MỤC LỤC
1. Phần mở đầu...........................................................................................
1.1 Lý do chọn đề tài……………………………………...............

Trang
1
1

1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................

1

1.4.Phương pháp nghiên cứu...........................................................
2. Nội dung..................................................................................................
2.1. Cơ sở lí luận của skkn................................................................

2
2
2

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm..........................................................................................................

2

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.........................
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f (x)
trên một đoạn, vv.. là phần bài tập có tính liên hệ cao cả lý thuyết lẫn thực hành, các
dạng bài tập đa dạng phức tạp và đã xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia năm
2017, đề thi mẫu năm 2018 trong khi khả năng phân tích và xử lý các dạng bài tập
này của học sinh còn yếu. Trước thực trạng trên tôi đã mạnh dạn chọn đề tài
“Phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và xây dựng các cách giải bài tập liên quan
đến đồ thị hàm số y  f '(x) .
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc nghiệm
phần đồ thị hàm số y  f '(x) .
- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT, đặc
biệt phần đồ thị hàm số y  f '(x) .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức:
+ Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất và đồ thị của hàm số.
+ đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị hàm số.
- Học sinh: lớp 12A5, 12A6 của trường THPT Đông Sơn 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu

1


- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các
sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức
rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư
duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến
đồ hàm số y  f '(x) .

như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ
thống bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số
- Sau đó tôi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư duy
và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến đồ
thị hàm số y  f '(x) .
* Dạng 1: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) tìm ra hàm số hay đồ thị của hàm số
y  f (x)

- Phương pháp: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) và các giả thiết của bài toán ta
lập hệ phương trình để tìm ra các hệ số của hàm số y  f (x)
- Các ví dụ minh họa
4
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c với  a �0  có đồ thị hàm số

y  f '(x) như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y  f (x) tiếp xúc với đường

thẳng y  2 đồng thời đi qua điểm M  2; 14  . Giá trị của biểu thức P  a  b  c là?

7
3
5
1
A. P  a  b  c   B. P  a  b  c   C. P  a  b  c   D. P  a  b  c 
2
2
2
2
3
Giải : Từ hình vẽ của đồ thị hàm số y  f '  x   4ax  2bx đã cho ta nhận thấy rằng:


thị hàm số y  f '(x) cho bởi hình vẽ bên. Giá trị 3a  2b  c  d là?

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Giải :
2
Tìm a, b, c ta tính f '  x   3ax  2bx  c sau đó giải hệ sau:

1
�
a
�
f ' 2  0
�
12a  4b  c  0
�
3
�
�
�
f '  2   0 � �
12  4b  c  0 � �
b0

như vậy ta chỉ cần giải phương trình y 

13
tại điểm có hoành độ dương
3

13
là sẽ tìm được d  1 .
3

Chọn đáp án D
3
2
Ví dụ 3: Cho y  f  x   ax  bx  cx  d với a, b,c,d  �, a

0 có đồ (C).

Biết rằng đồ thị hàm số y  f '(x) cho bởi hình vẽ bên và điểm cực đại của đồ thị (C)
nằm trên trục tung và có tung độ bằng 2. Xác định giá trị của P  a  b  c  d

A. P 

4
3

B. P 

5
3



A. g ( 3)  g (3)  g (1)
B. g (1)  g (3)  g (3)

4

C. g (3)  g ( 3)  g (1)
D. g (1)  g (3)  g ( 3)

3

2
O

3x
5


Giải:

y

g '( x)  2 f '( x)  2 x  2

4

3

g '( x)dx  g (3)  g (1)
�

Tương tự ta sẽ có g (1)  g (3)  g ( 3) Chọn đáp án D
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số
y  f '(x) như hình bên. Biết f  a   0, hỏi đồ thị hàm số

y  f  x  cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?
A. 4 điểm.

B. 3 điểm.

C. 1 điểm.

D. 2 điểm.

Giải:
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '(x) ta có BBT của hàm số y  f  x  có dạng

như hình vẽ
x

�

y'

a

-

0

f  a



f '  x  ,g '  x  , h '  x  có đồ thị là một trong số các hình (a), (b), (c) dưới đây. Hãy chỉ ra
sự tương ứng của đồ thị hàm số và đạo hàm của nó.

�
 1   a 
�
A. � 2    c 
�
 3   b 
�

�
 1   c 
�
B. � 2    b 
�
 3   a 
�

�
 1   b 
�
C. � 2    a 
�
 3   c 
�

�

�
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '(x) ta thấy f '  x   0 � �
và
0 x2
�
x2
�
f ' x   0 � �
. Do đó hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  0;2 
2  x  0
�
Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) Biết f (x) có đạo hàm f '(x) và hàm số
y  f '(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y  f (x) chỉ có 2 điểm cực trị
B. Hàm số y  f (x) đồng biến trên khoảng  1;3
C. Hàm số y  f (x) nghịch biến trên khoảng  �; 2 
D. Đồ thị của hàm số y  f (x) chỉ có 2 điểm cực trị
và chúng nằm về hai phía của trục hoành
Giải:
Vì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số y  f (x) có 3 điểm cực trị.
Do đó loại hai phương án A, D
Vì trên  �;2  thì f '(x) có thể nhận cả dấu âm và dương nên loại C
Vì trên  1;3 thì f '(x) chỉ mang dấu dương nên y  f (x) đồng biến trên khoảng

 1;3 . Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f (x)
xác định và liên tục trên � đồng thời có
đồ thị hàm số y  f '(x) như hình vẽ bên.

g '  x   0 � x. f '  x 2  2   0 � � 2
��
x 2  2  1 �
�f '  x  2   0
�
x2  2  2
�

x0
�
�
x  �1
�
�
x  �2
�

Với x  2 � x 2  2  0 mà f '  x   0, x � 2; � suy ra
f '  x 2  2   0, x � 2; �

Bảng biến thiên
x

f '  x2  2

�

g  x

2

0

�

+
+

Chọn đáp án C

9


Ví dụ 5 (trích trong đề minh họa thi
TNTHPT quốc gia 2018). Cho hàm số y  f (x)
Hàm số y  f '(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số
y  f  2  x  đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.  1;3 .

