SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“

VẬN DỤNG HÀM SỐ MŨ- PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀO CÁC
BÀI TOÁN THỰC TIỄN”

Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1. Các bài toán cơ bản.
2.1.2. Các ví dụ điển hình.
2.1.2.1. Các bài toán kinh tế.
2.1.2.2.Các bài toán về Sinh học.

14

1. MỞ ĐẦU
2


1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích lớp 12 thì hàm số mũ và phương trình mũ là một
phần rất quan trọng , các bài toán về phần này luôn là nội dung được lựa chon trong
các đề thi đại học, cao đẳng tất cả các năm đặc biệt với hướng thi trắc nghiệm về
môn toán như hiện nay thì những nội dung về hàm số mũ và phương trình mũ được
đưa ra trong các đề thi với số lượng câu nhiều hơn. Tuy nhiên các bài tập về hàm số
mũ và phương trình mũ không chỉ đơn thuần là những bài toán về tìm tập xác định,
tính đạo hàm của hàm số mũ hay giải các dạng về phương trình mũ đơn thuần như
trong sách giáo khoa hay trong các đề thi tự luận từ 2016 trở về trước, mà trong
các đề thi trắc nghiệm trong 2 năm nay các bài toán mang bản chất của hàm số mũ
và phương trình mũ được gắn vào trong các bài toán về thực tiễn rất đa dạng và
phong phú như: bài toán về lãi suất, bài toán về sự tăng trưởng của các vi sinh vật,
bài toán về dân số, bài toán về tính khối lượng của chất phóng xạ trong vật lí. Nếu
như học sinh không được làm quen với các dạng toán này , không nhìn nhận đúng
bản chất của bài toán thì học sinh khong thể giải được các dạng toán này. Vì vậy
với trách nhiệm của mình là một giáo viên hiện đang giảng dạy cho học sinh lớp 12
chuẩn bị bước vào kì thi THPT QG sắp tới tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên
đề từ đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt, nâng cao năng lực giải toán cho học
sinh khi gặp những dạng toán thực tế về hàm số mũ- phương trình mũ. Qua quá
trình tích lũy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng hàm số mũ-phương trình
mũ vào các bài toán thực tiễn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán và phương pháp giaỉ các bài
toán thực tế về hàm số mũ và phương trình mũ.

Tn = [(1 + r ) n − 1](1 + r )
r

Bài toán 3. (Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng với số tiền ban
đầu là N, lãi suất là r%, n là số tháng phải trả, a là số tiền phải trả hàng tháng để
sau n tháng trả hết nợ, khi đó ta có công thức
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r ) n − 1

Bài toán 4.(Rút tiền tiết kiệm theo định kỳ ) Một người gửi ngân hàng với số tiền
ban đầu là N, lãi suất là r%, a là số tiền hàng tháng người đó rút ra, sau n tháng thì
người đó rút hết tiền khi đó ta có công thức
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r )n − 1

Bài toán 5. Một người gửi vào ngân hàng với số tiền ban đầu là a, lãi suất r%/kỳ.
Sau n tháng người đó thu được số tiền được tính theo công thức
Tn=a(1+r)n
Bài toán 6. Một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu là m 0, chu kỳ bán rã là T,
sau thời gian bán rã t thì khối lượng chất phóng xạ còn lại được tính theo công thức
1 t
m0 ( ) T

Tn
a
n=
ln(1 + r )
ln

r=

n

Tn
−1
a

a=

A
(1 + r ) n

Ví dụ 1 :(Trích đề thi thử trường THPT Nga Sơn Thanh Hóa năm 2018) [1]
Ông A gửi 100 triệu VNĐ vào ngân hàng ACB theo hình thức lãi kép với
lãi suất 8%/năm. Tính số tiền ông A thu được sau 10 năm.
A. 215,802 triệu
B. 115,802 triệu
C. 215,892 triệu
D. 115,892 triệu
Giải :
Áp dụng công thức : Tn=a(1+r)n
Thay các giá trị a=100, r=8%, n=10 vào công thức trên ta được số tiền ông A thu
được sau 10 năm là

