Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh:
Giải: Đpcm (đúng)
Bài tập áp dụng:
1.Cho a, b, c 1. Chứng minh
2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh
3.Cho Chứng minh
Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh:
1. (a
m
+ b
m
)(a
n
+ b
n
) 2(a
m+n
+ b
m+n
)
2. a
m
b
n
+ a
n
b
m
a

2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b)
2
+(b - c)
2
+ (c - a)
2
0 (đúng).
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh:
1) a
4
+ b
4
+ c
4
abc(a + b + c)
2) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c)
1
ab
ba
+

+

abcde
edcba
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
55555
5
1
,
4

22
nn
n
baba +









+
+ +
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
1
555555

++
+
++
+
++ acca
ac
bccb

1)
2)
Giải:
1)
Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
2
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++

++
+
++
+
++
2
21
21
)

2
1
2
1
2
1
++
++
+
++
+
++
cbacpbpap
222111
++

+

+

2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac






+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+
=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222

Giải:
1)
2)
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
3
.
4
2
a
cb
cb
a

+
+
+
cba
bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
2
1
2


+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
)())(( xyabybxa +++
3
3
3
)())()(( xyzabczcybxa ++++
VPxyabxyaybxabxybxayabVT =+=+++++=
2
)(2)(
VPxyzabc
xyzxyzabcxyzabcabcxyzcxybzxayzacybcxabzabcVT
=+=
++++++++++=
3
3
3
3
2
3













+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1

)1)(1(
2
111
1
1
1
1
1
1
1
zy
yz
z
z
y
y
zyx
++

+
+
+
=








+
tzyx
81
1

xyzt
4
5
=+ yx
yx
S
4
14
+=
( ) ( )
525
4
14
425
4
11111
4









1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
zyx
P
( ) ( ) ( )
[ ]
4
9
3
9
9
1
1
1
1
1
1
111 =
+++




x
x
Q
yx
z
xz
y
zy
x
A
+
+
+
+
+
=
3
3
3
x
zy
zy
x
32
2
3
+
+
+
+

+
+
+
=
4
4
4
yx
z
xz
y
zy
x
C
+
+
+
+
+
=
222
4))(())(())((
333
zyx
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x

++
+
++
+
++
=
4
2
2
2
zyx
xyz
z
zxy
y
yzx
x
++

+
+
+
+
+
3
33
333 xzzyyxA +++++=
3
113
1.1).3(3

4
.
4
.
2
.3
1
.
4
2
244
21
4
3
22
=++
+
+








+++