ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH
GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

GV hướng dẫn
Sinh viên thực
hiện
Khoa
Lớp

: Ths. Ngô Thị Bích Thủy
: Nguyễn Khánh Hòa
: Toán
: 14ST

Đà Nẵng tháng 4 năm 2018


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Lời cảm ơn!

trình ................................................................................................................................
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC
BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN
THPT .............................................................................................................................
2.1.

Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .............................................

2.2.

Dạng 2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn ...............................................

2.3. Dạng 3: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình khác ......................................................................................................................
2.4.

Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 1 ...............................................

2.5.

Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại 2 ...............................................

2.6.

Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp .......................................................

2.7. Dạng 7: Hệ phương trình không mẫu mực .......................................................
2.7.1

Phương pháp thế ...........................................



SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó,
mang tính tư duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say
mê nghiên cứu. Kiến thức về hệ phương trình trong chương trình toán ở bậc
trung học là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh
tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lý học, hóa
học, sinh học của bậc học này. Chính vì vậy, học sinh cần nghiên cứu kĩ nội
dung này để có kiến thức cũng như kĩ năng tốt phục vụ cho việc học tập ở
trường cũng như làm tốt các bài thi.
Đối với nhiều học sinh, hệ phương trình là một trong những chuyên đề khá
khó, các em khó nắm được hướng tiếp cận để tìm kiếm lời giải. Do đó, việc
đưa ra một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương
trình là một yêu cầu cần thiết. Vì vậy chủ đề về hệ phương trình là một chủ đề
thuận lợi cho việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học
sinh. Ngoài những hệ phương trình có thuật toán hoặc phương pháp giải sẵn,
chúng ta còn gặp các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải
linh hoạt sáng tạo.
Từ đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giúp học sinh giải
tốt các bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán THPT”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đưa ra một số dạng toán về hệ phương trình và phương pháp giải chúng
giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ phương trình và giải tốt các dạng đó.

Thông qua việc quan sát thực tế để có một số đánh giá về thực trạng việc dạy
học Toán ở trường THPT. Tiến hành phỏng vấn, trao đổi trực tiếp để điều tra tình
hình dạy và học về chuyên đề hệ phương trình ở một số trường phổ thông.
5. Bố cục của đề tài: Đề tài gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình trong chương trình toán THPT.

1.2. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán về hệ
phương trình.
Chương 2: Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương
trình trong chương trình toán THPT.
2.1.Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
2.2.Dạng 2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
2.3.Dạng 3: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình khác.
2.4. Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 1.
2.5. Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại 2.
2.6. Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp.
2.7 Dạng 7: Hệ phương trình không mẫu mực
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 2


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Bài tập đề nghị
Kết luận

Kĩ năng giải bài toán, trọng tâm là kĩ năng lập và giải hệ phương trình.

b. Bài tập: Gồm các dạng cơ bản sau:
-

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

-

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

- Hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình
khác
-

Hệ phương trình đối xứng loại 1

-

Hệ phương trình đối xứng loại 2

-

Hệ phương trình đẳng cấp

-

Hệ phương trình không mẫu mực

c. Yêu cầu, mức độ của sách giáo khoa:

Không đối chiếu thử lại nghiệm.

-

Kí hiệu toán học chưa chính xác.

- Thường đọc qua loa đề bài rồi vội vàng giải ngay, khi giải thì lập luận
không chặt chẽ.
-

Thiếu thận trọng trong tính toán.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 5


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT

2.1. Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1.1 Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng
ax by c
ax by c'


2


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 6


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

2.2. Dạng 2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
2.2.1 Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng
ax by cz d
ax by cz d
ax by cz d

trong đó x, y, z là ẩn.
2.2.2 Cách giải:
Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế,
phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay,…
2.2.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
x y z 2
x 2 y 3z 1
2x y 3z1


0

x, y là biểu thức hai biến x, y .


Khóa luận tốt nghiệp

Trang 7


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Thường sử dụng phương pháp thế.
2.3.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
x

x2

2y

y2

4

1

5 2

giản.
2.4.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:

Giải:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 8


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

x y x y
(I) ⇔

S x y

Đặt

P

Hệ trở thành

Giải (1) ta được S 2

Hệ (II) có 2 nghiệm (2;0) và 0;2
Vậy kết luận hệ có 2 nghiệm


x

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 9


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Do x

Thay

x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
2.6. Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp
2.6.1 Định nghĩa:
Là hệ có dạng

trong đó
2.6.2 Cách giải:
Xét x 0
chia vế cho vế ta được phương trình một ẩn
2.6.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:



Khóa luận tốt nghiệp

Trang 10


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

4k 2
⇔

⇔

thế vào (2), ta có:
0
⇔

Với k12 ta có

⇔

x

x

2

ta có y


Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

2.7. Dạng 7: Hệ phương trình không mẫu mực


Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc
(dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ
phương trình mà có cách giải phù hợp.
2.7.1 Phương pháp thế
a. Nhận biết:
Trong hệ có chứa một phương trình mà ẩn x là bậc nhất hoặc
ngược lại.
Cả hai phương trình trong hệ đều chứa cùng biểu thức x, y.
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 11


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Cả hai phương trình trong hệ đều chứa chung một hằng số.
b. Phương pháp:
Ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một phương trình này thế
vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản như phương trình tích
hoặc một phương trình đẳng cấp hoặc nhờ đó mà ta có cách biến đổi thành một
hệ đơn giản.
c. Ví dụ minh họa:

SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Đầu tiên nhìn vào hệ phân tích xem nên dùng phương pháp gì cho phù hợp.
Ta thấy phương trình (2) có hằng số là 12 mà phương trình (1) cũng có hằng số
12 nên ta nghĩ đến việc rút từ (2) thế vào (1), ta được:
(3)
⇔

Khi tới đây ta nhận ra (3) là phương trình đẳng cấp bậc 3 có dạng:
Ta thấy y 0 không phải là nghiệm của phương trình
Chia (3) cho y
x

Đặt t

được

t

2t 8 t
3

⇔

Với t
2

t


Nhìn vào hệ trên ta nghĩ đến việc rút thế thì hơi khó vì ẩn x, y từ hai
phương trình đều chứa bậc cao. Nếu ta tinh ý chút thì thấy phương trình (1) có
chứa hằng đẳng thức nên ta biến đổi (1) về dạng bình phương của một tổng.
Giải:
Hệ đã cho ⇔

⇔
(x

x


2
x

Đến đây ta áp dụng phương pháp thế để giải
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 13

2xy 6x


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa
⇔ xy

(4)

6 x 6 x2 2

trừ hai phương trình của hệ hoặc chia các vế của phương trình cho một
biểu thức khác không có sẵn trong các phương trình của hệ hoặc là phép
biến đổi hằng đẳng thức, chuyển vế…để tìm ra những phần tử chung mà
sau đó ta đặt ẩn phụ.
c. Ví dụ minh họa:

x
o VD1: Giải hệ phương trình

x