Ví dụ 4: (Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 1năm 2018) [1]
Bà Hoa gửi 100 triệu đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm.
Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp
tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
A. 81,413 triệu. B. 107,946 triệu.
C. 34,480 triệu.
D. 46,933 triệu.
Giải
Số tiền bà Hoa thu được sau 5 năm đầu là : 100(1+0,08)5=146,933 triệu
Số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm đầu là : 146,933-100=46,933 triệu
Số tiền bà Hoa thu được sau 5 năm sau là : 73,466(1,08)5=107,946 triệu
Số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm sau là : 107,946-73,466=34,48 triệu
Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là : 46,933+34,48=81,413 triệu
Ta chọn đáp án A
Ví dụ 5( Trích đề thi thử lần 1 trường THPTQuảng xương I năm 2018) [1]
Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi.
Bác Mạnh gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau
sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9%/tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền,
lãi suất giảm xuống 0,6%/tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban
đầu (ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao
nhiêu? (biết trong khoảng thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra)
A. 5436521,164 đồng.
B. 5452771,729 đồng.
C.5436566,169 đồng.
D. 5452733,453 đồng.
Giải
Sau tháng thứ 6 số tiền Bác Mạnh có được là : 5(1+0,007)6
Sau tháng thứ 9 số tiền Bác Mạnh có được là : 5(1+0,007)6(1+0,09)3
Sau một năm số tiền Bác Mạnh nhận được là:

Bài toán cơ bản 2. ( Dành cho gửi tiền hàng tháng )Một người hàng tháng gửi
ngân hàng số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng là r%. Sau n tháng người đó
thu được số tiền được tính theo công thức [2]
Giải
Cuối tháng thứ nhất người đó nhận được số tiền là
T1=a+ar=a(1+r)
Đầu tháng thứ 2 người đó có số tiền là : a(1+r)+a=a[(1+r)+1]
Cuối tháng thứ 2 người đó có số tiền là
Tn= a[(1+r)+1]+a[(1+r)+1]r=a(1+r)2+a(1+r)=a[(1+r)2+(1+r)]
……………………….
Cuối tháng thứ n người đó nhận được số tiền là
Tn=a [(1+r)n+(1+r)n-1+(1+r)n-2+………………..+(1+r)]
 (1 + r ) n − 1  a
n
a (1 + r ) 
 = (1 + r ) − 1 (1 + r )
r

 r
=

Ví dụ 1: ( Trích đề thi thử THPTQG Trường Yên Định I năm 2017) [1]
Một người A được hưởng số tiền trợ cấp lương là 4 triệu đồng một tháng và huyển
vào tài khoản ở ngân hàng vào đầu tháng 1năm 2016 với lãi suất 1%/tháng . Hàng
tháng không rút tiền về mà đến đầu tháng 12 năm 2016 người đó rút toàn bộ số tiền
(gồm số tiền lương của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi số tiền mà người
đó rút được là bao nhiêu .
Giải:
Số tiền người đó thu được sau 11 tháng
Aps dụng công thức

4.106
(1, 006)[(1, 006)300 − 1]
0, 006
=3364866655

Ta chọn đáp án C
Bài toán cơ bản 3: (Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng với số
tiền ban đầu là N, lãi suất là r%, n là số tháng phải trả, a là số tiền phải trả hàng
tháng để sau n tháng trả hết nợ, khi đó ta có công thức [2]
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r )n − 1

Chứng minh
Số tiền gốc cuối tháng 1 là: N+Nr-a=N(1+r)-a
Cuối tháng thứ 2 : [N(1+r)-a]+[A(r+1)-a]r-a=N(1+r)2-a[(r+1)+1]
Cuối tháng thứ 3: [N(1+r)2-a[(r+1)+1]](1+r)-a= N(1+r)3-a[(1+r)2+(1+r)+1]
………………………
Cuối tháng thứ n : N(1+r)n-a[(1+r)n-1+(1+r)n-2+………………+(1+r)+1]
(1 + r ) n − 1)
]
r
=N(1+r)n-a
[

Để người đó trả hết nợ có nghĩa là sau n tháng số tiền còn lại bằng 0 khi đó ta có
n

Áp dụng công thức n =
5
log1,007 ( ) ≈ 21, 62
4,3
Số tháng Anh Long trả hết nợ là n=
tháng
log1+ r (

