SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂNCẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN

Câu 1.

ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Cho hàm số y  x 2  2 x  2 1 .
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P  của hàm số 1 .
b) Tìm m để phương trình  x 2  2 x  2  m  0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn:
x1  1  3  x2 .

Câu 2.

a) Giải bất phương trình sau:  x2  4 x  2 x2  5x  3  0
2
2
2 x  xy  y  5 x  y  2  0
b) Giải hệ phương trình sau:  2
.
2
 x  y  x  y  4  0

x2  4x  m
 3 nghiệm đúng x 
x2  2x  3
Cho tam giác ABC ; đặt a  BC , b  AC , c  AB . Gọi M là điểm tùy ý.


3 3
.
 2
 2

2
2
2
b c c a
a b
2
2

HẾT

1


Câu 1.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Cho hàm số y  x 2  2 x  2 1 .
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P  của hàm số 1 .
b)Tìm m để phương trình  x 2  2 x  2  m  0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn:
x1  1  3  x2 .

Lời giải
a) Tập xác định: D 

.

2
a) Điều kiện 2 x  5 x  3  0  
.
x  1

2
1
+ Ta thấy x  3 , x  là nghiệm của bất phương trình đã cho.
2
 x  3
thì 2 x 2  5 x  3  0 , suy ra 2 x 2  5 x  3  0 nên:
+ Khi 
x  1

2
 x  4
.
x2  4 x 2 x 2  5x  3  0  x 2  4 x  0  
x

0


c) Tìm m để bất phương trình: 2 



?



  x   2  x   x   2  x   4  0
2 x  xy  y  5 x  y  2  0

 2
2
 x  y  x  y  4  0
  y  2 x  1
2
 2
  x   2 x  1  x   2 x  1  4  0
 x  1

 y  2  x
 y  1
 2

 2 x  4 x  2  0

  x   4 .

y  2x 1
5
 
 

 5 x 2  x  4  0
13
 y  
5


Ta thấy:
2
 1  42  3  m  6   0  m   .
(1) đúng với mọi x thuộc
3
17
(2) đúng với mọi x thuộc   2  12  2  9  m   0  m  .
2
 2 17 
Vậy m    ;  .
 3 2
Cho tam giác ABC ; đặt a  BC , b  AC , c  AB . Gọi M là điểm tùy ý.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  MA2  MB 2  MC 2 theo a, b, c .





d) Giả sử a  6 cm, b  2 cm, c  1  3 cm . Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC
và diện tích tam giác ABC .
Lời giải
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0 .
2

2

2

Ta có P  MA2  MB2  MC 2  MA  MB  MC .

 2 4 2 4  b2  c2 a 2  1
    2b 2  2c 2  a 2 
GA  ma  
9
9 2
4  9

4
4  a 2  c2 b2  1

    2a 2  2c 2  b 2  .
Mặt khác GB 2  mb2  
9
9 2
4 9


2
 2 2

GC 2  4 mc2  4  a  b  c   1  2a 2  2b 2  c 2 
9
9 2
4 9

Suy ra Pmin 
b)

1 2
a  b2  c2  .

2
2 6 6 2
2. 6. 1  3





Vậy B  45 .

1
1
2
* Diện tích tam giác ABC : S  ac sin B  . 6.2.
 3.
2
2
2
Vậy S  3 (đvdt).

Câu 4.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu của A lên BD ;
I là trung điểm của BH . Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD là: x  5 y  19  0 ,

 42 41 
điểm I  ;  .
 13 13 
c) Viết phương trình tham số đường thẳng AH . Tìm tọa độ điểm H ?
d) Viết phương trình tổng quát cạnh AD .

độ

H

thỏa

mãn

hệ

phương

trình:


x  2  t
x  2  t


 32 43 
  y  1  5t  H  ;  .
 y  1  5t
 13 13 
 x  5 y  19  0

6

t 
 13


.
Vậy AH : 

y

1

5
t
vtcp
u

1;5




AH

b)

H   AH  BD

nên

tọa

độ

H

Vì I  ;  là trung điểm BH với H  ;  nên tọa độ B : 
 13 13 
 13 13 
 yB  2 yI  yH
AB   2; 2  .

Có AD  AB nên vtpt nAD  AB   2; 2  .


qua A  2;1
 2  x  2   2  y 1   0  x  y 3  0 .
Vậy AD : 
vtpt
n

2;2



AD

Câu 5.

Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng
a
b
c
3 3
.
 2


2
2
2
2
2
2
b c c a
a b
2
1 a 1 b 1 c
2
2

6


Ta sẽ chứng minh

Thật vậy

1
3 3 2

a , a   0;1 (1).
2
1 a
2






2a 2 . 1  a 2 . 1  a 2
 a. 1  a 2 

2
3 3



 2a


2

 1  a2  1  a2
27



3



4
8
 a 2 . 1  a 2  . 1  a 2  
27
27

1 c
2
3

Lấy (1), (2), (3) cộng theo vế ta có:
Dấu “=” xảy ra  a  b  c 

a
b
c
3 3
.
 2
 2

2
2
2
b c c a
a b
2
2

1
.
3

7