B.  2; � .

C.  2;1 .

D.  �; 2  .

Giải:.
f  2  x �
'  f '  2  x  .  2  x  '   f'  2  x   0 � f '  2  x   0
Ta có �
�
�

10


D. Hàm số f  x  đạt cực đại tại x  2
Giải:
Dựa vào đồ thị hàm số f '  x  ta thấy f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi qua
điểm x  1 nên x  1 là điểm cực tiểu của hàm số f  x 
f '  x  không đổi dấu khi đi qua điểm x  2 nên x  2 không phải điểm cực trị

Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) có đồ thị f '  x  của nó
trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó trên K, hàm số
y  f (x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Giải:
Phương trình f '  x   0 có 3 nghiệm, trong đó có 2 nghiệm kép do tiếp xúc.
Dạng phương trình f '  x    x  x1 

2

 x  x 2  . Do đó hàm số


đường thẳng y  x như ở hình vẽ bên và xét dấu của
biểu thức g '  x   f '  x   x như ở vẽ dưới đây

Ta nhận xét rằng hàm số g  x  có duy nhất 1 cực đại. Chọn đáp án B
Ví dụ 4: Cho hàm số y  f (x) liên tục và có đạo hàm trên  0;6 . Đồ thị của
hàm số y  f '(x) trên đoạn  0;6 được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số
y�
f  x �
�
� có tối đa bao nhiêu cực trị
2

A. 3

B. 6

R

C. 7

D. 4

y

Giải: Đáp án C
Ví dụ 5: (trích trong đề khảo sát
lần 1 của trường THPT Đông Sơn 2 năm
2018). Cho hàm số y  f (x) xác định
trên R và có đồ thị f '  x  như hình vẽ.



Giải:
Ta có: g '  x   f '  x   1 � f '  x 0 

x0  1
�
1 � �
x0  2
�
�
x 0  1
�

g '  x   0 � f '  x   1 � x � �; 1 � 2; �
g '  x   0 � f '  x   1 � x � 1;1 � 1;2 
Ta có BBT:
x

�

g ' x 

1

+

0

1



13


Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm là
f '  x  . Đồ thị của hàm số y  f '(x) được cho như
hình vẽ bên. Biết rằng f  0   f  3  f  2   f  5  .
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f  x  trên đoạn [0;5] lần lượt là
A. f  0  ,f  5 

B. f  2  ,f  0 

C. f  1 ,f  5 

D. f  2  ,f  5 

Giải:
Từ đồ thị y  f '(x) trên đoạn [0;5] , ta có bảng biến thiên của hàm số
y  f (x) như hình vẽ bên

x

0

f ' x 

-

2
0

0;
hàm số y  f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn �
tại điểm
� 2�
�
x 0 nào dưới đây?

A. x 0  0.

B. x 0  2.

C. x 0  1.

D. x 0  3.

Giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy.

14


Khi x � 0;3 � f '  x   0 hàm số nghịch biến trên khoảng  0;3
� 7�
� 7�
3; �� f '  x   0 hàm số đồng biến trên khoảng �
3; �
.
Khi x ��
� 2�
� 2�

-1O

x
1

2

3

4

5

6

7

-2

m  min f  x  , T  M  m. Mệnh đề nào
 2;6

dưới đây đúng?
A. T  f  0   f  2  .
B. T  f  5   f  2  .
Đáp án B.

C. T  f  5   f  6  .
D. T  f  0   f  2  .


� a,e
D. �
min f  x   f  b 
�
� a ,e

Giải:
Ta có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

15


x

f ' x 

f  x

a
-

b
0

c
+

-

d


Số học sinh giải được
2 ( = 4,8%)
5 ( = 12,5%)

Sau khi thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải được
12 A5 42
10 (= 23,8%)
12 A6 40
15 (= 37,5%)
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy : số lượng học sinh giải
được dạng bài tập này đã tăng lên, mặc dù chưa nhiều và số học sinh có tư duy về
dạng bài tập này cũng tăng lên (có thể các em chưa giải đúng) nhưng đối với tôi điều
quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ
môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết dạy của tôi.

16


3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
+ Để áp dụng có hiệu quả đề tài việc đầu tiên cần làm là phải giúp các em
nắm vững lí thuyết chương 1 sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản. Sau đó tôi hướng
dẫn các em:
- Xác định rõ từng bước làm các dạng bài tập.
- Xây dựng hệ thống công thức tổng quát, nhận dạng nhanh các dạng bài tập.
+ Căn cứ vào mục tiêu của bài học xây dựng giáo án chi tiết cho từng nội

3. Báo toán học tuổi trẻ số 483-T9/2017
4. Các đề thi TNTHPT năm 2017, các đề thi mẫu của Bộ giáo dục và đào tạo.

18