Vậy ta chọn đáp án B
Ví dụ 2: Một xe máy điện giá 10 triệu đồng bán trả góp 11 lần mỗi lần trả góp với
số tiền 1 triệu đồng (lần đầu trả xe sau khi nhận xe được 1 tháng ).Tính lãi suất
hàng tháng.[2]
A. 1,51%
B.1,62%
C. 1,73%
D.1,49%
Giải
Áp dụng công thức ta có phương trình (1+r)11-10r(1+r)11-1=0
Bằng phương án thử đáp án ta có r=1,62%
Ví dụ 3 ( Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 2 năm 2018 ) [1]
Ông A muốn mua một căn hộ trị giá 600 triệu đồng nhưng vì chưa đủ tiền nên ông
đã quyết định chọn mua hình thức trả góp với lãi suất là 8%/ năm và trả trước 50
triệu đồng ngay sau khi mua. Hỏi mỗi tháng ông sẽ phải trả số tiền là bao nhiêu để
sau hai năm ông hết nợ biết kỳ trả nợ đầu tiên sau ngày mua đúng một tháng(làm
tròn đến đơn vị nghìn đồng).
A. 24.875.010 đồng
C. 24.875.000 đồng
B. 24.876.000 đồng
D. 24.880.000đồng
Bài toán cơ bản 4: .(Rút tiền tiết kiệm theo định kỳ ) Một người gửi ngân hàng


5,5 =

300(1, 005) n .0, 005
5,5
⇒ n = log1,005 ( ) ≈ 63,849
n
(1, 005) − 1
4
9


Ví dụ 2: (Trích đề thi HSG khu vực 2013) [2]
Một anh sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng số tiền là
8.000.000 đồng với lãi suất là 0,9%/tháng .Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra
một số tiền là như nhau vào ngày trả lãi thì mỗi tháng anh ta phai rút ra bao nhiêu
để sau đúng 5 năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi trong ngân hàng.
Giải:
Gọi a là số tiền anh sinh viên rút ra hàng tháng
N ( 1+ r ) r
n

a=

8000000(1 + 0, 009)60 .0, 009
= 173142
(1 + r ) n − 1 ta được a=
(1 + 0, 009) 60 − 1

Áp dụng công thức

Giải:
Ta có 4 năm 6 tháng =54 tháng =18 kỳ (mỗi kỳ 3 tháng)
2
18
Số tiền Ông A nhận được sau 18 kỳ là : T = 3.10 (1, 032) (triệu đồng ).
Ta chọn đáp án C
Ví dụ 2: ( Trích đề thi thử trường THPT Nông Cống 1năm 2018 ) [1]
Vào 4 năm trước, chị Thương có gửi vào ngân hàng một số tiền là 20 triệu đồng
theo hình thức lãi kép có kỳ hạn. Số tiền hiện tại chị nhận được là 29,186792 triệu
đồng. Biết rằng, lãi suất ngân hàng tại thời điểm mà chị Thương gửi tiền là 0,8
%/tháng. Hỏi kỳ hạn k mà chị Thương đã chọn là bao nhiêu tháng?
A. k = 3 tháng
B. k = 5 tháng
C. k = 4 tháng
D. k = 6 tháng
T = 3.108 1, 032

18

8

54

10


Giải:
Gọi K tháng là kỳ hạn mà chị Thương gửi tiền ngân hàng
Lãi suất của mỗi kỳ là 0,8k%/kỳ
48

Do ông rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân lãi suất 0,01% mỗi ngày (2
tháng=60 ngày)
=> Số tiền cuối cùng ông nhận được là
31, 61307166. ( 1 + 0, 0001)

60

= 31,803311

( triệu đồng)
Ví dụ 4: (Trích đề thi thử trường THPT Yên Định I lần 1 năm 2018) [1]
Một người được lĩnh lương khởi điểm là 10 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 tháng
lương của anh ta lại được tăng thêm 6%. Sau đúng 2 năm làm việc anh ta lĩnh được
tất cả số tiền là T, giá trị của T gần với giá trị nào sau đây nhất?
A. 304 triệu đồng.
B. 305 triệu đồng. C. 297 triệu đồng. D. 296 triệu .
Giải:
Gọi a (triệu đồng) là lương khởi điểm và t là sau số tháng anh được tăng lương và
r = 6% . Số tiền người đó nhận được sau 2 năm là (2 năm =8x3tháng nên N=8)
 (1 + 0, 06) N − 1 
 (1 + 0, 06)8 − 1 
T = a.t. 
=
10.3.


 ≈ 297
0, 06
0, 06


x = 9 − log 3.

