: Nam muốn xây một bình/ mchứa
hình
trụ
có
thể
tích
Đáy làm
2
,
bằng
bêtông giá 100 nghìn đồng


p

3

( m) .

3

D.

2 p

( m) .

Bài 5: Một người
8 m3bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích
không đổi bằng
, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là2 hình vuông, không
100000 / m
nắp. Trên thị trường, giá tôn làm
đáy
thùng
là
, giá tôn làm thành
50000 / m 2
xung quanh thùng là
. Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng
gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
3m


R=

3

3V
2π

B.

R=

3

V
π

C.

R=

3

V
4π

D.

R=


. Gọi
là vị trí
AC
AMB
trên đoạn sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc
thì chi phí ít
nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao
nhiêu ?
A.
C.

1230000

1140000

1406000

USD.

B.

USD.

D.

1170000

USD.
USD



2.7.2 Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2017-2018, bài kiểm tra áp dụng
trên hai đối tượng lớp 12 C1 không áp dụng sáng kiến và 12C2 áp dụng sáng
kiến (mỗi lớp 20 học sinh trình độ ngang nhau) như sau:
Lớp

Điểm giỏi
9-10

Điểm
khá

Điểm TB
5-6

Điểm
dưới TB

7-8
Lớp không thực nghiệm 12 C1
Lớp thực nghiệm 12 C2

2

3

5

12