B.
C.
Ví dụ 2: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S=A.ert. Tong
đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng.
Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con .Hỏi sau
bao lâu số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi [3]
Giải:
Theo bài ra ta có
300=100e5r
⇒r=

1
ln 3
5

⇒ t=3,15. Vậy sau 3 giờ 9 phút lượng vi khuẩn
Yêu cầu bài toán 200=100et
tăng gấp đôi
Ví dụ 3: ( Trích câu 18 đề số 13 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.105. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu
rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là bao
nhiêu ?
A.4.105.(1,4)5
B. 4.105
C. 4.105.(0,04)5
D.4.105.(1,04)5
Giair:
Aps dụng công thức lãi kép ta có số mét khối gỗ mà khu rừng thu được sau 5 năm

t
5750
trưởng t năm trước đây thì p(t) được cho bởi công thức p(t)= 100(0,5) (%)

Phân tích một gỗ từ công trình kiến trúc gỗ người ta thấy lượng cacbon14còn lại
trong gỗ là 65,21%. Hãy xác định số tuổi của công trình kiến trúc.
A.3574(năm)
B.3754(năm)
C.3475(năm)
D.3547(năm)
Giải:
100(0,5)

t
5750

= 65, 21 ⇒

t
65, 21
= log 0,5 (
) ⇒ t = 3547
5750
100
(năm)

Theo bài ra ta có :
Ta chọn đáp án D
Ví dụ 2:(Trích đề khảo sát lớp 12 của SGD Thanh Hóa năm 2018) [1]
Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ

e − λt , λ =

D. 4942 (năm).

ln 2
T và m(t)=0,55m0 ta suy ra

t
1 5730
⇔ 0,55 = ( )
⇒ t = 5730.log 1 0,55 ≈ 4942
2
2
(năm)

Ví dụ 3: (trích đề thi thử trường chuyên Hà Tĩnh năm 2017) [4]
Trong vật lí sự phân rã của các chất phóng xạ được tính theo công thức m(t)=m 0ekt

ln 2
, k= T trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ ,m(t) là khối lượng

của chất phóng xạ còn lại sau thời gian t , k là hệ số phóng xạ phụ thuộc vào từng
loại chất .Biết chu kỳ bán rã của 14 C là khoảng 5730 năm ( tức là một lượng 14 C
sau 5730 năm thì còn một nửa) người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng
13


các bon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của
nó. Hỏi mẫu đồ vật có tuổi bao nhiêu năm
A.2300 năm

hoặc khoanh tù mù đáp án, tuy nhiên bài toán về thực tế nếu chúng ta được làm
quen nhiều và nắm được cách giải cho từng dạng toán thì những bài toán này vừa
ngắn gọn vừa đơn giản. Với tình hình thực tế như vậy để giúp học sinh không còn
bỡ ngỡ khi đứng trước các bài toán thực tế về hàm số mũ- phương trình mũ giáo
viên cần rèn cho học sinh luyện tập các dạng toán này để học sinh phân tích và có
lời giải đúng. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện
kỹ năng định hướng và giải toán.
2.3. Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán thực tế về
hàm số mũ- phương trình mũ.
3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
4. Trong mỗi bài toán thực tế đặc biệt các bài toán về lãi suất đều yêu cầu
học sinh thực hiện phân tích bản chất của bài toán.
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong mỗi buổi học, tôi đã cung
cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập cơ bản về các dạng để cho học sinh tự
suy luận và tìm ra công thức cho bài toán gốc, Sau mỗi dạng là hệ thống các bài tập
nhằm củng cố kiến thức cho dạng toán đó.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
+ Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan.
2.4.1.Đối với giáo viên
14


- Với SKKN này là nguồn tài liệu hay và bổ ích để ôn thi THPTQG cho học
sinh lớp 12

bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúp
học sinh dễ hiểu bài học.
Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cũng như các nội dung khác nói
chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội
dung mới.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân để phần nào giúp học sinh có
cái nhìn dễ dàng hơn về bài toán toán thực tế về chuyên đề hàm số mũ- phương
trình mũ mới được vận dụng nhiều vào các đề thi trắc nghiệm toán trong 2 năm
nay. Tôi cũng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian hẹp nên sáng
15


kiến này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các
đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cám ơn!
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 14 tháng 4 năm 2018
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Nguyễn Hữu Tuấn

Trịnh Thị Lệ

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tuyển tập các đề thi thử của các trường trong tỉnh Thanh Hóa trong 2 năm 2017
và 2018 trong nhóm kín facebook TOÁN THPT THANH HÓA.